設計有效數學活動 培養學生思維能力

賴蔓麗

《義務教育數學課程標準》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”在教學中，教師應該根據學生實際經驗和已有知識設計富有情趣的數學活動，讓學生在課堂上真正動起來，融入學習數學的情境，從而培養他們的思維能力。下面，筆者以教學《圓錐的體積》為例，談談如何設計有效數學的活動。

新世紀小學數學（北師大版）教材六年級下冊《圓錐的體積》是一節空間與圖形知識的教學，是學生積累研究圖形的活動經驗和發展空間觀念的重要內容，也是滲透“類比”“數學模型”等思想方法的重要載體，是小學學習立體圖形體積計算的飛躍，其目標是結合具體情境和實踐活動，了解圓錐體積，直觀引導學生經歷類比猜想—驗證的活動，探索“圓錐體積”計算方法，讓學生體會從特殊到一般的認識規律，從而得出一般性結論。本節課教學，筆者結合山區農村孩子的實際，以動畫的形式設計孩子們熟悉的農村曬谷場上收稻谷的情景，以一對爺孫的對話引出“圓錐的體積”，學生通過對圓錐體積的類比猜想—驗證—推理—歸納—總結—再驗證—應用的知識建構過程，理解掌握求圓錐體積的計算公式，這樣既培養學生學習數學的興趣，還幫助學生建立空間觀念，提高學生自主解決問題的能力，同時滲透了類比與數學模型思想。

一、設疑猜想，激發學生求知欲

【片段一】

出示農村曬谷場收稻谷的情境，由小紅和爺爺的對話引出“圓錐的體積”。

師：同學們，前面我們在推導圓柱體積時是把它轉化成我們學過的正方體，那圓錐的體積也可以轉化成我們學過的圖形嗎？你們猜它可能與什么圖形有關系？可能是幾倍的關系？小紅要幫爺爺算出近似圓錐谷堆的體積，應該知道什么條件？小組內先說說你的猜想，并把你的猜想記下來。

生小組合作討論后全班匯報交流。

生1：我猜圓錐的體積與圓柱有關系，因為它的底面也是圓的。

師：你猜會是幾倍關系？如果要求它的體積要知道什么條件？

生1：我猜是2倍。如果要求它的體積，應該知道底面積和高。

生2：我猜也是與圓柱有關，但我認為是3倍的關系，如果要求它的體積應該知道底面半徑和高。

生3：如果和圓柱有關系的話，那知道底面直徑（或周長）和高也行，應該是2倍關系。

師：還有不同猜想嗎？

生4：我猜也是與圓柱有關，是 的關系。

當老師把學生的猜想都呈現在黑板時，大家議論紛紛，都想知道誰的對，求知欲自然而然地被激發出來。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發明和發現。”

二、驗證猜想，培養自主獲取知識的能力

心理學家皮亞杰說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。”小學生以形象思維為主，他們對數學的理解是從動手操作開始的，所以筆者及時為學生設計動手實驗、驗證猜想的活動。

