考慮中斷風(fēng)險(xiǎn)的備件供應(yīng)選址- 分配優(yōu)化模型

王亞東， 石全， 陳材， 尤志鋒

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 裝備指揮與管理系， 河北 石家莊 050003)

0 引言

中斷風(fēng)險(xiǎn)是備件供應(yīng)保障需要考慮的主要不確定因素，在戰(zhàn)時(shí)條件下尤為突出。由于受到自然因素和敵方蓄意攻擊的影響，部分倉庫或運(yùn)輸載體將喪失全部或部分儲(chǔ)存和運(yùn)輸能力，備件供應(yīng)系統(tǒng)可能發(fā)生中斷。由于中斷事件的突發(fā)性和復(fù)雜性，供應(yīng)中斷的發(fā)生時(shí)機(jī)、發(fā)生概率以及造成的后果都是不可預(yù)測和深度不確定的。戰(zhàn)時(shí)條件下備件供應(yīng)保障的時(shí)效性和可靠性通常比平時(shí)要求更高。如何提高備件供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的柔性和魯棒性，加強(qiáng)抵御中斷風(fēng)險(xiǎn)的能力以及中斷發(fā)生后的應(yīng)急響應(yīng)能力，是戰(zhàn)時(shí)備件供應(yīng)亟待解決的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題。

目前關(guān)于供應(yīng)鏈中斷風(fēng)險(xiǎn)的研究中，部分學(xué)者將重點(diǎn)放在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)上，以此來增強(qiáng)供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。Ivanov等[1]綜述了產(chǎn)品中斷、供應(yīng)商中斷和運(yùn)輸中斷等情況，并詳細(xì)分析了不同中斷對供應(yīng)鏈造成的影響。Zhao等[2]研究了供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)在中斷時(shí)的穩(wěn)健性，建立了一個(gè)決策支持系統(tǒng)，用于在各種中斷情景中調(diào)整供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，從而主動(dòng)管理供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)。李銳等[3]研究了考慮蓄意攻擊中斷時(shí)多周期環(huán)境下的第三方物流可靠性網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問題。Hatefi等[4]同時(shí)考慮了不確定參數(shù)和設(shè)施的中斷情況，提出一個(gè)綜合穩(wěn)健可靠的正逆向物流網(wǎng)絡(luò)模型。秦曉燕等[5]為應(yīng)對災(zāi)后救援中的點(diǎn)失效和弧失效供應(yīng)中斷情況，通過建立雙向互調(diào)的血液供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)來有效降低響應(yīng)時(shí)間和應(yīng)急成本，緩解過期報(bào)廢壓力。另一部分學(xué)者重點(diǎn)研究中斷發(fā)生后的應(yīng)對措施，結(jié)合提前設(shè)置想定來提高供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)急處理能力。Pariazar等[6]分析了供應(yīng)鏈中不同的中斷情景，構(gòu)建了多目標(biāo)隨機(jī)規(guī)劃模型，以確定最佳供應(yīng)商選擇和檢查策略，減輕中斷對供應(yīng)可用性和質(zhì)量的影響。Li等[7]研究了采取加固防護(hù)措施時(shí)供應(yīng)鏈中斷情況的設(shè)施選址問題。Qin等[8]提出了設(shè)防設(shè)施選址、應(yīng)急庫存預(yù)定位策略和應(yīng)急運(yùn)輸分配相結(jié)合的風(fēng)險(xiǎn)緩解措施。除此之外還有一部分學(xué)者將供應(yīng)中斷風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)化為不確定性參數(shù)，繼而利用隨機(jī)規(guī)劃、模糊理論以及魯棒優(yōu)化等方法進(jìn)行處理。Pavlov等[9]用混合模糊概率方法描述供應(yīng)鏈中斷風(fēng)險(xiǎn)，增強(qiáng)了中斷供應(yīng)的彈性并識(shí)別出對供應(yīng)鏈運(yùn)作起關(guān)鍵作用的節(jié)點(diǎn)。Shukla等[10]在網(wǎng)絡(luò)中斷情況下，采用情景規(guī)劃方法建立了最優(yōu)整數(shù)線性規(guī)劃模型，其目標(biāo)是最大限度地提高效率和可靠性。Cheng等[11]在研究3級(jí)物流網(wǎng)絡(luò)可靠性設(shè)計(jì)時(shí)，在未知中斷概率情況下，用不確定性集來描述可能的情況，進(jìn)而構(gòu)建了2階段魯棒優(yōu)化模型。

