一題多解與一題多變在高中數學教學中的運用

張銳利

摘 要：數學，是一門自然學科。對于所有的高中生來說，要學好這門學科，卻不是一件容易的事。大多數高中生對數學的印象就是枯燥、乏味、沒有興趣。但由于高考“指揮棒”的作用，又不得不學?！霸鯓硬拍軐W好數學？”成了學子們問得最多的問題。而怎樣回答這個問題便成了教師們的難題。很多人便單純的認為要學好數學就是要多做題，見的題多了，做的題多了，自然就熟練了，成績就提高了！于是，“題海戰術”便受到很多教育工作者的青睞。熟話說，“熟能生巧”，當然，多做體肯定對學生數學成績的提高有一定的好處。但長期這樣，只會使數學越來越枯燥，讓學生越來越厭煩，于是出現厭學、抄作業等現象。

關鍵詞：一題多解;基本思想;練習和習題

對于傳統的數學教學來說，教學過程的重點不外乎為：講解定義推導公式，例題演練，練習，及習題的安排。下面就一題多解與一題多變在教學中的運用談談我個人的幾點看法。

一、在例題講解中運用一題多解和一題多變

在例題講解中運用一題多解和一題多變，就不用列舉大量的例題讓學生感到無法接受。而是從一個題中獲得解題的規律，技巧，從而舉一反三。

下面僅舉一例進行一題多解和一題多變來說明：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示例。

解法一：（函數思想）由x+y=1得y=1-x，則

x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-1/2）2+1/2

由于x∈[0，1]，根據二次函數的圖象與性質知

當x=1/2時，x2+y2取最小值1/2;當x=0或1時，x2+y2取最大值1。

評注：函數思想是中學階段基本的數學思想之一，揭示了一種變量之間的聯系，往往用函數觀點來探求變量的最值。對于二元或多元函數的最值問題，往往是通過變量替換轉化為一元函數來解決，這是一種基本的數學思想方法。解決函數的最值問題，我們已經有比較深的函數理論，函數性質，如單調性的運用、導數的運用等都可以求函數的最值。

解法二：（三角換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設

x=cos2θ，y=sin2θ ? 其中θ∈[0，π/2]

則x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ

=1-1/2（2sinθcosθ）2=1-1/2sin22θ

=1-1/2×（1-cos4θ）/2=3/4+ 1/4cos4θ

于是，當cos4θ=-1時，x2+y2取最小值1/2;

當cos4θ=1時，x2+y2取最小值1。

評注：三角換元思想也是高中數學的基本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉化為三角恒等式變形后來解決，而三角恒等變形卻有著一系列的三角公式，所以運用三角換元解決某些問題往往比較方便。

解法三：（對稱換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設

x=1/2+t， ?y=1/2-t，其中t∈[-1/2，1/2]

于是，x2+y2= （1/2+t）2+（1/2-t）2=1/2+2t2 ? t2∈[0，1/4]

所以，當t2=0時，x2+y2取最小值1/2;當t2=1/4時，x2+y2取最大值1。

評注：對稱換元將減元結果進行簡化了，從而更容易求最值。

這三種方法，在本質上都一樣，都是通過函數觀點來求最值，只是換元方式的不同而已，也就導致了化簡運算量大小不同，教師通過引導、啟發學生主動思考、運用，提高了學生對數學的認識，也增強了學生思維能力的提高。

解法四：（運用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1

則 ? ? ? ?xy≤（x+y）2/4=1/4，從而0≤xy≤1/4

于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy

所以，當xy=0時，x2+y2取最大值1;當xy=1/4時，x2+y2取最小值1/4。

評注：運用基本不等式可以解決一些含有兩個未知量的最值問題，但要注意等號成立的條件是否同時滿足。

這樣一個由特殊性逐步一般化的思維過程，加強了學生思維能力的培養，通過這樣一系列的一題多解和一題多變，培養了學生的綜合分析能力、提高了學生數學思維能力，滲透了一些數學方法，體現了一些數學思想，也提供了一個推向一般性的結論。在數學教學中，若將經典例題充分挖掘，注重對例題進行變式教學，不但可以抓好基礎知識點，還可以激發學生的探求欲望，提高創新能力;不僅能讓教師對例題的研究更加深入，對教學目標和要求的把握更加準確，同時也讓學生的數學思維能力得到進一步提高，并逐漸體會到數學學習的樂趣。當然，在新課的教學中有些方法所用的知識，學生還未學到，此時，我們可從中挑選學生學過的知識。其他方法可在今后的總復習中給出。

二、在練習和習題中訓練學生運用一題多解和一題多變

在數學教學中，很多老師在課后給學生布置除書上練習題和習題以外的大量習題。使學生感到負擔很重。我們為什么不能從書上的習題入手，進行演變，逐漸加深。讓學生有規律可尋，循序漸進。日積月累過后，學生解題能力自然提高，對于從未見過的新題也會迎刃而解。這樣的作業方式不只可以達到復習鞏固的目的，還可以提高學生的探究能力及學習數學的興趣。

例如，在學習拋物線后，在習題中出現了以下一題：

過拋物線y2=2px 焦點的一條直線和這條拋物線相交，設兩個交點縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設線段AB為過拋物線焦點的弦）

此題證明并不難，但其結論卻很有用，關鍵是運用其結論。在布置此題給學生時我們便可以有針對性的演變。如變成

（1）證明：過拋物線焦點弦兩端點的切線與拋物線的準線，三點共線。

（2）證明：拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點的連線，平行于拋物線的對稱軸。

（3）證明：拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點連結線段，等于焦點弦長的一半，并且被這條拋物線平分。

另外，我們還可以讓學生自己變式，便還可能出現如下變式：

（4）證明：拋物線焦點弦兩端點的切線互相垂直。

（5）證明：拋物線的準線是其焦點弦兩端點的切線的交點的軌跡。

（6）證明：過拋物線焦點一端，作準線的垂線，那么垂足、原點以及弦的另一端點，三點共線。

在數學習題教學中，一題多變也得循序漸進，步子要適宜，變得自然流暢，使學生的思維得到充分發散，而又不感到突然。

參考文獻：

[1]陳峰.高中數學課堂有效性教學的案例研究[J].讀與寫（教育教學刊），2019，16（08）：87.

[2]胡揚道.加強高中數學實踐 開展課堂有效教學[J].讀與寫（教育教學刊），2019，16（08）：90.