基于分布式壓縮感知的麥克風陣列聲源定位

黃惠祥， 郭秋涵， 童峰

(廈門大學 水聲通信與海洋信息技術教育部重點實驗室， 福建 廈門 361100)

0 引言

麥克風陣列目前被廣泛應用于音頻/視頻會議系統、車載系統以及智能音箱等領域。麥克風陣列對聲源方向上的語音進行增強，要求信號相對于麥克風陣列的位置是已知的，而基于麥克風陣列的聲源定位技術為此提供了支持。傳統麥克風陣列聲源定位技術主要分為三大類：基于最大輸出功率的可控波束形成定位算法[1]、時延估計定位算法[2]和基于高分辨率譜估計的定位算法[3]。

可控波束形成定位算法需要做全局搜索，計算量大，同時對語音信號和噪聲信號的頻譜特性依賴性較強。時延估計定位算法[4]運算量較小，易于算法的硬件實現。但是該算法受到噪聲、混響、信號采樣率等方面的影響，麥克風陣列各個陣元時延值精確獲取的難度增大，導致算法的定位性能降低。基于聯合可控響應功率和相位變換(SRP-PHAT)聲源定位算法[5]結合了可控響應功率和相位變換加權的優點，相對于時延估計定位算法有更好的性能，然而在混響和噪聲強情況下，該算法可能會在錯誤的空間位置上產生波束峰值，定位效果下降。基于高分辨率譜估計的算法主要運用于窄帶信號的處理，對于語音這種寬帶信號會使算法運算量增加，不適于實時實現。

2006年，Donoho等提出的壓縮感知(CS)[6]算法為信息獲取提供了新的理論。該算法提出，對于可壓縮信號，可以通過低于奈奎斯特標準的方式對其進行數據采集并精確重構該信號[7]。隨著CS理論的發展，近些年已經應用于聲學領域對空間稀疏的聲源進行定位研究[8]。趙小燕等[9]針對高混響低信噪比的環境提出了基于CS的定位算法，將聲源定位問題轉化為稀疏信號的重構問題，利用正交匹配追蹤(OMP)算法對信號進行重構。曾帆等[10]在CS框架下，利用麥克風陣列空間關系構造沖激響應組成混合矩陣，進行遠場波達方向估計，在較低信噪比情況下相比SRP-PHAT算法和時延累加(DS)定位算法具有更高的方位估計分辨率。

Haupt等[11]在2006年提出了將CS應用到多個觀測信號中，但是僅考慮各個信號間的互相關，沒有考慮單個信號的內相關。Baron等[12]根據多個信號稀疏性的相關，提出了分布式壓縮感知(DCS)理論，對多個信號的聯合重構提升了稀疏信號的重建性能。Baron提出了3種聯合稀疏模型(JSM)，其中JSM2模型提出每個信號間具有相同的稀疏支撐集，而只是非零系數不同[12]。JSM2模型主要應用于水聲多輸入多輸出通信和陣列信號處理與聲源定位兩個方面，周躍海等[13]在DCS框架下，將稀疏長時延水聲信道估計問題轉化為JSM2模型的聯合稀疏恢復問題，提高了稀疏長時延水聲信道估計的性能。然而DCS理論在陣列信號處理與聲源定位等方面的應用較少。

考慮聲源定位中聲源在空間域上的稀疏相關性，結合麥克風陣列的實際應用，本文以DCS的JSM2模型為框架，將聲源定位問題轉化為稀疏信號的聯合重構問題。采用同步正交匹配追蹤(SOMP)算法對信號進行重構，進而估計聲源方位。在仿真和實測實驗中，對DS算法、SRP-PHAT算法、壓縮感知- 正交匹配追蹤(CS-OMP)算法和本文采用的分布式壓縮感知- 同步正交匹配追蹤(DCS-SOMP)算法的聲源定位效果進行了對比和評估，結果表明DCS-SOMP算法具有更好的定位性能。

1 基于DCS的方位估計算法

1.1 CS理論

考慮有限長一維離散時間信號X，可以看作N×1維的列向量X=[X1,X2,…,Xn,…,XN]T，可用基矩陣Ψ=[Ψ1,Ψ2,…,Ψn,…,ΨN]T線性表示為

(1)

