三重積分的換元法的應用

黃昌盛

關鍵詞 三重積分 換元法 廣義球坐標系

中圖分類號：O13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2019.10.032

Abstract Substitution method is often used in the calculation of integrals， however， the general substitution method of triple integrals is seldom involved in the textbooks of Advanced Mathematics. This paper will introduce the general substitution rules of triple integrals and then discusses the application of substitution methods in the calculation of triple integrals through some examples.

Keywords triple integrals; substitution; generalized spherical coordinates

0 引言

在一元函數定積分的計算中，換元積分法是最常用的積分方法，能夠極大地簡化積分的計算。然而對于多元函數的重積分，由于重積分的計算相對較復雜，因此在相關教材以及實際教學中一般只介紹相對簡單的算例，直接用基本方法計算即可，因而很少介紹重積分的換元積分法。尤其是對于三重積分的計算，教學算例中的積分區域基本是由方程為標準形式的二次曲面或平面所圍成，一般直接使用直角坐標系（投影法、截面法）或柱面、球面坐標系計算，[1，2]對于三重積分的一般換元積分法幾乎不會涉及。然而有些類型的積分，用基本方法計算比較困難或計算過程較繁鎖，有必要使用換元法對積分區域或被積函數進行簡化。有鑒于此，本文將首先介紹三重積分的一般換元法，在此基礎上，通過若干算例來探討一般換元積分法在三重積分計算中的應用。

1 三重積分的一般換元法

對于某些類型的三重積分，通過適當的變量代換，可以使積分區域轉變為更簡單的區域。在這種情況下，可以使用換元法使變換后的積分計算方便。

通過以上例題可以看出，當積分區域較復雜難以下手時，恰當地使用換元法，可以將積分區域轉變為較簡單的區域，從而極大的簡化積分的計算。因此掌握了三重積分的一般換元法，有助于我們解決部分常規方法難以處理的三重積分計算問題。

參考文獻

[1] 陳傳峰.三重積分的柱面坐標計算法[J].科教導刊（上旬刊），2013（09）：197-205.

[2] 蔣銀山.三重積分的計算方法[J].科教導刊（上旬刊），2015（12）：51-52.

[3] 華東師范大學數學系編.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 同濟大學數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2014.