上述大部分文獻(xiàn)只單獨(dú)考慮了中斷風(fēng)險(xiǎn)下的分配、設(shè)施選址或者最短路徑問題，很少有文獻(xiàn)研究聯(lián)合優(yōu)化問題。另一方面，大部分文獻(xiàn)考慮平時(shí)供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化，僅以成本最小為優(yōu)化目標(biāo)。戰(zhàn)時(shí)備件供應(yīng)還要兼顧時(shí)效性，屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題。此外，在將中斷風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)化為不確定參數(shù)時(shí)，大多假設(shè)其服從某一分布，進(jìn)而采用隨機(jī)規(guī)劃的方法求解，這與實(shí)際不盡相符。而魯棒優(yōu)化不需要提前知道不確定參數(shù)的分布規(guī)律。因此，本文考慮戰(zhàn)時(shí)備件供應(yīng)中斷風(fēng)險(xiǎn)，以備件供應(yīng)成本最小和供應(yīng)延遲時(shí)間最短為目標(biāo)，對設(shè)施選址和分配問題進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化；利用魯棒優(yōu)化解決中斷風(fēng)險(xiǎn)的深度不確定性，建立風(fēng)險(xiǎn)不確定情況下的多目標(biāo)魯棒優(yōu)化。

1 中斷風(fēng)險(xiǎn)確定情況下的優(yōu)化模型

1.1 問題描述

戰(zhàn)時(shí)備件供應(yīng)保障容易受到敵襲干擾，供應(yīng)路線可能存在中斷風(fēng)險(xiǎn)。若倉庫設(shè)置距離作戰(zhàn)前線太近，則很容易成為攻擊目標(biāo)，若距離前線過遠(yuǎn)又不能保證供應(yīng)效率。因此，通過在后方倉庫和作戰(zhàn)單位之間開設(shè)野戰(zhàn)倉庫來解決以上矛盾。此時(shí)，構(gòu)成了3級(jí)備件供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)。第1層為基地級(jí)后方倉庫，作為備件的供應(yīng)點(diǎn)，通常距離前線較遠(yuǎn)，不考慮中斷風(fēng)險(xiǎn)；第2層設(shè)置野戰(zhàn)倉庫，備件由后方倉庫運(yùn)輸至野戰(zhàn)倉庫，再由野戰(zhàn)倉庫向前線作戰(zhàn)單位進(jìn)行中轉(zhuǎn)；第3層為作戰(zhàn)單位，是備件需求產(chǎn)生的主體。本文考慮的中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生在野戰(zhàn)倉庫。當(dāng)某一野戰(zhàn)倉庫完全失去供應(yīng)能力后，其對應(yīng)作戰(zhàn)單位的備件由其他野戰(zhàn)倉庫作為備用點(diǎn)進(jìn)行供應(yīng)。為保證備件順利運(yùn)至作戰(zhàn)單位，避免所有野戰(zhàn)倉庫同時(shí)癱瘓的情況發(fā)生，通常需對部分野戰(zhàn)倉庫進(jìn)行加固、隱蔽等防護(hù)措施?？紤]到加固成本，野戰(zhàn)倉庫是否需要加固還與中斷風(fēng)險(xiǎn)的大小以及供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)其他要素相關(guān)。因此本模型主要解決從所有野戰(zhàn)倉庫中選擇關(guān)鍵野戰(zhàn)倉庫進(jìn)行加固防護(hù)，以及求解由后方倉庫向各開放野戰(zhàn)倉庫的備件供應(yīng)量，最終以最低的成本和最短的時(shí)間完成備件支援保障，屬于選址- 分配聯(lián)合優(yōu)化問題。

