事件驅(qū)動多關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤自適應魯棒控制

錢前， 張愛華， 孫藝瑕

(上海工程技術(shù)大學 機械與汽車工程學院， 上海 201600)

0 引言

多關(guān)節(jié)機械臂控制系統(tǒng)是具有強耦合性和復雜非線性的系統(tǒng)，可以克服不確定干擾和建模誤差的影響是設計控制器要考慮的首要問題，因此非線性魯棒控制算法得到了廣泛應用。文獻[1]將負載質(zhì)量從機器人動力學方程中分離出來，針對負載未知時在廣義坐標空間和任務坐標空間中的軌跡跟蹤控制問題，研究了擾動有界時的魯棒自適應控制。文獻[2]針對系統(tǒng)中存在有界未知負載等非線性不確定項的影響，通過狀態(tài)方程匹配將魯棒控制問題轉(zhuǎn)換為最優(yōu)控制問題進行求解，得到了控制算法，并驗證了控制器的有效性。以上兩種魯棒控制針對的機械臂控制系統(tǒng)形式要求比較嚴格，解算過程比較耗時。文獻[3]通過合理選擇與控制目標相關(guān)的勢函數(shù)，根據(jù)模型中不確定性的實時變化，通過引入可在線可調(diào)參數(shù)得到自適應魯棒控制算法，保證了閉環(huán)系統(tǒng)中所有狀態(tài)半全局最終一致有界。文獻[4]針對直流電機驅(qū)動的機器人系統(tǒng)，通過Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型處理不確定性，設計神經(jīng)網(wǎng)絡魯棒自適應控制器，節(jié)約在線計算量，有利于實時控制。以上控制算法都是基于采樣周期的時間驅(qū)動控制系統(tǒng)，而隨著信息技術(shù)和經(jīng)濟的發(fā)展，除了對機械臂控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性的要求以外，系統(tǒng)能耗和對通信頻率的要求必須考慮。文獻[5-6]初步研究了降低系統(tǒng)能耗的控制方法，但仍通過傳感器與控制器的周期性采樣執(zhí)行，雖然減少了機器人控制系統(tǒng)的通信頻率，但這些算法可能需要較高的采樣頻率，為此事件驅(qū)動控制方法引起了國內(nèi)外專家學者們的注意。

事件驅(qū)動控制系統(tǒng)的控制指令只有滿足驅(qū)動條件時才會更新，控制器的執(zhí)行不再具有周期性，是與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的。文獻[7-8]提出一種連續(xù)時間控制與事件驅(qū)動控制相結(jié)合的方法，解決了2階非線性系統(tǒng)軌跡跟蹤的問題；文獻[9]采用連續(xù)比例- 積分- 微分(PID)控制與事件驅(qū)動控制相結(jié)合方法解決了機器人軌跡跟蹤問題，但提出算法是基于精確模型的；文獻[10]將狀態(tài)反饋應用到事件驅(qū)動控制，但不能完全補償模型的不確定性；文獻[11]將神經(jīng)網(wǎng)絡滑模控制應用到機器人事件驅(qū)動控制，有效地補償了模型不確定性，但缺少自適應；文獻[12]提出一種基于事件驅(qū)動的軌跡跟蹤自適應算法，解決了當機器人控制系統(tǒng)動力學未知時的軌跡跟蹤問題；文獻[13]將文獻[12]的算法應用到全驅(qū)動水面船軌跡跟蹤系統(tǒng)，但未考慮到外界干擾；文獻[14]提出一種基于滑模控制的事件驅(qū)動控制方法，解決了帶有外部擾動的線性系統(tǒng)中能耗較高問題；文獻[15]針對帶有外部擾動的非線性系統(tǒng)能耗較高問題，提出了一種事件驅(qū)動滑模控制算法；文獻[16]將此算法應用到帶有外部擾動的歐拉- 拉格朗日軌跡跟蹤系統(tǒng)中，但滑模控制是不連續(xù)的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要犧牲切換面的帶寬。

鑒于自適應魯棒控制處理非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性問題的良好表現(xiàn)，本文針對帶有不確定干擾和建模誤差的多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制系統(tǒng)，提出事件驅(qū)動自適應魯棒軌跡跟蹤控制器，來解決高精度多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤系統(tǒng)在跟蹤過程中高能耗、通信頻率要求較高的問題，設計魯棒控制算法補償不確定干擾和未知模型動態(tài)干擾，自適應地調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，并通過Lyapunov穩(wěn)定性理論獲得驅(qū)動條件，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)中無Zeno現(xiàn)象發(fā)生，最后通過仿真驗證控制器的有效性。

1 問題描述

考慮外界擾動和建模誤差的影響，建立多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制系統(tǒng)數(shù)學模型[17]如下:

