“因式分解”的教學方法歸納例析

曾惠蘭

摘要：因式分解是中學數學中一種重要的恒等變形，是處理數學問題的重要手段與工具。本文簡要地歸納總結學生在因式分解中重復性出現的錯誤情況。利用典型的例題分析解釋教師如何教育學生靈活掌握應用因式分解。

關鍵詞：因式分解?重復性錯誤?教師?靈活掌握應用

因式分解是“數與代數”模塊內容之一，它與多項式的知識聯系緊密，既能鞏固多項式的運算，又能進一步發展學生的逆向思維能力。在教學中我們可以教學生使用記憶口訣：首先提取公因式，其次考慮用公式，十字相乘排第三，分組分解排第四，幾法若都行不通，拆項添項試一試。

一、提取公因式、利用公式法

提公因式法是因式分解的一種基本方法，牢固掌握公因式的概念，把它的提取方法應用到數的計算中非常便利。但是學生在提取公因式種容易出現（1）公因式提而不盡;（2）公因式有而不提;（3）公因式提后不補位。（4）分解不徹底。（5）公式不熟。（6）運算過程中符號出現錯誤。教師在教學中要根據學生容易出現的幾種錯誤進行有針對性的練習。

對于提取公因式，我們在教學中應該加強練習，教會學生什么是公因式，怎么提取公因式。否則學生在練習中會導致分解不徹底。如例1：多項式ab2-2a2b的兩項中，公因式是什么？

解：∵ab2=a·b·b;-2a2b=-2·a·a·b ∴它們的公因式是a，b，ab。

此題中如果讓學生提取公因式，學生可能會提取a，提取b，或者提取ab，此時教師引導學生，我們需要把次數最高的公因式（不計系數）提出來，寫成下面的形式ab2-2a2b=ab（b-2a）：這種將多項式分解因式的方法，叫做提公因式法。此時通過確定不同公因式的提取，強調了提公因式法中要“將所有的公因式都提出來”，以后所說的提公因式法中的“公因式”指的是“次數最高的公因式（不計系數）”。教師還應該幫學生總結確定公因式（三定原則）一定系數：當系數都是整數時，取它們的最大公約數作為公因式的系數;當多項式首項符號為負時，還要提出負號。二定字母：各項中相同字母（或多項式因式）。三定字母的指數：相同字母（或多項式因式）的指數取次數最低的。并通過逆用冪的乘法運算展開單項式、逆用乘法分配律、提取公因式的過程，加深學生對提公因式法運算的理解。

對于公因式有而不提，一是學生解題策略上的偏差，二是學生缺乏整體性思維;如例2：100x2-25y2=（10x-5y）（10x+5y）很多學生的答案會出現這種錯誤情況，那該如何避免？?這就要求我們在平時的課堂教學中，教師針對有些多項式的分解因式需要兩步運算的問題，都要求學生按照如下步驟進行：先看有無公因式，如果有要先提取公因式，然后再利用公式法進行分解，簡稱“一提二套”。?而該學生沒有按照一般性的步驟進行分解，在解題方向上打亂了常規的解題步驟，出現了解題策略性的偏差，出現公因式有而不提的現象。

例3：利用分解因式證明：257-512能被120整除

針對此題，學生會有不同的錯解，比如解：257-512=（52）7-512=514-512=52=25;或者解：257-512=（52）7-512=514-512=（57）2-（56）2=（57+56）（57-56）從學生的解答情況來看，第一步25變形為52，第二步冪的乘方運算都沒有出現錯誤，第三步如何作答？出現了解題障礙，不知采用何種策略解決，此時再次考慮題中的要求利用因式分解證明問題，所以需要把式子繼續恒等變形為積的形式。此題正確的解法應該是把512看成一個整體，利用公因式法把512提出來，使得最終的結果中出現120這個因數：257-512=（52）7-512=514-512=512（52-1）=512×24=511×5×24=120×511教師在教學中應該強調所謂的公因式可以是單項式也可以是多項式，當然也可以是冪的結構形式，在代數解題中，教學生要能夠“看透”形式符號后的代數結構，實現從程序到結構的過渡，否則學生的思維僵化，不能夠以已有知識結構為基礎對新信息進行編碼，不能夠完善建構自身認知結構，在解題策略上就會出現方向上的錯誤，造成運算無法進行下去。

