“因式分解”的教學(xué)方法歸納例析

曾惠蘭

摘要：因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形，是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段與工具。本文簡要地歸納總結(jié)學(xué)生在因式分解中重復(fù)性出現(xiàn)的錯誤情況。利用典型的例題分析解釋教師如何教育學(xué)生靈活掌握應(yīng)用因式分解。

關(guān)鍵詞：因式分解?重復(fù)性錯誤?教師?靈活掌握應(yīng)用

因式分解是“數(shù)與代數(shù)”模塊內(nèi)容之一，它與多項式的知識聯(lián)系緊密，既能鞏固多項式的運算，又能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力。在教學(xué)中我們可以教學(xué)生使用記憶口訣：首先提取公因式，其次考慮用公式，十字相乘排第三，分組分解排第四，幾法若都行不通，拆項添項試一試。

一、提取公因式、利用公式法

提公因式法是因式分解的一種基本方法，牢固掌握公因式的概念，把它的提取方法應(yīng)用到數(shù)的計算中非常便利。但是學(xué)生在提取公因式種容易出現(xiàn)（1）公因式提而不盡;（2）公因式有而不提;（3）公因式提后不補(bǔ)位。（4）分解不徹底。（5）公式不熟。（6）運算過程中符號出現(xiàn)錯誤。教師在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生容易出現(xiàn)的幾種錯誤進(jìn)行有針對性的練習(xí)。

對于提取公因式，我們在教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)練習(xí)，教會學(xué)生什么是公因式，怎么提取公因式。否則學(xué)生在練習(xí)中會導(dǎo)致分解不徹底。如例1：多項式ab2-2a2b的兩項中，公因式是什么？

解：∵ab2=a·b·b;-2a2b=-2·a·a·b ∴它們的公因式是a，b，ab。

此題中如果讓學(xué)生提取公因式，學(xué)生可能會提取a，提取b，或者提取ab，此時教師引導(dǎo)學(xué)生，我們需要把次數(shù)最高的公因式（不計系數(shù)）提出來，寫成下面的形式ab2-2a2b=ab（b-2a）：這種將多項式分解因式的方法，叫做提公因式法。此時通過確定不同公因式的提取，強(qiáng)調(diào)了提公因式法中要“將所有的公因式都提出來”，以后所說的提公因式法中的“公因式”指的是“次數(shù)最高的公因式（不計系數(shù)）”。教師還應(yīng)該幫學(xué)生總結(jié)確定公因式（三定原則）一定系數(shù)：當(dāng)系數(shù)都是整數(shù)時，取它們的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù);當(dāng)多項式首項符號為負(fù)時，還要提出負(fù)號。二定字母：各項中相同字母（或多項式因式）。三定字母的指數(shù)：相同字母（或多項式因式）的指數(shù)取次數(shù)最低的。并通過逆用冪的乘法運算展開單項式、逆用乘法分配律、提取公因式的過程，加深學(xué)生對提公因式法運算的理解。

對于公因式有而不提，一是學(xué)生解題策略上的偏差，二是學(xué)生缺乏整體性思維;如例2：100x2-25y2=（10x-5y）（10x+5y）很多學(xué)生的答案會出現(xiàn)這種錯誤情況，那該如何避免？?這就要求我們在平時的課堂教學(xué)中，教師針對有些多項式的分解因式需要兩步運算的問題，都要求學(xué)生按照如下步驟進(jìn)行：先看有無公因式，如果有要先提取公因式，然后再利用公式法進(jìn)行分解，簡稱“一提二套”。?而該學(xué)生沒有按照一般性的步驟進(jìn)行分解，在解題方向上打亂了常規(guī)的解題步驟，出現(xiàn)了解題策略性的偏差，出現(xiàn)公因式有而不提的現(xiàn)象。

例3：利用分解因式證明：257-512能被120整除

針對此題，學(xué)生會有不同的錯解，比如解：257-512=（52）7-512=514-512=52=25;或者解：257-512=（52）7-512=514-512=（57）2-（56）2=（57+56）（57-56）從學(xué)生的解答情況來看，第一步25變形為52，第二步冪的乘方運算都沒有出現(xiàn)錯誤，第三步如何作答？出現(xiàn)了解題障礙，不知采用何種策略解決，此時再次考慮題中的要求利用因式分解證明問題，所以需要把式子繼續(xù)恒等變形為積的形式。此題正確的解法應(yīng)該是把512看成一個整體，利用公因式法把512提出來，使得最終的結(jié)果中出現(xiàn)120這個因數(shù)：257-512=（52）7-512=514-512=512（52-1）=512×24=511×5×24=120×511教師在教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)所謂的公因式可以是單項式也可以是多項式，當(dāng)然也可以是冪的結(jié)構(gòu)形式，在代數(shù)解題中，教學(xué)生要能夠“看透”形式符號后的代數(shù)結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)從程序到結(jié)構(gòu)的過渡，否則學(xué)生的思維僵化，不能夠以已有知識結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)對新信息進(jìn)行編碼，不能夠完善建構(gòu)自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在解題策略上就會出現(xiàn)方向上的錯誤，造成運算無法進(jìn)行下去。

