基于連續映射建模的連續體結構拓撲優化設計

王蘊博

摘要：基于連續映射建模的連續體結構拓撲優化設計方法目前主要有均勻化方法、 變厚度法、 變密度法、獨立連續映射方法（ ICM） 、Heaviside方法及其變體，本文對其發展歷程、發展現狀及其內在聯系進行了綜述。介紹了上述幾種基于連續映射建模的優化方法的基本思想、約束條件和優化模型，并提出其在理論研究和實際應用的發展方向和展望。

關鍵詞：連續體結構拓撲優化;變密度法;ICM方法;Heaviside方法;連續映射建模

結構優化設計的現代發展源于1960年Schmit提出的將數學規劃技術引進結構設計領域的開創性思想[1]。自結構分析與數學規劃相結合至今，結構優化設計中的尺寸優化和形狀優化業已相對成熟，而拓撲優化尚處于理論探索的發展階段。結構拓撲優化包括離散體拓撲優化和連續體拓撲優化兩種，后者為其主要研究對象[2]。連續體結構拓撲優化的最大優點是在結構的初始拓撲形式未知的前提下，根據已知邊界條件和載荷條件以尋求結構最優的拓撲關系、確定出連續體較合理的結構形式，鑒于其既不涉及具體結構尺寸和形狀設計同時又可給出最佳參考設計方案并產生新的拓撲構型，對整個連續體產品的初始設計階段具有重要的意義。

（1） 基于連續映射建模的均勻化方法[2，4]、 變厚度法[5]、變密度法[6]、獨立連續映射方法（ ICM） [7-8] 、Heaviside方法及其變體[9-10];

（2） 非連續映射建模的啟發式算法[11]、漸進結構優化方法（ ESO）[12]和水平集法（ Level set） 及其變體等[13-14]。

均勻化方法是拓撲優化的一個重要的連續的優化方法[2，4]，取微結構的方向和幾何尺寸為設計變量，并根據單胞尺寸的變化刪除微結構，從而產生介于由中間尺寸微結構組成的復合材料。將困難的結構拓撲優化模型轉化為相對簡單的復合材料結構參數的尺寸優化模型。由于均勻化方法中每個單元有兩類設計變量，敏度計算和求解過程變得非常復雜，因此，很多學者在研究拓撲優化時盡量避免使用完整的均勻化方法。

變厚度法以可變的單元厚度為連續設計變量，通過刪除厚度處于尺寸下限的單元實現結構拓撲的變更。程耿東等[5]主要基于變厚度法對離散體和連續體在局部應力約束下的強度拓撲優化設計進行研究。變厚度法避免了均勻化方法中構造微結構的麻煩，因此可以較為方便地解決平面拓撲優化問題。但是，由于它把拓撲變量掛靠在低層次的單元厚度上，將連續體拓撲優化問題轉化為廣義尺寸優化問題，因此無法運用于三維結構中。

均勻化方法是一種經典的拓撲優化方法，它在數學和力學理論上極為嚴密，主要應用于連續體的拓撲優化設計，不僅能用于應力約束和位移約束，也能用于頻率約束和屈曲約束。目前用均勻化方法來進行拓撲優化設計的有一般彈性問題、熱傳導問題、周期漸進可展曲面問題、非線性熱彈性問題、振動問題和骨改造問題等，并被用于復合材料的有效力學行為分析中[17]。關于連續體結構拓撲優化中不同材料模型的均勻化方法的建模理論、應用及其推導過程詳見綜述性文獻[2]。

該方法目前能求解的問題有限，但在理解拓撲優化的理論框架方面有著重要的意義，主要應用在拓撲優化理論研究方面。針對均勻化方法中出現奇異最優解的問題，程耿東[25，26]進行了深入研究，并指出應力函數的不連續性是導致桁架和連續體結構拓撲優化出現奇異最優解的本質原因，提出采用ε-松弛方法予以解決，隋允康和鐵軍則從ICM方法的應力過濾函數出發對應力奇異現象進行了思考和推導[27]。隋允康等[28]利用均勻化方法的思想，結合最小二乘法深入研究了ICM方法中的過濾函數，提出了過濾函數冪指數系數的概念，得出剛度過濾函數隨重量過濾函數變化的規律。

