超聲局部共振系統設計與試驗研究

李鵬濤, 趙波， 趙重陽， 王毅

(河南理工大學 機械與動力工程學院, 河南 焦作 454000)

0 引言

超聲加工具有極強的切削能力以及極高的強化能力[1]，廣泛應用于超聲車削、磨削、鉆削、鏜削、焊接、滾壓等諸多領域[2-7]。超聲振動系統是超聲加工的核心組成部分。研究表明，調整超聲振幅和頻率可以提高加工表面質量[8-9]。合理設計超聲振動系統對超聲加工的發展與應用具有重要意義。在實際超聲加工中，變幅桿的輸出端面有負載，傳統設計時忽略刀具負載影響，降低了設計及計算難度，卻使得超聲振動系統實際諧振頻率與理論值產生偏差，且隨加工條件的改變造成振動系統失諧，不利于充分發揮超聲加工優勢，而考慮刀具負載可取得較好的設計效果[10-12]。

范國良等[13]利用超聲技術加工深小孔時，發現當工具桿直徑(或面積)遠小于與之連接的變幅桿輸出端直徑(或面積)，即二者直徑之比小于0.30(或面積比約小于10%)時，工具桿能獨立于變幅桿單獨共振，并將此現象稱為局部共振現象。該現象的發現簡化了超聲振動系統設計，擺脫了按半波長整數倍進行設計的概念。之后，很多學者又進行了研究：趙波等[14]在超聲珩磨復雜聲學系統的研究中發現，若將撓性桿- 油石座振動子系統看作一個單獨共振體，復雜系統采用局部共振原理來設計，則只要保證撓性桿- 油石座- 振動圓盤相互的截面比值不大于10%，即可滿足局部共振條件且能獲得良好振動效果。徐可偉等[15]研究了簡單變幅系統的局部共振設計方法。應崇福等[16]在動力吸收器的原理推導中得出在變幅桿與工具桿的聯接處總會出現位移節點的結論。鄭建新等[17]在振動鉆削研究中從理論上得到了聯接處總會出現位移節點的原因。周光平等[18]提出局部共振是聲學系統在諧振狀態下的一種特殊情況。鮑善惠[19]提出局部共振是變幅系統與工具桿在弱耦合時的一種特殊表現。局部共振設計時考慮工具桿，可完全避免刀具本身負載對系統諧振頻率的影響，但利用局部共振如何設計聲學振動系統鮮有報道。

本文利用局部共振原理將變幅桿和工具桿均作為子系統進行單獨設計，以避免刀具負載對諧振頻率的影響。推導了組合系統的頻率方程，進而確定了振動系統的尺寸，對振動系統進行了仿真分析并進行了試驗驗證，為超聲振動系統設計提供了一種參考方法。

1 理論分析

1.1 局部共振系統的頻率方程

如圖1所示，將變幅桿作為子系統A，工具桿作為子系統B. 圖1中：FA為A系統變幅桿與工具桿的連接處所受的力；FB為B系統工具桿與變幅桿的連接處所受的力；XA、XB為位移坐標；Rl、Rs分別為A系統變幅桿大端面和小端面半徑；Lf、Lt、Le分別為A系統變幅桿首段、過渡段和末段長度。

圖1 超聲振動系統模型Fig.1 Ultrasonic vibration system model

系統所受的力與位移的比值稱為位移阻抗，子系統的位移阻抗為

(1)

整個系統在連接處的總阻抗為子系統阻抗值之和[15]：

Z=ZA+ZB，

(2)

組合系統諧振狀態下Z=0，即子系統A與子系統B的阻抗和為0.

子系統A的設計長度為1/2波長，變幅桿制作材料選用疲勞強度較高且易加工、振動傳遞效果較好的45號鋼。材料參數如表1所示。

表1 45號鋼材料參數

變截面桿縱向振動的波動方程為

(3)

式中：ε為質點位移函數；x為質點坐標；S為變幅桿橫截面積；k為圓波數，k=ω/c，ω為圓頻率。對于圓錐過渡復合變幅桿，頻率方程為

(4)

變幅桿大端需與換能器相匹配，取大端半徑Rl=15 mm、小端半徑Rs=7 mm. 將45號鋼的材料參數代入(4)式，經計算得首段長度Lf=30 mm，過渡段長度Lt=35 mm，末段長度Le=17 mm.