式中：系數矢量S為N×1維的列向量，顯然S和X是同一個信號的等價表示，不同之處在于X是信號的時域表示，而S則是信號的Ψ域表示。若矢量S中的非0個數‖S‖0滿足

‖S‖0=K?N，

(2)

則認為信號X在基矩陣Ψ上為K稀疏信號，K為X信號的稀疏度，基矩陣Ψ為稀疏基。

在CS理論中，若信號在基矩陣上是稀疏的，則稀疏信號可以線性投影到低維空間，利用低維空間的采樣信號，能夠高概率地無損重構出高維的原始信號。通常利用一個平穩的、與基矩陣Ψ不相關的P×N(P?N)維觀測矩陣Φ對信號X進行線性變換，得到P×1維的觀測矢量Y=[Y1,Y2,…,Yp,…,YP]T，可表示為

Y=ΦX=ΦΨS=ΘS，

(3)

=argmin‖S‖0，
s.t. ‖Y-ΘS‖2≤ε，

(4)

式中：ε為與噪聲有關的常量。CS理論的核心問題是信號重構，目前重構算法有貪婪追蹤算法、凸松弛法、組合算法三大類[15]。

1.2 CS聲源方位估計算法

處于遠場室內環境的M元麥克風陣列，第m個麥克風接收到的信號xm(n)(m=1,2,…,M)為

(5)

Xm(k)=Hm(rs,k)S(k)+Wm(k)，

(6)

式中：Xm(k)、Hm(rs,k)、S(k)、Wm(k)分別為xm(n)、hm(rs,n)、s(n)、ωm(n)的離散傅里葉變換。將M個麥克風信號用矢量表示為

X(k)={X1(k),X2(k),…,XM(k)}T，
H(rs,k)={H1(rs,k),H2(rs,k),…,HM(rs,k)}T，
W(k)={W1(k),W2(k),…,WM(k)}T，

則(6)式可擴展為

X(k)=H(rs,k)S(k)+W(k)，

(7)

式中：X(k)為頻域的麥克風陣列接收信號矢量；H(rs,k)為聲源位置rs處的房間頻域響應矢量；W(k)為頻域的噪聲矢量。

令聲源的空間位置集為{r1,r2,…,rD}，其中空間位置集個數D遠大于目標聲源個數，則冗余的房間頻域響應矩陣為

D(k)={H(r1,k),H(r2,k),…,H(rD,k)}，

(8)

(9)

在各類信號重構算法中，OMP算法[17]的計算復雜度較低，該算法的主要過程為：計算觀測矩陣和壓縮采樣信號的最大相關位置，通過求解最小二乘問題得到信號的近似解；在迭代次數小于稀疏度的情況下重復上述過程，輸出最大相關的索引集和重構后的信號。

1.3 DCS聲源方位估計算法

基于DCS的算法，在經典CS算法基礎上，利用共同稀疏性可以提高稀疏恢復性能。麥克風陣列接收的多個信號間具有共同稀疏集，但是由于信號傳播導致的幅度衰減，非0系數的值不同[12]，符合DCS理論中的JSM2模型。因此可以利用這種稀疏相關的特性，提高稀疏信號的無損恢復概率，從而進一步提高對聲源定位的能力。

在JSM2模型中，第i個數據塊的接收信號Xi在基矩陣下可線性表示為

Xi=SiΨT+Wi,i=1,2,…,I，

(10)

式中：I表示數據塊個數。聯合I個數據塊對信號稀疏重構，建立如下優化問題：

(11)

CS矩陣Θ在滿足RIP條件下，對系數S聯合重構后的結果在基矩陣Ψ上的表示最稀疏。對S的聯合重構問題可以采用SOMP算法進行求解。聯合稀疏重構實現聲源定位的算法流程如下：

輸入：I個接收數據塊X=[X1,X2,…,XI]，觀測矩陣Φ，稀疏度K，殘差誤差門限thres.

輸出：重構信號Y=[Y1,Y2,…,YI]，稀疏位置集Ω，殘差r.