學生在公式應用中會出現公式不熟，特別是需要逆用公式時會看不出來，是因為學生的逆向思維能力薄弱，這會阻礙學生的因式分解解題，所以需要老師引導學生突破思維的定勢，使思維進入新的境界，達到應用自如的程度。

例4：12a3+12a2+3a=3a（4a2+4a+1）實際上對于要進行模式的識別，發現它是由三項構成，首項4a2可變形為（2a）2末項可看作12，二者都是平方的形式，中間一項是4a=2×2a×1形式，恰好符合兩數和的完全平方公式的特點，所以還可以逆用完全平方公式進行因式分解，但是學生在此止步運算，因為他沒有識別出完全平方公式的結構，從而無法分解。

有些學生會出現公因式提后不補位的狀況，這屬于知識性的錯誤，學生在解題中如果存在著某些知識上的缺陷，或者是受前置學習內容的影響，也會發生錯誤的情況。

例5：ab-cb-b=b（a-c）學生出現錯誤是不理解數字“1”作為多項式的項存在時，是絕不能省略的;一個字母?b?的系數是?1，提取字母?b?后，并不是沒有項了，還有系數1。這種錯誤出現可能學生混淆了我們前面學習有關整式的內容時，如果“1”作為系數通常是可以省略不寫的，而且“1”作為指數的時候也是可以省略。這就要求我們在教學中引導學生對所學知識、方法分類歸納總結，找出它們的共同性和差異性。

部分學生平時做題時會出現疏忽性錯誤，比如運算過程中出現錯誤，如例6：-3a3-6a2+12a=-3a（a2-2a+4）=-3a（a+2）2錯誤原因進行多項式的因式分解時，當第一項含有“—”號時，選取公因式的系數應該是負數，提公因式后剩余各項要改變符號。這就要求教師應加強學生整式運算中，去括號時注意符號變換情況，通過強化訓練減少學生的錯誤率。

考慮到因式分解的方法在初高中銜接中的作用，例如，在高中階段解一元二次不等式和求導判斷曲線的形狀等等，大部分初中教師會補充兩種方法，十字相乘法和分組分解。

二、十字相乘法

用十字相乘法對多項式進行因式分解，對解一元二次方程和高中階段的二次不等式很有幫助，所以有些老師選擇在初中階段補充十字相乘法，主要是針對不能用完全平方公式的二次三項式的，而且系數部分有著關聯，多項式具備的特征往往是含三項，方便學生快速解一元二次方程。但是很多學生在遇到題目時不會運用十字相乘法。

例7：x2-3x+2=x（x-3）+2出現這錯誤原因一是學生對十字相乘法概念不熟，二是學生由于對因式分解概念規則的特殊形式辨別錯誤，忽視最后結果形式的約束規則，即使從表象上都無法辨別因式分解的分解形式必須是多個因式相乘的形式。由于十字相乘法在初中教材中被刪減，所以我們在教學過程中要教會學生什么是十字相乘法，為何要教，什么時候教，是不是每個二次三項式都能進行因式分解。

三、分組分解法

將一個多項式分組后，再提公因式或運用公式繼續分解的方法就是分組分解法，對于初中因式分解方法中并沒有要求，但是在因式分解的應用中有所涉及，比如利用分組分解法進行因式分解判斷三角形的形狀。

例8：已知a，b，c是△ABC的三邊，且a2+ab=b2+bc，試判短三角形的形狀

解：∵a2+ac=b2+bc ∴a（a+c）=b（b+c）錯誤剖析：學生第一步的解題策略采用提公因式法把等式的左右兩邊進行因式分解，然后就無法繼續運算，原因在于是沒有合理的進行分組。此題解答策略上最關鍵的是不能局限于方程左右兩邊獨立運算，要有全局意識解決此類問題，所以需要先進行移項，然后合理分組進行因式分解，再提取公因式，運算步驟如下：解：a2+ac=b2+bc;a2-b2-bc+ac=0;（a+b）（a-c）+c（a-b）=0;（a-b）（a+b+c）=0;a-b=0或a+b+c=0;∵△ABC三邊的邊長都大于0∴a=b故此三角形為等腰三角形

分組分解法不是一種獨立的方法，往往會適當添括號、交換、分組后使用或連續使用或綜合使用前面的三種基本方法。“分組”是關鍵，分組前要預見到分組后下一步該怎么辦，再確定用什么方法完成因式分解分組的前提是為后面利用什么方法進行因式分解做準備，所以要求學生分析、解決問題的能力較高。

參考文獻：

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