本文備件供應(yīng)優(yōu)化模型建立在以下假設(shè)之上：1)以單種關(guān)鍵備件供應(yīng)為例；2)暫不考慮各級(jí)節(jié)點(diǎn)之間存在橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的情況；3)供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中，各節(jié)點(diǎn)位置已知；后方倉庫到野戰(zhàn)倉庫、野戰(zhàn)倉庫到作戰(zhàn)單位的單位備件供應(yīng)時(shí)間和單位運(yùn)輸成本已知，且為定值；4)野戰(zhàn)倉庫有一定概率受損，受損后倉庫失去庫存和供應(yīng)能力。某一野戰(zhàn)的倉庫受損后由其他備用倉庫代替完成中轉(zhuǎn)任務(wù)；5)進(jìn)行加固防護(hù)措施后的倉庫將不受敵襲干擾，或受襲后仍保持正常中轉(zhuǎn)功能；6)各備選野戰(zhàn)倉庫的開放成本、加固成本、庫存成本和最大庫存容量已知，且為定值。

1.2 模型構(gòu)建

目標(biāo)函數(shù)1表示備件供應(yīng)的總成本C應(yīng)最小。供應(yīng)成本包括被選野戰(zhàn)倉庫的開放成本、野戰(zhàn)倉庫的加固成本、備件在野戰(zhàn)倉庫的庫存成本以及備件由后方倉庫向野戰(zhàn)倉庫、由野戰(zhàn)倉庫向作戰(zhàn)單位的運(yùn)輸成本。目標(biāo)函數(shù)1考慮了野戰(zhàn)倉庫發(fā)生中斷的可能，其計(jì)算公式為

(1)

目標(biāo)函數(shù)2要求備件供應(yīng)的延遲時(shí)間T最短，即最短時(shí)間內(nèi)完成備件保障任務(wù)，其計(jì)算公式為

(2)

該模型滿足以下約束：

(3)

(4)

Zjk0+Zjk1≤Xj,

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Xj,Yj∈{0,1},?j∈J,

(10)

Zjk0,Zjk1∈{0,1},

(11)

wij∈N+,

(12)

其中：(3)式規(guī)定了一個(gè)作戰(zhàn)單位有且只有一個(gè)主野戰(zhàn)倉庫為其提供備件；(4)式規(guī)定了當(dāng)作戰(zhàn)單位的主野戰(zhàn)倉庫發(fā)生中斷時(shí)，由另一個(gè)備用野戰(zhàn)倉庫對其實(shí)施備件供應(yīng)；(5)式表示對于一個(gè)開放的野戰(zhàn)倉庫，不能同時(shí)作為某個(gè)作戰(zhàn)單位的主備件供應(yīng)來源和備用供應(yīng)來源；(6)式表示經(jīng)過加固防護(hù)的野戰(zhàn)倉庫數(shù)量應(yīng)不超過開放的野戰(zhàn)倉庫數(shù)量；(7)式表示后方倉庫只能向開放的野戰(zhàn)倉庫提供備件；(8)式規(guī)定了對于一個(gè)開放的野戰(zhàn)倉庫，其備件輸入量不能超過最大庫存容量，vj為第j個(gè)野戰(zhàn)倉庫的最大庫存容量；(9)式為流量平衡約束，即對于開放的野戰(zhàn)倉庫，其備件輸出量不得超過輸入的備件量；(10)式～(12)式規(guī)定了決策變量的類型和取值范圍。

2 中斷風(fēng)險(xiǎn)深度不確定情況下的優(yōu)化模型

目前關(guān)于供應(yīng)鏈中斷風(fēng)險(xiǎn)的測算方法主要有基于評(píng)估和基于仿真2種[12-13]。由于在戰(zhàn)時(shí)備件保障中很難提前得到中斷風(fēng)險(xiǎn)的精確數(shù)值或分布規(guī)律，因此中斷風(fēng)險(xiǎn)概率為深度不確定參數(shù)。通常通過采用仿真或評(píng)估的方法，將野戰(zhàn)倉庫的中斷風(fēng)險(xiǎn)限定在一定范圍之內(nèi)[14-15]。而魯棒優(yōu)化模型是從這一范圍內(nèi)“最壞”情況下的可行解中找到最優(yōu)解。

不失一般性，魯棒優(yōu)化的基本形式為

minCX，
s.t.AX≤b;
l≤x≤u.

(13)

式中：C為目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)矩陣；X為決策變量矩陣；A為約束的系數(shù)矩陣，b為常數(shù)項(xiàng)列向量，在矩陣A和向量b中包含不確定參數(shù)，令U為這些不確定參數(shù)構(gòu)成的集合；x為決策變量中的元素；l為決策變量的下限；u為決策變量的上線。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣C中的不確定參數(shù)可由以下公式轉(zhuǎn)化到約束中：

minCX, mint,
s.t.l≤x≤u?s.t.CX≤t;
l≤x≤u,t∈R.