細長的等截面工具桿局部共振出現在工具桿的直徑(或面積)小于與之相接的變幅桿輸出端直徑(或面積)時，即在直徑比約小于0.30(或面積比約小于10%)時發生局部共振[13]。子系統A的輸出端半徑7 mm，故可取子系統B中的工具桿直徑為3 mm，以使組合系統發生局部共振。

單自由度機械振動系統的位移阻抗為

k0-ω0m0+jω0c0,

(5)

式中：k0為系統彈性系數；ω0為系統固有頻率；m0為系統質量；c0為系統阻尼系數。

將系統A等效為如圖2所示的單自由度振動系統，即不計阻尼cA時，子系統A的位移阻抗：

ZA=kA-ωAmA,

(6)

式中：kA為變幅桿彈性系數；ωA為變幅桿固有頻率；mA為變幅桿質量。

圖2 子系統A動力學模型Fig.2 Dynamics model of Subsystem A

子系統B為一圓柱形工具桿，其阻抗[15]為

ZB=-EBdBkBtan(kBLB)，

(7)

式中：EB為工具桿彈性模量；dB為工具桿直徑；kB為組合系統的圓波數，亦是工具桿一端固定另一端自由時的圓波數；LB為工具桿長度。

由此可得振動系統的頻率方程為

kA-ωAmA+EBdBkBtan(kBLB)=0.

(8)

由(8)式可以看出：子系統A的位移阻抗是固定不變的，當工具桿材料及面積確定時，子系統的位移阻抗僅與設計頻率及長度有關；當工具桿長度發生改變時，僅需改變設計頻率值即可使頻率方程成立。由此從理論上解釋了工具桿發生磨損后僅需調節激振頻率振動系統仍能取得良好振動效果。

本文取工具桿與變幅桿的材料均為45號鋼，設計頻率為40 kHz，將參數值代入頻率方程(8)式，經數值分析軟件MATLAB進行計算，得出LB=32 mm.

1.2 仿真驗證

利用有限元分析軟件ANSYS對設計的變幅桿進行仿真分析，定義材料參數如表1所示，對其進行模態分析并提取縱振模態，仿真結果如圖3所示。由分析結果可知，所設計變幅桿的諧振頻率為35 083 Hz,與理論值僅相差83 Hz，變幅桿子系統A設計正確。

圖3 子系統A模態分析結果Fig.3 Modal analysis results of Subsystem A

將所設計的局部共振系統以及一端固定、一端自由狀態下的子系統工具桿進行模態分析，分析結果如圖4和圖5所示。

圖4 振動系統模態分析結果Fig.4 Modal analysis results of vibration system

圖5 子系統B模態分析結果Fig.5 Modal analysis results of Subsystem B

由圖4及圖5可看出，超聲振子的諧振頻率為40 440 Hz，工具桿在一端固定、另一端自由狀態下的諧振頻率為39 539 Hz，二者接近相等且與設計值偏差均小于1.25%，表明設計過程合理且準確；子系統B發生局部共振時，系統諧振頻率在工具桿固有頻率附近，此時整個系統依然是全諧振狀態，因此局部共振可理解為系統諧振時的特殊情況。

為得到振動系統軸向不同位置的振動位移，在變幅桿輸入端施加1 μm位移振動，激振頻率為超聲系統諧振頻率進行諧響應分析，分析結果如圖6所示。

圖6 振動系統軸向位移分布Fig.6 Axial displacement distribution of vibration system

從圖6中可以看出，變幅桿(長度0～82 mm)的振幅相對于工具桿的振幅較小，變幅桿與工具桿連接處位移接近于0 mm，工具桿起到振幅放大作用，達到局部共振設計目的。

實際加工中，變幅桿需添加與刀柄相連的法蘭盤，由圖6所示的諧響應分析結果可知，節點位置與輸入端距離相差27 mm，取法蘭盤中間平面位于該位置、法蘭厚度為6 mm、直徑60 mm，對振動系統進行模態分析，結果如圖7所示。從圖7中可見，添加法蘭盤后系統的諧振頻率上升至40 516 Hz. 原因是添加法蘭盤后，子系統A的質量發生改變，從而造成頻率發生改變，但偏差量較小，與設計頻率的相對偏差值僅有1.3%，在誤差允許范圍內。

圖7 振動系統模態分析結果Fig.7 Modal analysis results of vibration system

綜上所述，基于局部共振理論的超聲振動系統設計完成，并通過有限元仿真進行了驗證，故按照局部共振原理來設計振動系統是可行并且正確的。該系統設計完成后，系統頻率不受刀具負載的影響。

2 子系統A在負載下的頻率變化

2.1 子系統A在負載下的頻率方程

圖8 復合變幅桿等效T形網絡Fig.8 Equivalent T-shaped network of composite horn

變幅桿在純抗性負載下的頻率方程[21]為

(9)

