《解析幾何》高考都在考什么？

王軍成

1.背景分析

解析幾何是高考的重要考點，每一年都要出一道小題，一道解答題。小題基本上是一道容易題或一道中等題，試題難度不大是每個學(xué)生都應(yīng)得分的考點。解答題一般都是有一定綜合性的中上等難度的題目，學(xué)生處理起來有不少困難但是不是難道做不出來。每年高考考場上學(xué)生都會用比較多的時間在這道解析幾何題上。所以這道解析幾何題的成敗對數(shù)學(xué)高考成敗的影響意義重大。

2.高考研究

高考中數(shù)學(xué)在解析幾何上的考察都有哪些重點？最近幾年有哪些變化？

（1）首先回顧這些年高考解析幾何的命題方向。

這些年高考中這個考察點主要分兩種類型題，一個是關(guān)于圓錐曲線的基本量計算的題目，此類題目大多數(shù)是選擇題，填空題這樣的小題形式。例如考察雙曲線的漸近線，圓錐曲線離心率的計算，點到直線的距離等比較單一的知識點，屬于容易題。另一類就是大題，主要考察橢圓中的綜合性的計算問題。

在大題的考察中主要有兩種題型：

一種是考查基本量與基本公式運算。例如2018年的江蘇高考試題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為F1F2.（1）求橢圓C及圓O的方程;（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標(biāo);②直線l與橢圓C交于A，B兩點.若△OAB的面積為，求直線l的方程.

分析：這個題的第2問中的第一小問涉及的是圓錐曲線的切線的計算，有一定的運算量，第二小問涉及的是點到直線的距離公式，三角形的面積計算，運算量較大。

學(xué)生在處理這個問題上可以用設(shè)點坐標(biāo)進(jìn)行運算，也可以設(shè)直線方程進(jìn)行運算，兩者的運算難度相當(dāng)。再看2018年全國卷：設(shè)橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為（2，0）.（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程;（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

分析：這道題的第二問需要轉(zhuǎn)化為斜率問題，通過坐標(biāo)運算結(jié)合韋達(dá)定理可以求解，最后計算得到定值，計算量不是太大，難度適中。

另一種是以設(shè)點坐標(biāo)進(jìn)行整體代換，學(xué)生要具備較好的邏輯分析能力。例如2011年江蘇高考試題：18、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k，本題的第（3）問：對任意k>0，求證：PA⊥PB。本題的解法以設(shè)點坐標(biāo)以及整體代換為最佳做法。

（2）高考命題趨勢

近年來高考在考察解析幾何時側(cè)重考察學(xué)生的邏輯分析能力，運算能力。這些數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)的考察明顯加強。對于一些解析幾何中結(jié)論性的東西的考察漸漸避開。在思維上注重學(xué)生邏輯思維的考察，分析問題轉(zhuǎn)化問題能力的考察，在運算上更加突出運算能力的考察。這些都是新課標(biāo)的指導(dǎo)思想在試卷命題中的體現(xiàn)。

3.應(yīng)對策略

平時復(fù)習(xí)要注意哪些問題？怎樣應(yīng)對高考中這道關(guān)鍵題？這些問題是我們師生共同關(guān)注的話題。關(guān)注近幾年的高考，發(fā)現(xiàn)解析幾何的解答題要關(guān)注一下問題：

（1）基于基本量的復(fù)雜運算，學(xué)生的運算能力平時要加強。

（2）利用點坐標(biāo)帶入的整體求值問題，這一考點又常常和向量的共線問題與定比分點知識相結(jié)合，在運算上的要求較高。要解決好此類問題，不僅要學(xué)生有好的基礎(chǔ)知識，還要有比較好的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。在平時的課堂教學(xué)中要讓學(xué)生多獨立思考，培養(yǎng)他們提出問題、分析問題、解決問題的能力。

（3）老師在教學(xué)中要注意通性通法的研究，避免過多解題技巧的訓(xùn)練，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，提高學(xué)生思維的參與度。解析幾何方面在高考方面主要考察的學(xué)生的運算能力與邏輯思維能力，所以真真提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)才是我們解決解析幾何問題的唯一出路。

參考文獻(xiàn)

[1]鄭一平.“高考解析幾何重點提醒分析與預(yù)測”.中學(xué)生理科應(yīng)試2015年第11期.

[2]崔志榮“解析幾何中解題教學(xué)的幾點思考”.數(shù)學(xué)教學(xué).2015年第10期。