式中：t為新增的輔助變量；R為實(shí)數(shù)集合。

則本文中斷風(fēng)險(xiǎn)中η的不確定集合表示為

該不確定性集合為多面體形。

模型(13)式可以轉(zhuǎn)換為以下魯棒等價(jià)形式[17]：

(14)

(15)

為解決最大和最小優(yōu)化問題，根據(jù)強(qiáng)對偶定理，可通過求(15)式的對偶問題將其轉(zhuǎn)化為最小和最小問題，有

(16)

式中：Pij為風(fēng)險(xiǎn)；zi為對偶變換產(chǎn)生的輔助變量。

因此模型(14)式的最終魯棒優(yōu)化模型為

(17)

式中：Γi為對偶變換產(chǎn)生的輔助變量。

(18)

式中：c為適應(yīng)度函數(shù)。

其魯棒等價(jià)形式為

(19)

式中：

(20)

式中：

(21)

式中：

用(19)式和(20)替換原模型的目標(biāo)函數(shù)(1)式和目標(biāo)函數(shù)(2)式，用(21)式替換約束(9)式，即得到中斷風(fēng)險(xiǎn)不確定情況下的多目標(biāo)魯棒優(yōu)化模型。

3 算例分析

3.1 任務(wù)想定

某作戰(zhàn)任務(wù)下的3級(jí)供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)由2個(gè)后方倉庫、4個(gè)野戰(zhàn)倉庫備選點(diǎn)以及8個(gè)作戰(zhàn)單位組成。以某種關(guān)鍵備件為例，根據(jù)作戰(zhàn)單位的搶修任務(wù)產(chǎn)生的需求，由后方倉庫經(jīng)野戰(zhàn)倉庫中轉(zhuǎn)向作戰(zhàn)單位提供備件支援保障。由于戰(zhàn)爭條件下，野戰(zhàn)倉庫同樣會(huì)成為敵人攻擊的目標(biāo)，具有一定的中斷風(fēng)險(xiǎn)。為保證供應(yīng)通暢，對部分關(guān)鍵野戰(zhàn)倉庫進(jìn)行加固防護(hù)，經(jīng)過防護(hù)措施后野戰(zhàn)倉庫遭受敵襲的概率以及敵襲后的損失會(huì)大大減小。在備件需求以及供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)信息已知、中斷風(fēng)險(xiǎn)為深度不確定情況下，制定最優(yōu)的選址和分配方案。備件供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的相關(guān)信息如表1～表4所示。

表1 野戰(zhàn)倉庫相關(guān)參數(shù)

表2 作戰(zhàn)單位備件需求量

表3 節(jié)點(diǎn)間單位備件運(yùn)輸成本Tab.3 Transport cost of spare parts between nodes 元

表4 節(jié)點(diǎn)間運(yùn)輸時(shí)間

3.2 求解算法

備件供應(yīng)聯(lián)合優(yōu)化模型為多目標(biāo)優(yōu)化模型，不失一般性，求最小值的多目標(biāo)優(yōu)化問題的定義如下：

miny=f(x)=[f1(x),f2(x),…,fm(x)]，
s.t.gi(x)≤0,i=1,…,p;
hi(x)=0,j=1,…,q.

(22)

式中：m為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)；x=(x1,x2,…,xD)∈D是解向量，D為決策空間；f=(f1,f2,…,fm)∈Y是目標(biāo)向量，Y是目標(biāo)空間；g和h分別為模型的不等式和等式約束；p、q分別為不等式和等式約束的個(gè)數(shù)。在多目標(biāo)問題中，各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間通常是相互沖突的，通常不可能找到一個(gè)解可以使得所有目標(biāo)均取得最優(yōu)，因此采用Pareto最優(yōu)的概念來衡量解的優(yōu)劣性。Pareto的相關(guān)概念[18]如下：

1)Pareto支配：對于兩個(gè)解向量x1和x2，當(dāng)滿足所有的目標(biāo)函數(shù)均有f(x1)≤f(x2)，且至少存在一個(gè)目標(biāo)函數(shù)滿足f(x1)

2)Pareto最優(yōu)解：若某個(gè)解向量x*不存在x∈D:xx*，則稱該解向量為Pareto最優(yōu)解或非支配解。由x*構(gòu)成的集合稱為最優(yōu)解集或非支配解集。