(1)

多關(guān)節(jié)機械臂軌跡的跟蹤控制目標如下:

(2)

式中：e為系統(tǒng)位置跟蹤誤差；qd為給定的期望軌跡。

由于外界干擾通常是有界的，對于多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制系統(tǒng)，本文做出如下合理假設:

定義系統(tǒng)位置跟蹤誤差為

e=q-qd，

(3)

并令

(4)

為多關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)，其中u表示控制器的輸出，從而可以將數(shù)學模型(1)式改寫成如下系統(tǒng)模型:

(5)

2 事件驅(qū)動魯棒自適應跟蹤控制

2.1 自適應魯棒控制器

定義θ(t)=[θ1(t)θ2(t)]T為可調(diào)自適應參數(shù)，設計多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制器:

(6)

并選擇如下自適應律:

(7)

緊集Ω0為

(8)

緊集Ωe為

(9)

式中：η1、η2、t0、T為正常數(shù)。

為了方便證明，本文給出如下引理:

引理1[18]令Ω為任意的閉凸集，則有(v-PΩ(v))T(PΩ(v)-w)≥0,v∈Rl,w∈Ω，其中PΩ(v)為Rl→Ω上的投影算子，v、w為實矩陣，l為維度。

證明定義∈R2為常值向量，選擇Lyapunov候選函數(shù):

(10)

式中：V0、V1分別為

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：

(15)

對(10)式中的V1(θ(t))求微分，可得

(16)

式中：

r(θ)=ψ(θ-β1F(θ))-θ.

(17)

令v=θ-β1F(θ),w=，根據(jù)引理1，有

(r(θ)+θ-)T(-r(θ)-β1F(θ))≥0.

(18)

整理(18)式，可得

(19)

將(19)式代入(16)式，得

(20)

由于

(21)

將(4)式代入(21)式，有

(22)

對(22)式取反饋控制律u，有

(23)

將(23)式代入(22)式，有

(24)

進而得到

(25)

針對(15)式給出的c(θ1(t),v)，定義如下定理:

(26)

式中：λ1、λ2分別為

(27)

c(θ1(t),v)≤0,t≥t0+T.

(28)

(29)

通過適當選擇設計參數(shù)η1、η2，可使系統(tǒng)達到規(guī)定跟蹤精度；又根據(jù)假設2，參考信號qd有界，則閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)q必定有界。證畢。

2.2 事件驅(qū)動魯棒自適應控制器

定義控制力矩τ為

τ=τ(η)，

(30)

定義ti{i=0,1,2,…}為由驅(qū)動狀態(tài)決定的事件驅(qū)動控制器的時間序列，則事件驅(qū)動控制力矩為

τ=τ(η(ti)).

(31)

魯棒自適應控制器與事件驅(qū)動控制器的測量誤差為

(32)

式中:

(33)

針對事件驅(qū)動多關(guān)節(jié)機械臂控制系統(tǒng)給出如下假設:

(34)

根據(jù)(32)式、(33)式，可得事件驅(qū)動控制器:

(35)

將(35)式代入(22)式,有

(36)

(37)

于是，對于?γ∈Ω1, ?η1,η2∈Ωe，有

(38)

(39)

進而對于t∈[ti,ti+1)得到時間驅(qū)動控制器為

(40)

(41)

將(30)式代入(41)式，可得

(42)

根據(jù)(37)式與定理1可得

(43)

式中:P1=‖sup (-θ1(M-1)T-C)‖;P2=‖max {M-1P1,1}‖;P3=max {P2,1,L}.

(44)

根據(jù)(43)式、(44)式與假設3，可得

(45)

(46)

考慮(40)式與(46)式可知T0存在，并且形式為

(47)

根據(jù)(47)式可知T0的下界大于0，因此該系統(tǒng)中沒有Zeno現(xiàn)象發(fā)生。

3 仿真分析

本文使用文獻[20]中給出的3關(guān)節(jié)機械臂作為仿真對象，機械臂結(jié)構(gòu)與相關(guān)參數(shù)如圖1所示，相關(guān)參數(shù)如表1所示。圖1中：I1、I2、I3分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3的轉(zhuǎn)動慣量，l2、l3分別為關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3連桿長度，m2、m3分別為關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3連桿質(zhì)量，r2、r3分別為關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3連桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的距離，q1、q2、q3分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3的位置。

圖1 3關(guān)節(jié)機械臂結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Three-links multi-joint manipulator

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值I1/(kg·m2)3.61l2/m1r2/m0.6I2/(kg·m2)2.35m2/kg30r3/m0.5I3/(kg·m2)1.95m3/kg26g/(m·s-2)9.8

注：g為重力加速度。

慣性矩陣M(q)為

M(q)中各個元素具體表達式如下：

m11=I1+a1cos2q2+a2cos2(q2+q3)+
2a3cosq2cos (q2+q3),
m22=I2+a1+a2+2a3cosq3,
m33=I3+a2,m32=m23=a2+a3cosq3,

系統(tǒng)初始狀態(tài)為

摩擦力為

其中μ1=5 N·m,μ2=5 N·m,μ3=5 N·m.