當負載Z=0時，頻率方程可化為上述無負載下的頻率方程(4)式。由此可知，空載下的頻率方程是抗性負載下的頻率方程特殊情況。

圖9 Le不同取值下的諧振頻率變化曲線Fig.9 Variation diagram of resonance frequency at different lengths of Le

同時可發現變幅桿長度Le減小，共振頻率隨抗性負載的變化越敏感。例如當容抗負載足夠大時，Le=17 mm的變幅桿諧振頻率值與設計值相差41 471 Hz，Le=33 mm的變幅桿諧振頻率值與設計值相差4 393 Hz，二者相差約9.44倍。因此Le的長度對于負載下的共振頻率影響較大，為盡量減小抗性負載對諧振頻率的影響，設計變幅桿時，應增加Le的值。

2.2 刀具負載對諧振頻率的影響

如果刀具形狀簡單，且橫向尺寸小于1/10波長、長度小于1/4波長，則工具桿對變幅桿的影響可以看作質量抗性負載。忽略刀具裝夾的影響，取刀具材料與變幅桿材料相同，均為45號鋼。變幅桿添加直徑為6 mm、8 mm的刀具，采用模態分析方法提取刀具不同長度下的縱向振動諧振頻率值，模態分析圖與不同刀具參數下的諧振頻率曲線圖如圖10和圖11所示。

圖10 變幅桿施加刀具負載的模態分析結果Fig.10 Modal analysis of horn after applying a tool load

圖11 不同刀具參數下的諧振頻率變化曲線Fig.11 Resonance frequency curves under different tool parameters

由圖11可見，隨著刀具長度的增加，振動系統的諧振頻率逐漸減小，當刀具伸長量不變時，諧振頻率隨著刀具直徑的增加而減小，刀具負載應為感抗負載。當直徑為φ8 mm的刀具長度為32 mm時，其諧振頻率與理論設計值偏差在25%以上，頻率差值較大，局部共振設計的振動系統則不受刀具負載的影響，仿真結果與理論值的相對偏差在2%以內，具有明顯的優越性。

3 試驗

3.1 局部共振系統的試驗驗證

機械加工出按局部共振理論設計的變幅桿，利用PV70阻抗分析儀進行阻抗頻率分析，阻抗分析現場及測量結果如圖12、圖13所示。

圖12 阻抗分析測量現場Fig.12 Impedance analysis and measurement setup

由分析結果可知：變幅桿實測諧振頻率約39 530 Hz，與設計頻率相差約500 Hz. 這是因為：1)仿真時未考慮變幅桿與換能器的連接問題；2)加工材料特性值與模態分析定義值不能完全相同。

從整體結果來看，實際頻率值與工具桿的仿真固有頻率值非常接近，與設計頻率值的相對誤差小于3%，且導納圓圓度較好，電導曲線正常，電阻值僅有20 Ω，振動系統的機械品質因數較好。即系統電聲轉化效率高，表明所設計變幅桿的尺寸及其結構十分合理。

利用日本基恩士公司生產的KEYENCELK-G10型激光位移傳感器進行振幅測試，振幅值可達18 μm，測量結果如圖14所示，圖中縱坐標單位為mm.

由圖7所示的仿真分析結果可知：系統發生局部共振時，工具桿起振幅放大作用，變幅桿振動位移較小。激光測振儀難以對系統各處的振幅進行測量，故利用測振儀無法得到系統的振動位移分布規律。但是振動系統某處的振動位移越大，其應力就較大，溫度相應越高，為得到所設計振動系統不同位置的振動情況，采用美國FLIR公司生產的FLIRE5紅外熱像儀對其進行溫度測量，測量結果如圖15所示。

圖15 紅外熱像儀測試結果Fig.15 Test results of infrared thermal camera

從圖15中可以看出，振動系統的發熱主要集中在換能器的壓電陶瓷處以及工具桿處。壓電陶瓷是超聲振動的激勵處，且與電源相連，將電能轉換為機械能并伴隨著能量損失，故溫度較高。變幅桿整體溫度相對于工具桿較低，可以推測變幅桿振幅相對于工具桿較低，工具桿起到振幅放大的作用，與上述諧響應分析結果相同，進一步驗證了采用局部共振設計的正確性。