(12)

3) 采用最小二乘法求出信號的近似解：

βi=[(φi,λt)Tφi,λt]-1φi,λtXi，

(13)

保存各個數據塊的信號近似解：Yi=Yi∪βi，并求殘差：

(14)

在上述迭代過程中可以看出，聯合稀疏重構算法在OMP基礎上，利用每個數據塊具有相同稀疏位置的特性，對數據塊之間相同的稀疏部分進行疊加，以進一步提高找出信號稀疏位置的能力。特別地，當I=1時，聯合稀疏重構的SOMP算法退化成經典OMP算法。

2 數值仿真

為了評估DCS-SOMP算法的定位性能，本文進行了仿真和實驗評估分析，在仿真實驗中比較了DS算法、SRP-PHAT算法、CS-OMP算法和本文DCS-SOMP算法在不同信噪比和混響時間下的定位情況，同時對比了CS-OMP算法和DCS-SOMP算法在選取不同頻點數和不同聯合估計數據塊個數情況下的定位性能。在實際場景的實驗中，對比了4種算法在不同信噪比下的定位效果。

2.1 仿真設置

仿真實驗中麥克風陣列直徑為65 mm，陣列拓撲結構為圓形陣列，陣元數為7，包括圓周6個陣元以及幾何中心1個陣元，將聲源可能存在的空間按照15°間隔劃分為24個空間域集，目標聲源數目為1. 語音信號選取TIMIT標準語音信號，信號時間長度為5 s，語音信號采樣率為32 kHz，處理幀長為128個點，每幀信號采用漢明窗加窗處理，做128點離散傅里葉變換。實驗通過對語音信號疊加不同程度的高斯白噪聲后形成不同信噪比的語音信號，通過房間混響產生工具[18]獲取不同混響程度下的房間沖激響應與語音信號并進行卷積，形成不同混響情況下的語音信號。

采用樣條插值法進行均方根誤差(RMSE)性能評估[19]，計算公式為

(15)

2.2 仿真結果與分析

分別選取信噪比SNR=13.41 dB，7.39 dB，3.88 dB，混響時間RT60=0.2 s，0.4 s，0.6 s. 不同信噪比和不同混響時間下CS-OMP算法和DCS-SOMP算法的定位精度分別如圖1和圖2所示。

圖1 不同信噪比不同算法的RMSEFig.1 RMSEs of different algorithms for different SNRs

圖2 不同混響時間不同算法的RMSEFig.2 RMSEs of different algorithms at different reverberation times

從圖1中可以看出：信噪比較大情況下，4類算法的定位性能相差不大，本文算法的RMSE最低，定位性能最優；信噪比降低后，SRP-PHAT算法的定位效果下降最明顯，RMSE增長最快，其他3類算法的定位效果有一定降低，但本文算法相比于其他3類算法仍然具有最優的定位性能。從圖2中可以看出，隨著混響時間的增加，本文算法相對于傳統DS算法和SRP-PHAT算法的定位性能具有明顯的提升，與CS-OMP算法相比定位效果也有一定改善，體現了本文算法具有更強的穩健性。綜合來看，DCS-SOMP算法在低信噪比高混響環境下，相對于其他3類算法具有更好的定位效果和魯棒性。

本文進一步比較了屬于CS算法的CS-OMP算法與DCS-SOMP算法在不同頻點閾值η和不同數據塊個數I下的定位性能。在不同頻點閾值下，本文算法和CS-OMP算法的RMSE對比如圖3(a)所示。由圖3(a)可見：在不同頻點閾值下，本文算法相對于CS-OMP算法的RMSE均有所減小，不同的頻點閾值對于聲源定位性能有一定影響，在頻點閾值較低時，用于定位的頻點數較少，因此定位性能較差，頻點閾值增加定位偏差逐漸減小；當選取的閾值增大到25%以上時，由于選取的頻點數已經包括信號的大部分能量，再增大頻點閾值，對定位性能提升不明顯。

圖3 不同頻點閾值和數據塊個數的RMSEFig.3 RMSEs of different frequency thresholds and number of data blocks

選取不同的數據塊個數，CS-OMP算法分別對每個數據塊做稀疏重構后疊加估計，DCS-SOMP算法對所有數據塊做聯合稀疏重構，不同數據塊個數下的RMSE如圖3(b)所示。由圖3(b)可見，隨著數據塊個數的增加，CS-OMP算法的RMSE有一定減小，但是再增加數據塊個數，定位性能改善不明顯，而對于本文算法影響不大。不同數據塊個數下，本文算法的定位性能仍然優于CS-OMP算法。

綜上所述，隨著頻點閾值和聯合估計數據塊個數的增加，本文算法相對于CS-OMP算法的定位性能均不再明顯改善，但是兩種算法的計算量正比于閾值和數據塊個數，選擇更大的頻點閾值和數據塊個數將導致更大的計算量。綜合考慮計算量和定位性能，后續的實驗中選取頻點閾值η為25%，聯合估計數據塊個數I為64.

