淺談函數(shù)、方程與不等式的關系及簡單應用

摘 要：函數(shù)、方程與不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，三者之間的關系密切，其所蘊含的“函數(shù)與方程思想”是高中階段重要的思想方法之一，也是解決有關函數(shù)問題的基本方法。

關鍵字：函數(shù);方程;不等式

函數(shù)、方程、不等式之間有著密切的聯(lián)系，只有體會了函數(shù)、方程與不等式之間的關系;才能更清晰的認識函數(shù)與方程這一重要的思想方法。同時，在解決二次函數(shù)、二次方程與二次不等式的問題時，可以借助于函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題。

一、關于函數(shù)與方程

方程思想與函數(shù)思想有著緊密的聯(lián)系，關于函數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化為與其對應的方程來解決，有關方程的問題同樣可以轉(zhuǎn)化為相關函數(shù)加以解決。當函數(shù)值為零時其所對應的等式即為方程;從圖像上看，函數(shù)是一條的曲線，方程僅是其值為零的情形。以二次函數(shù)為例，其表達式為y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，可得方程ax2+bx+c（a≠0）。二次函數(shù)的圖像在坐標系內(nèi)為拋物線，該曲線與x軸交點的橫坐標就是相應二次方程的解;求函數(shù)y=f（x）的零點即求方程f（x）=0的根。

二、關于函數(shù)與不等式

函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值于為正或為負時就可得到與之對應的不等式f（x）>0（或<0）。函數(shù)值為正（負）所對應的自變量x的范圍，即解關于x的不等式f（x）>0（或<0）。從函數(shù)圖像上看，函數(shù)圖像在x軸上方（或下方）則表示不等式大于（或小于）零的情形。這一過程中，可讓學生嘗試通過圖像去解決有關不等式的問題，鍛煉他們的讀圖和識圖能力。

三、注重數(shù)學思想方法的滲透和思維方式的培養(yǎng)

實際教學中，可由具體實例出發(fā)，培養(yǎng)由具體到抽象、從特殊到一般的思維方式，讓學生體會“轉(zhuǎn)化思想”在數(shù)學中的作用和價值。引導學生通過觀察類比的方式，提高他們分析問題與解決問題的能力;增強學生的數(shù)學思維情趣，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度。完成以上過程之后，可再選取與其有關的綜合問題，讓學生嘗試自主解答，從而熟悉函數(shù)、方程與不等式之間的基本關系，以及其中所蘊含的數(shù)學思想方法，舉例如下。

例1：關于x的函數(shù)f（x）=2（a+1）x2+4ax+2a-1，（a為實數(shù)）

函數(shù)圖像與x軸有兩不同交點，求實數(shù)a的取值范圍;

函數(shù)y=f（x）的一個零點為1，求實數(shù)a的值;

關于x的方程f（x）=0有兩不同實根，且兩根異號，求實數(shù)a的取值范圍。

【試題分析】：問題（1）考察函數(shù)圖像，二次函數(shù)的圖像與x軸有兩不同交點，則二次項的系數(shù)不為零，且判別式大于零;問題（2）由函數(shù)零點的定義可知，y=f（x）的零點就是使f（x0）=0的自變量x0，帶入即可;問題（3）考察一元二次方程根的分布問題，可結(jié)合函數(shù)圖像進行分析，利用數(shù)形結(jié)合的方法去解決問題。

【試題解答】：

（1）要使y=f（x）的圖像與x軸有兩個不同交點，

f（1）=0由題得解得a<1，且a≠-1.

（2）因為y=f（x）的一個零點為1，即

（3）令2（a+1）x2+4ax+2a-1=0，設其兩根為x1與x2，且x10，其圖像如下：

由圖可知解得.

【點評】：解答本題的關鍵是要認清“函數(shù)圖像與坐標軸的交點、方程的根及函數(shù)的零點”三者之間的關系，搞清它們之間的聯(lián)系，再利用這種聯(lián)系去轉(zhuǎn)化與解決相關問題。

結(jié)語

方程思想就是利用問題中的變量間所具有的等量關系，通過解方程或方程組的方法，運用方程的相關性質(zhì)去解決問題。函數(shù)思想就是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖像去解決問題，構(gòu)造出相應函數(shù)或建立出函數(shù)關系，使問題得以轉(zhuǎn)化。研究函數(shù)的性質(zhì)和圖像，離不開不等式與方程的幫助，反之利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像，可解決方程與不等式的有關問題。在解決以上數(shù)學問題時，若能巧妙的應用函數(shù)與方程的思想，往往能達到很好的效果。

參考文獻

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[3]韓發(fā)明.應用二次函數(shù)性質(zhì)綜合推理[J].中學生數(shù)理化（高一版）.2009（Z1）.

作者簡介：殷久旋;性別：男;出生年月：199201;籍貫（具體到市）：安徽省滁州市;民族;漢最高學歷：本科;目前職稱：中學二級;研究方向：高中數(shù)學教育