二、基于變厚度法的連續映射建模

變厚度法的基本思想是以基結構中連續變化的單元厚度作為拓撲設計變量，主要用于平面結構（如膜、板、殼等）拓撲優化問題，但推廣到三維問題有一定的難度。采用變厚度法的代表性工作有：Tenek 和Hagiwara 對薄殼結構的研究[5]， 程耿東和張東旭對平面膜結構進行研究[5]，王健和程耿東對具有應力和厚度約束的薄板和平面彈性體結構進行研究[5]，王健和程耿東應用變厚度分層優化方法研究多工況應力約束下連續體結構拓撲優化設計，周克民和胡云昌等用變厚度單元法對連續體結構進行拓撲優化，隨后又將此方法與拓撲分析相結合。賴云山和馬海濤研究了基于單元節點厚度設計變量利用變厚度雜交應力單元的二維連續體結構拓撲優化設計。

下面給出以重量最小為目標的基于變厚度法的平面彈性體結構拓撲優化模型 [5] 。

由于變厚度法把拓撲變量掛靠在單元厚度上，拓撲變量失去了獨立的層次，導致連續體拓撲優化問題轉化為廣義尺寸優化問題，從而受到尺寸優化層次的制約，優化效率難以得到提高。

三、基于變密度法的連續映射建模

變密度法以均勻化方法為基礎并加以改進，有效克服了基于均勻化理論的拓撲優化設計模型中設計變量眾多且分析計算工作量非常龐大的缺點，是典型的連續映射建模的拓撲優化方法。

變密度法中的材料插值方法決定著結構的單元屬性與結構單元的材料密度之間的數學關系， 對結構的最終拓撲分布起著關鍵作用， 使用不同材料插值方法其計算過程會有所差別，最后得到的拓撲結構也可能有所不同， 因此材料插值方法在變密度法中至關重要。具有代表性的密度插值模型有兩種，一是 SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）材料插值模型]，二是 RAMP（Rational Approximation of Material Properties）材料插值模型。

Bends?e和 Sigmund證明了SIMP方法在優化求解過程中出現的中間密度單元所對應的微觀構型的存在性，進一步從理論上完備了變密度法。

近十年來變密度法得到快速發展，Sigmud和Clausen等人先后于2000年和2011年發表了基于SIMP模型變密度法的matlab程序，促使更多學者對變密度法加以了解、使用、研究和發展。Sigmund 研究了多物理場作動器構型設計，Olhoff研究連續體震動問題，羅震等基于變密度法和優化準則法推導并建立柔性機構拓撲優化的一種顯式的設計變量收斂格式，結合分布式柔性機構優化設計的人工彈簧模型和虛擬載荷法，提出一種新型的分布式柔性機構拓撲優化設計的多準則優化模型，并用激光快速成形技術驗證柔性機構概念設計的合理性。París等研究了在應力約束下以重量最小為目標的基于變密度法連續體結構拓撲優化問題，其優化模型如下：

在連續體拓撲優化中經常存在局部極值、棋盤格和網格依賴性方面的數值困難。羅震等[51]基于帶權重的折衷規劃法和SIMP密度函數插值模型，對多工況載荷條件下連續體結構拓撲優化過程中出現的棋盤格式和網格依賴性等數值計算問題進行了研究，提出一種二重敏度過濾技術以消除優化結構中的棋盤格式，使優化結構體現出較好的網格無關性。徐勝利等[52]基于SIMP方法通過最小柔順性問題提出了一種體積守恒型Heaviside函數的密度過濾方法，可以有效消除灰色區域并使優化過程更穩定。

四、基于Heaviside方法的連續映射建模

Heaviside方法是最近提出的一種連續映射建模方法[9，19]。在連續體拓撲優化應用SIMP方法的建模過程中，Guest[9]和Kawamoto[12]等人使用帶有Heaviside函數的密度過濾法克服棋盤格式和網格依賴性等數值計算問題，分別以不同的方式提出了獨立連續拓撲設計變量的概念。其中Guest等使用輔助變量<C：＼Users＼lenovo＼Desktop＼中國房地產業2019-3（封面）＼Image＼image4.pdf>作為獨立設計變量并利用函數