3.2 力負載下的對比試驗

抗性負載由力負載引起，為探究局部共振系統及單獨設計的系統在力負載下諧振頻率的變化規律，制作了特定工裝進行了模擬分析試驗，試驗測量現場如圖16所示。

圖16 模擬試驗測量現場Fig.16 Simulation test measurement site

試驗前機械加工一個圓錐過渡復合變幅桿即傳統方法下僅對變幅桿進行設計的聲學振動系統，變幅桿材料為45號鋼，采用與45號鋼特性相近的高速鋼刀具。調節刀具伸長量，使其在彈簧夾頭中的夾持長度合適，以使聲波有效傳遞。將變幅桿法蘭盤置于工裝上表面，工裝由鎖刀座支撐，鎖刀座下部放置由日本Kistler公司生產的9257B型壓電式三向測力儀傳感器，整個裝置放置于萬能銑床工作臺上，壓力桿連接在主軸上且位置固定不動，轉動手輪調節機床工作臺高度，給刀具施加不同大小的軸向力。為減弱工裝對測量的影響，在法蘭盤與工裝連接處設有阻止振動傳遞的墊片，振動系統諧振頻率由杭州泛索能超聲科技有限公司生產的PV520A阻抗分析儀進行測量。由于45號鋼強度有限，僅施加至一般加工時刀具所受的軸向力大小，本文取500 N，測量結果如圖17所示。

圖17 諧振頻率隨力負載變化曲線Fig.17 Resonance frequency vs. load force

由圖17可見：單獨設計與按照局部共振設計的振動系統，其諧振頻率均先隨力負載的增大而增加，而后趨于穩定；力負載下的諧振頻率變化與容性負載下的頻率變化趨勢相同，但是負載力為500 N時，局部共振系統的頻率增加值約占傳統方法設計時的25%，故采用局部共振理論設計的振動系統在力負載下更加穩定。

3.3 超聲輔助鉆削試驗

試驗平臺搭建在沈陽機床廠生產的VMC850E三軸立式加工中心上，測力儀固定在加工中心的工作臺上，浙江天一機床附件公司生產的三爪卡盤被固定于測力儀上，將超聲專用刀柄與主軸相連，上述局部共振系統中的子系統B由直徑3 mm的鉆頭代替，進行TC4鈦合金鉆削試驗。僅對軸向力進行采集，試驗現場如圖18所示。試驗方案如表2所示，其中：1號試驗采用局部共振系統，2號試驗采用傳統超聲系統，3號試驗采用普通加工。

圖18 鉆削試驗現場Fig.18 Drilling test setup

試驗序號轉速/(r·min-1)進給速度/(mm·min-1)振幅/μm1號30002042號30002043號3000200

由圖19可知，與普通鉆削相比，超聲振動鉆削可使軸向力降低約20%，但超聲輔助鉆削時軸向力具有波動性。與傳統超聲系統相比，局部共振系統在鉆削時軸向力的波動較小。究其原因：由于超聲振動的施加，使得軸向負載力發生變化，又從模擬試驗可知超聲系統在力負載下，諧振頻率會升高，而局部共振系統的頻率偏差量較小；因頻率對負載力也具有反作用，故引起局部共振系統的軸向力波動較小，從而也表明采用局部共振理論設計可提高超聲系統的穩定性。

圖19 不同加工條件下的軸向力對比圖Fig.19 Comparison of axial forces under different processing conditions

將加工完成的試件放置在日本基恩士公司生產的VHX-2000型超景深顯微鏡下進行觀察，由圖20所示的觀察結果可知，局部共振系統與傳統超聲加工系統的制孔效果相差較小，局部共振系統加工出的孔的邊緣處略顯光滑，而采用普通加工制出的空有明顯毛刺。故超聲振動的施加有效抑制了毛刺的產生，又因局部共振系統更加穩定，導致加工效果相較于傳統超聲加工較好。

圖20 不同加工條件下的結果對比圖Fig.20 Comparison of machining results of under different machining conditions

4 結論

本文推導了局部共振狀態下的頻率方程，為超聲振動系統設計提供了新的方法。設計一個帶有復合變幅桿的振動系統，并進行了試驗探究。得出結論如下：

1)子系統A在抗性負載下的容抗越大，系統共振頻率越大；感抗越大，共振頻率越小。設計變幅桿時增加Le值，可減弱負載影響。

2)當φ8 mm工具桿長度為32 mm時，傳統聲學系統諧振頻率值與設計頻率值的相對偏差達25%以上，而采用局部共振系統則不受刀具本身負載影響。力負載下，系統諧振頻率將升高，軸向負載力為500 N時，傳統聲學系統的諧振頻率與空載時的頻率偏差值為1.15 kHz，而局部共振系統的頻率偏差值小于300 Hz，穩定性明顯較高。

3)局部共振系統在實際加工中力的波動性小于傳統超聲系統，且有效抑制了孔壁毛刺的產生，其加工效果相較于普通加工及傳統超聲加工方式均較好。