3 實際環境實驗

3.1 實驗設置

實驗地點為廈門大學藝術學院音樂廳，房間尺寸為30 m×20 m×6 m，結構為正常音樂廳結構，采用吸聲設計，房間混響時間RT60通過賽賓公式[20]來近似估算約為1.85 s.實驗采用七元麥克風圓形陣列采集板進行語音信號的采集，陣列直徑70 mm，語音信號采集采樣率為32 kHz. 實驗采集的語音信號為TIMIT標準語音信號，信號時間長度為3.6 s，播放采樣率為16 kHz，播放設備為Marshall Kilburn移動式無線藍牙音箱。設置聲源以15°間隔分別放置在環繞一周的24個不同方向，進行麥克風陣列聲源定位測試。實驗中播放的語音信號為3段音量不同、內容相同的TIMIT語音信號，麥克風陣列采集到的3段語音信號信噪比分別為11.30 dB、6.55 dB、-0.23 dB. 實驗比較了DS算法、SRP-PHAT算法、CS-OMP算法和本文DCS-SOMP算法的定位性能。實驗參數如表1所示。

表1 實驗參數表

3.2 實驗結果與討論

不同信噪比下采用不同算法計算得到的RMSE如圖4所示。由圖4可見：與仿真結果類似的是，4類算法在高信噪比情況下定位性能相差不大，以本文算法的定位效果最好；隨著信噪比的降低，定位性能也逐漸降低，但是DCS-SOMP算法仍然具有更低的RMSE值，即更好的定位性能。與仿真結果不同的是，DS算法在信噪比降低情況下定位性能下降明顯，原因在于仿真情況下時延值是根據預設的聲源與麥克風陣列之間相對的位置來獲取，時延值更精確。而實際測試中隨著信噪比的降低，獲取的時延精度下降，因此定位性能下降明顯。本文算法考慮語音信號的頻點信息，取能量較高的頻點做定位，并聯合多個數據塊的空間域信息，提高了對噪聲信號的抗干擾能力，具有更好的魯棒性。

圖4 不同定位算法的RMSEFig..4 RMSEs of different algorithms

本文還對比了不同信噪比下各種算法的定位指向性，結果如圖5所示。由圖5可以看出：在不同信噪比下，SRP-PHAT算法的定位指向性尖銳程度最低；隨著信噪比的降低，DS算法的定位指向性效果降低最明顯，定位效果的降低也最明顯。對比DS算法和CS-OMP算法可以看出，盡管在11.3 dB和6.55 dB信噪比情況下，DS算法都具有相對較低的旁瓣能量，但是CS-OMP算法具有更高的指向性尖銳程度，因此具有更好的定位精度。DS算法的指向性尖銳程度較差，定位精度也因此較差。該現象也能夠解釋DS算法的RMSE值要比CS-OMP算法的更高。

隨著信噪比降低，4種算法的旁瓣能量都有提升。對比不同信噪比下的旁瓣能量可以看出，高信噪比情況下DS算法、CS-OMP算法和本文算法的旁瓣能量相差不大，但是低信噪比下，DS算法和CS-OMP算法的旁瓣能量有明顯提升，而本文算法的旁瓣能量增加不大，與其他兩類算法的旁瓣能量差值增大，具有更好的旁瓣抑制能力。同時可以看出，在不同信噪比情況下，本文算法都具有更尖銳的指向性。由此可見，相對于其他3類算法，本文算法具有更強的旁瓣抑制能力和更尖銳的指向性。

圖5 定位指向性結果Fig..5 Result of positioning directionality

4 結論

本文將DCS理論引入麥克風陣列的聲源定位中，采用DCS-SOMP算法對接收信號聯合稀疏重構，進而實現聲源定位。結果表明：在不同信噪比和混響時間下，DCS-SOMP算法相對于CS-OMP算法、DS算法和SRP-PHAT算法，都具有更高的定位精度和定位指向性；同時在不同頻點閾值和不同數據塊個數情況下，DCS-SOMP算法都比CS-OMP算法有更好的定位效果。綜上所述，利用信號間的稀疏相關性進行聯合稀疏重構，能夠在低信噪比高混響環境下表現出更好的定位性能和魯棒性。