五、基于ICM方法的連續映射建模

隋允康1996年提出了ICM（獨立、連續、映射）方法[7]，以一種獨立于單元具體物理參數的變量來表征單元的“有”與“無”，這就是“獨立拓撲變量”，將拓撲變量從依附于面積、厚度等尺寸優化層次變量中抽象出來，恢復了拓撲變量的獨立性，為模型的建立帶來方便，同時為了求解簡捷，構造了過濾函數和磨光函數，使獨立連續的拓撲變量逼近離散拓撲變量，把本質上是0-1離散變量的獨立拓撲變量映射為[0，1]連續變量，在按連續變量求解之后再把拓撲變量反演成離散變量。ICM方法吸取了變厚度法和變密度法不再構造微結構的優點，又避免了把拓撲變量掛靠于尺寸或形狀層面乃至人造材料上的做法，使拓撲變量恢復了理應有的獨立地位，同時，定義連續的拓撲變量，從而可以吸納數學規劃中卓有成效的連續光滑的解法。

ICM 方法以結構重量為目標，從而將截面優化、形狀優化和拓撲優化的目標統一規范化，獨立、連續拓撲變量概念的提出不僅有效地解決了應力、位移、頻率等約束下的連續體結構拓撲優化問題，從而更有利于工程實際應用，也實現了骨架類結構和連續體結構拓撲優化模型的統一，做出了不少令人滿意的結果，其統一的優化模型如下：

隋允康、鐵軍、彭細榮和葉紅玲等[15-17]對ICM方法進行了深入探討和梳理：（1）通過選取不同的過濾函數可以不進行每步刪除而得到清晰的拓撲圖形，對應力約束、頻率約束、位移及頻率約束、簡諧載荷激勵下動位移幅值約束等拓撲優化進行了研究。計算算例表明ICM方法在處理靜力問題及動力問題的拓撲優化都是可行的。

（2）基于ICM方法，建立了以連續體結構重量為目標的應力約束下多工況的三維連續體結構拓撲優化模型。利用 Von Mises強度理論，提出了應力約束全局化方法，從而將局部的應力約束轉化為全局的應變能約束，由此減少了約束數目，降低了問題的規模，避免了敏度分析。另外，利用對偶理論，將建立的優化模型轉化為對偶模型，用序列二次規劃法進行了求解，從而減少了設計變量的數目，提高了求解效率。

（3）為了得到汽車車架的概念化設計基于ICM方法，給出了汽車車架結構的計算機輔助設計的有效方法。他們采用應力全局化策略，將局部的應力約束轉化為全局的應變能約束問題，建立了以結構質量為目標，應力約束下的汽車車架結構的拓撲優化模型，研究了多工況應力約束下連續體結構拓撲優化問題。

（4）為了使求解位移和應力約束下重量最輕的連續體結構拓撲優化問題ICM（ 獨立連續映射）方法得到更清晰的拓撲形式，引入拓撲變量離散性條件作為目標之一，與原目標組成多目標規劃模型，使拓撲變量向0或1兩端靠近，減小了刪除率對結果的影響;用圖形處理方法消除了棋盤格現象及網格依賴性;通過初選準有效約束及選擇設計區域等，提高了求解效率。算例表明改進后的算法雖然迭代次數比原算法略多，但更穩鍵，更實用。

（5）為解決多工況下多位移約束的連續體結構拓撲優化問題，引入了拋物型K-S函數對位移約束進行集成化處理。在建立優化模型時， 基于莫爾定理按ICM方法導出約束點位移與設計變量之間的近似顯函數關系，然后采用Lagrange乘子法進行求解。

（6）為克服應力約束下拓撲優化問題約束數目多、應力敏度計算量大的困難，提出了應力約束化凝聚化的ICM方法。在利用強度理論將應力約束轉換成應變能約束后，提出了應力約束凝聚化的兩條途徑 其一為應力全局化的方法，其二為應力約束集成化的方法 由此建立了多工況下以重量為目標、以凝聚化應變能為約束的連續體結構優化模型，并利用對偶理論對優化模型進行了求解。該方法具有較高的計算效率，得到的拓撲結構比較合理，不僅適用于二維連續體結構，也適用于三維連續體結構。

（7）基于ICM（獨立、連續、映射）方法建立了以結構重量最小為目標，以屈曲臨界力、應力同時為約束的連續體拓撲優化模型，有效地解決屈曲與應力約束共同作用的連續體拓撲優化問題。

（8）基于ICM方法和拓撲優化的困難，]提出應變比能和畸變比能約束的概念發展了結構拓撲優化中全局化的方法，同時提出上、下階躍函數和快濾函數的概念提高了拓撲優化的效率和克服棋盤格與網格依賴性問題。

六、結語;

本文對基于連續映射建模的結構拓撲優化方法的研究現狀進行綜述，以獨立連續拓撲變量為基礎的拓撲優化研究和并行計算技術將成為今后研究的重點。

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