外部干擾為d1=0.1sint,d2=0.1cos (0.5t),d3=0.1sin (t/3)，魯棒自適應參數(shù)為β1=5,β2=5,β3=2,α=2，事件驅(qū)動控制參數(shù)為σ=0.8,ε=0.5.

設定仿真時間100 s，仿真步長為0.01 s，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 機械臂3個關(guān)節(jié)的跟蹤效果圖Fig.2 Tracking results of three joints

圖3 機械臂3個關(guān)節(jié)跟蹤誤差變化Fig.3 Tracking errors of three joints

圖4 機械臂3個關(guān)節(jié)控制力矩變化Fig.4 Control torques of three joints

圖5 控制器觸發(fā)情況圖Fig.5 Change of inter-update time of controller

為驗證本文所提出的事件驅(qū)動自適應魯棒控制方法的有效性與控制效果，仿真時與無事件驅(qū)動的自適應魯棒跟蹤控制方法進行對比，即與參數(shù)σ=0,ε=0的仿真結(jié)果進行對比。圖2為事件驅(qū)動自適應魯棒控制與無事件驅(qū)動的軌跡跟蹤效果對比圖，圖3為兩種控制方法的跟蹤誤差變化曲線。從圖2和圖3可看出：兩種方法都能夠完成軌跡跟蹤，無事件驅(qū)動時跟蹤效果較好、跟蹤精度高，說明所提出的自適應魯棒控制跟蹤效果良好，且對干擾變化不敏感；事件驅(qū)動的控制方法也能夠較好地完成跟蹤控制，但因其無需頻繁的發(fā)送控制指令驅(qū)動執(zhí)行機構(gòu)，而使得其控制效果稍遜于無事件驅(qū)動跟蹤控制，控制力矩指令如圖4所示。

圖4為有無事件驅(qū)動兩種情況下機械臂3個關(guān)節(jié)的控制力矩指令變化圖。從圖4中可看出：系統(tǒng)在有事件驅(qū)動策略時的關(guān)節(jié)1力矩在0～20 s的變化浮動相比無事件驅(qū)動策略時更接近0；關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3的力矩在有事件驅(qū)動策略時變化相對更加平穩(wěn)，可以在保證控制效果的情況下有效減少能量損耗。圖5為有無事件驅(qū)動策略時控制觸發(fā)時間間隔變化圖，從中可看出有事件驅(qū)動策略時的驅(qū)動間隔大于0且明顯大于無事件驅(qū)動策略的驅(qū)動間隔，即無Zeno現(xiàn)象發(fā)生。對應圖4可以看出，系統(tǒng)在觸發(fā)間隔內(nèi)控制力矩保持不變，說明了事件驅(qū)動控制的執(zhí)行不再具有周期性，可以有效降低系統(tǒng)的通信頻率。

4 結(jié)論

為解決存在不確定干擾和建模誤差的多關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤問題，本文提出了一種事件驅(qū)動自適應魯棒控制器。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論設計了驅(qū)動條件，證明了無Zeno現(xiàn)象，并通過一個典型3關(guān)節(jié)機械臂進行了仿真驗證。仿真結(jié)果可以看出，所提出的自適應魯棒控制具有良好的跟蹤效果，有效解決了系統(tǒng)高能耗和通信頻率較大的問題。具體結(jié)論為：1)該控制器可以通過自適應策略調(diào)節(jié)參數(shù)，從而保證系統(tǒng)軌跡跟蹤精度，所提出的控制算法保證了事件驅(qū)動多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制系統(tǒng)狀態(tài)半全局最終一致有界；2)結(jié)合事件驅(qū)動策略所得到的事件驅(qū)動控制系統(tǒng)在保證跟蹤效果的同時，有效降低了系統(tǒng)通信頻率，減少能源消耗，系統(tǒng)不存在Zeno現(xiàn)象；3)仿真中發(fā)現(xiàn)驅(qū)動參數(shù)σ和ε越大，需要的通信頻率就越低，指令更新頻率越低，但是過低的指令更新頻率會導致大的跟蹤誤差，從而導致頻繁地觸發(fā)驅(qū)動函數(shù)，為此設計控制算法來完成驅(qū)動參數(shù)的自適應調(diào)節(jié)是下一步的研究工作。