學(xué)生在公式應(yīng)用中會出現(xiàn)公式不熟，特別是需要逆用公式時會看不出來，是因為學(xué)生的逆向思維能力薄弱，這會阻礙學(xué)生的因式分解解題，所以需要老師引導(dǎo)學(xué)生突破思維的定勢，使思維進(jìn)入新的境界，達(dá)到應(yīng)用自如的程度。

例4：12a3+12a2+3a=3a（4a2+4a+1）實際上對于要進(jìn)行模式的識別，發(fā)現(xiàn)它是由三項構(gòu)成，首項4a2可變形為（2a）2末項可看作12，二者都是平方的形式，中間一項是4a=2×2a×1形式，恰好符合兩數(shù)和的完全平方公式的特點，所以還可以逆用完全平方公式進(jìn)行因式分解，但是學(xué)生在此止步運算，因為他沒有識別出完全平方公式的結(jié)構(gòu)，從而無法分解。

有些學(xué)生會出現(xiàn)公因式提后不補(bǔ)位的狀況，這屬于知識性的錯誤，學(xué)生在解題中如果存在著某些知識上的缺陷，或者是受前置學(xué)習(xí)內(nèi)容的影響，也會發(fā)生錯誤的情況。

例5：ab-cb-b=b（a-c）學(xué)生出現(xiàn)錯誤是不理解數(shù)字“1”作為多項式的項存在時，是絕不能省略的;一個字母?b?的系數(shù)是?1，提取字母?b?后，并不是沒有項了，還有系數(shù)1。這種錯誤出現(xiàn)可能學(xué)生混淆了我們前面學(xué)習(xí)有關(guān)整式的內(nèi)容時，如果“1”作為系數(shù)通常是可以省略不寫的，而且“1”作為指數(shù)的時候也是可以省略。這就要求我們在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識、方法分類歸納總結(jié)，找出它們的共同性和差異性。

部分學(xué)生平時做題時會出現(xiàn)疏忽性錯誤，比如運算過程中出現(xiàn)錯誤，如例6：-3a3-6a2+12a=-3a（a2-2a+4）=-3a（a+2）2錯誤原因進(jìn)行多項式的因式分解時，當(dāng)?shù)谝豁椇小啊碧枙r，選取公因式的系數(shù)應(yīng)該是負(fù)數(shù)，提公因式后剩余各項要改變符號。這就要求教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生整式運算中，去括號時注意符號變換情況，通過強(qiáng)化訓(xùn)練減少學(xué)生的錯誤率。

考慮到因式分解的方法在初高中銜接中的作用，例如，在高中階段解一元二次不等式和求導(dǎo)判斷曲線的形狀等等，大部分初中教師會補(bǔ)充兩種方法，十字相乘法和分組分解。

二、十字相乘法

用十字相乘法對多項式進(jìn)行因式分解，對解一元二次方程和高中階段的二次不等式很有幫助，所以有些老師選擇在初中階段補(bǔ)充十字相乘法，主要是針對不能用完全平方公式的二次三項式的，而且系數(shù)部分有著關(guān)聯(lián)，多項式具備的特征往往是含三項，方便學(xué)生快速解一元二次方程。但是很多學(xué)生在遇到題目時不會運用十字相乘法。

例7：x2-3x+2=x（x-3）+2出現(xiàn)這錯誤原因一是學(xué)生對十字相乘法概念不熟，二是學(xué)生由于對因式分解概念規(guī)則的特殊形式辨別錯誤，忽視最后結(jié)果形式的約束規(guī)則，即使從表象上都無法辨別因式分解的分解形式必須是多個因式相乘的形式。由于十字相乘法在初中教材中被刪減，所以我們在教學(xué)過程中要教會學(xué)生什么是十字相乘法，為何要教，什么時候教，是不是每個二次三項式都能進(jìn)行因式分解。

三、分組分解法

將一個多項式分組后，再提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法就是分組分解法，對于初中因式分解方法中并沒有要求，但是在因式分解的應(yīng)用中有所涉及，比如利用分組分解法進(jìn)行因式分解判斷三角形的形狀。

例8：已知a，b，c是△ABC的三邊，且a2+ab=b2+bc，試判短三角形的形狀

解：∵a2+ac=b2+bc ∴a（a+c）=b（b+c）錯誤剖析：學(xué)生第一步的解題策略采用提公因式法把等式的左右兩邊進(jìn)行因式分解，然后就無法繼續(xù)運算，原因在于是沒有合理的進(jìn)行分組。此題解答策略上最關(guān)鍵的是不能局限于方程左右兩邊獨立運算，要有全局意識解決此類問題，所以需要先進(jìn)行移項，然后合理分組進(jìn)行因式分解，再提取公因式，運算步驟如下：解：a2+ac=b2+bc;a2-b2-bc+ac=0;（a+b）（a-c）+c（a-b）=0;（a-b）（a+b+c）=0;a-b=0或a+b+c=0;∵△ABC三邊的邊長都大于0∴a=b故此三角形為等腰三角形

分組分解法不是一種獨立的方法，往往會適當(dāng)添括號、交換、分組后使用或連續(xù)使用或綜合使用前面的三種基本方法。“分組”是關(guān)鍵，分組前要預(yù)見到分組后下一步該怎么辦，再確定用什么方法完成因式分解分組的前提是為后面利用什么方法進(jìn)行因式分解做準(zhǔn)備，所以要求學(xué)生分析、解決問題的能力較高。

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