【片段二】

師：（課件出示實驗要求）

1.小組內從課前準備的工具中選好實驗工具和材料。

2.分工合作，邊實驗邊記錄有關數據。

3.實驗結束后，小組內互相討論，分析實驗數據，總結實驗結果，寫在學習單上，并對比自己的猜想。

學生讀懂實驗要求后，開始實驗。討論后各小組匯報實驗結果，要求到講臺上邊說邊演示。

第5小組：我們組用圓錐裝滿沙往圓柱里倒，倒了三次，剛好倒滿，四人輪流換做都是三次倒滿，所以我們得出圓柱體積是圓錐的3倍。

師：請問你們的圓柱與圓錐的底面積和高是什么關系？

生拿起圓錐和圓柱說：我們的圓錐與圓柱的底面積和高都是相等的。（邊說邊演示）

師：很好。我們把底面積和高都相等用一個詞語“等底等高”來表示吧。你能把剛才的結論重新完整說一遍嗎？

生：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱體積是圓錐的3倍。

師：你的總結能力真不錯。哪個小組再來分享實驗結果？

第2小組：我們組先用圓錐裝滿水往圓柱倒，倒了三次，還差一點點，再做第二次，我們發現在倒的過程中會抖出水，第三次我們用一個盤在下面放著，倒了三次水后，把抖出的水再從盤里倒進圓柱，圓柱的水就基本滿了。所以我們得出等底等高的情況下，圓錐的體積是圓柱的。

師：你們是細心的孩子，注意到了實驗過程中因為水抖出而造成的誤差。哪個小組再來分享實驗結果？

第4小組：我們組是用圓柱裝滿沙往圓錐里倒，才倒了圓柱中的1份就把圓錐裝滿，倒了三次，剛好倒完，然后我們又用圓錐裝這些沙往圓柱里倒，也是倒了三次，圓柱剛好裝滿。所以我們得出，等底等高的情況下，圓錐的體積是圓柱的。還有就是等底等高的情況下，圓柱比圓錐多出2份。

師：你們真是愛動腦筋的孩子，雖然實驗方法和其它組不一樣的，但結論是一樣的。同學們，剛才大家表現都很優秀，在實驗過程中都能積極動手、動口、動腦，互相合作，認真觀察，分析總結得出“等底等高的情況下，圓錐體積是圓柱的 。”

接下來請大家判斷“圓錐體積是圓柱的 ”這句話對嗎？

生1：對。

生2：對。

生3：不對。如果圓錐比圓柱高很多就不成立。

師：你的意思是要考慮圓錐和圓柱的什么條件？

生3：我們要考慮圓錐和圓柱的底面積和高是否相等，這句話并沒說明這圓錐和圓柱是不是等底等高。如果不是等底等高就不一定。

師：你是個愛分析的好孩子。不是等底等高就不一定，是這樣嗎？請兩個同學到講臺上從老師的教具中挑一個圓錐和一個圓柱再次實驗驗證，其他同學認真觀察。

生1生2邊說邊演示：我們挑的是等底不等高的圓錐和圓柱，現在用圓錐裝滿沙往圓柱里倒，請認真觀察。

當實驗中的同學把第三次的沙往圓柱倒時，大家發現，第三次的沙沒倒多少，圓柱就滿了。

師：下面換兩個同學上來換兩個工具再做一次實驗。

生3生4：我們挑的是不等底不等高的圓錐和圓柱，用圓柱裝滿水往圓錐里倒，請認真觀察。

當倒完三次后，圓柱還有差不多一份的水。

師：通過這兩個實驗，你們有什么想說的？

生：圓錐體積是圓柱的 ，必須是在等底等高的情況下才成立。

師：現在再看看你自己的猜想，有猜對嗎？

學生笑著議論開了。

波利亞說過：“學習任何知識的最佳途徑，必須都由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律，性質和聯系。”當學生都想知道自己的猜想對不對時，筆者給他們提供從事學習數學活動的機會，讓他們自己動手實驗，驗證猜想，自主獲取知識，既激發學生的學習興趣，又培養學生發現問題，探究問題、解決問題的能力。當他們從實驗中得出“等底等高情況下，圓錐體積是圓柱的 ”時，筆者及時制造認知沖突，讓他們從平衡到不平衡，然后再次實驗驗證，既加深學生對自主獲取知識的理解，又讓學生從不平衡回到平衡，初步感悟圓錐與圓柱的內在聯系，建構了數學模型。整個活動過程，學生在教師的引導下，經歷對數學知識的驗證過程，對所學知識產生深刻的體驗，不僅知其然，更知其所以然。學生積累了活動經驗，提高了數學素養，讓學生在真正意義上實現獨立自主地學習，成為教學活動中自主探索和自我發展的主體。

三、解決問題，促進“做”的內化，提升思維

【片段三】

師：同學們，我們通過猜想—驗證—質疑—再驗證得出：

V錐= V柱=Sh，現在如果給出一組數據，可以幫助小紅解決近似圓錐谷堆的體積了嗎？

生：能。

師：（課件出示）這里有四組數據

1.如果谷堆的底面積為12.56m2，高為1.5m，這堆稻谷的體積是多少立方米？

2.如果谷堆的底面半徑為2m，高為1.5m，這堆稻谷的體積是多少立方米？

3. 如果谷堆的底面直徑為4m，高為15dm，這堆稻谷的體積是多少立方米？

4. 如果谷堆的底面周長為12.56m，高為1.5m，這堆稻谷的體積是多少立方米？

請四人小組分工合作共同完成，并討論這組題的異同點。

小組合作學習后全班匯報交流。

第2小組：

生1：我負責完成第1題，這道題給出底面積和高，求V錐，直接套公式：V=Sh，V=×12.56×1.5=6.28（m3）

生2：我負責完成第2題，這道題給出底面半徑和高，求V錐，我先通過半徑求出底面積，再套公式求V錐。

①S=3.14×22=12.56（m2 ）

②V=×12.56×1.5=（6.28m3）

生3：我負責完成第3題，這道題給出底面直徑和高，求V錐，我先通過直徑求出底面積，再套公式求V錐。但是高的單位不同，所以我先轉化單位。

①15dm=1.5m

②S=3.14×（4÷2）2=（12.56m2）

③V=×12.56×1.5=（6.28m3）

生4：我負責完成第4題，這道題給出底面周長和高，求V錐，我先通過周長求出半徑，再求底面積，然后套公式求V錐。

①r=12.56÷3.14÷2=2（m）

②S=3.14×22=（12.56m2）

③V=×12.56×1.5=（6.28m3）

師：這組題有什么異同點？

組長：通過比較分析，我們發現求的是同一谷堆的體積，只是給出的第一個條件不同，第2、3、4節我們可以通過第一個條件用以前學過的知識求出底面積，再套公式就可以了，只是在做題時要注意，單位要相同。

師：同學們同意第2小組組長的分析嗎？

生：同意。

師：第2小組的四位同學解題思路清晰，回答問題聲音響亮，合作得不錯。有哪個組解題思路不相同的？

第5小組：我們組的2、3、4節是先通過已知條件求出等底等高圓柱的體積，然后再乘以 得出V錐。

師：這種方法可以嗎？

生：可以。

師：為什么？

生：因為等底等高情況下，V錐=V柱

師：還有不同的嗎？

第1小組：我們組的題3不同。

師：怎么不同？

生：我們沒注意到單位不同。

師：我們以后在解決問題時，一定要認真審題，看清楚條件和問題，注意單位是否統一。

這個環節，筆者利用改變信息，對比教學設計教學活動，放手讓學生自己到情境中去幫小紅解決生活中的數學問題。通過觀察、對比、分析 、判斷，從不變中找到變化，從變化中把握不變，靈活發現變式中存在的隱形要素，加深對公式的理解和運用，掌握了解答此類題關鍵要知道底面積和高這兩個條件，還要注意單位是否統一，從而提高觀察、判斷、推理、分析等數學邏輯思維能力，促進“做”的內化，實現靈活解題，變通思維，提升數學思維，構建解題的技能技巧。

國家基礎教育課程改革就是要倡導學生主動參與的探究式學習。構建以人為本，以學生為主體的課堂，讓學生在學習中積極思考，“人人學有價值的數學”，煥發出思維的活力。因此，設計有效的數學活動，讓學生主動參與，才能達到讓學生在課堂上活躍起來，培養他們的思維能力。

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]教育部.教師教學用書（北師大版小學數學六年級下冊）[S].北京：北京師范大學出版社，2006.