3)Pareto前沿：由非支配解集對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成的最優(yōu)面被稱為Pareto最優(yōu)前沿(PF)。

由于本文建立的多目標(biāo)魯棒優(yōu)化為NP難題，采用元啟發(fā)式算法對模型進(jìn)行求解。本文在platEMO框架上分別采用改進(jìn)的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)、多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(MOPSO)算法和基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA/D)求模型的最優(yōu)解集[19]。實(shí)驗(yàn)在Windows 7操作系統(tǒng)上采用數(shù)值軟件MATLAB 2014b進(jìn)行編程，平臺(tái)為個(gè)人筆記本(Intel Core i5-6300HQ (2.3 GHz/L3) CPU和4.00 GB RAM)。

3.3 結(jié)果分析

經(jīng)過計(jì)算，得到3種算法下的非支配解集以及最終的最優(yōu)解集，如圖1所示。各離散點(diǎn)為一個(gè)供應(yīng)方案(包含80個(gè)決策變量)的適應(yīng)度值在目標(biāo)空間的分布。NSGA-II、MOPSO、MOEA/D分別表示各算法下獨(dú)立運(yùn)行30次后得到的非支配解集。最優(yōu)解表示綜合3種算法結(jié)果求得的非支配解?？梢钥闯鲎罱K求得了32個(gè)非支配解，即32個(gè)最優(yōu)供應(yīng)方案，每個(gè)方案均互不支配。

圖1 各算法求得的非支配解集分布情況Fig.1 Distribution of non-dominate solution sets of 3 algorithms

為分析模型的魯棒性，分別取各野戰(zhàn)倉庫中斷風(fēng)險(xiǎn)的名義值、平均值和最大值，構(gòu)建3種風(fēng)險(xiǎn)確定情況下的優(yōu)化模型。同將魯棒優(yōu)化的所有最優(yōu)解代入風(fēng)險(xiǎn)確定的優(yōu)化模型中，計(jì)算確定性模型的約束和目標(biāo)值，其供應(yīng)成本和延遲時(shí)間的均值如表5所示。由表5可見，魯棒優(yōu)化的最優(yōu)解在不同確定性模型中均為可行解，表明魯棒優(yōu)化的最優(yōu)解可以滿足各種情況下的解可行性，體現(xiàn)了模型具有很好的魯棒性。同時(shí)，魯棒優(yōu)化模型的備件供應(yīng)延遲時(shí)間T和總成本C均大于確定性模型的結(jié)果，體現(xiàn)了魯棒優(yōu)化的保守性。

表5 魯棒最優(yōu)解在確定性模型中的可行性

圖2 中斷風(fēng)險(xiǎn)對供應(yīng)成本與供應(yīng)延遲時(shí)間的影響Fig.2 Effect of disruption risk on supply cost and lead time

為進(jìn)一步研究加固防護(hù)策略對備件供應(yīng)的影響，對比未考慮加固措施的優(yōu)化模型，即Yj=0時(shí)的情況。兩種情況下的備件供應(yīng)成本和供應(yīng)時(shí)間如圖3所示。由圖3可以看出，當(dāng)不考慮加固防護(hù)措施時(shí)，野戰(zhàn)倉庫發(fā)生中斷的概率更高。為保證供應(yīng)順利進(jìn)行，對于每個(gè)作戰(zhàn)單位須啟用更多的備用野戰(zhàn)倉庫，因此在備選野戰(zhàn)倉庫中要開放更多的野戰(zhàn)倉庫，從而造成供應(yīng)成本與供應(yīng)時(shí)間的增加。因此通過對關(guān)鍵野戰(zhàn)倉庫的加固防護(hù)，將在很大程度上提高整個(gè)備件供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的可靠性和供應(yīng)效率。

圖3 加固措施對供應(yīng)成本和延遲時(shí)間的影響Fig.3 Effect of reinforcement measures on supply cost and lead time

4 結(jié)論

本文考慮存在中斷風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的備件供應(yīng)選址- 分配聯(lián)合優(yōu)化問題，同時(shí)以備件供應(yīng)成本最小和延遲時(shí)間最短為目標(biāo)建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型。由于未知風(fēng)險(xiǎn)概率及其分布規(guī)律，針對中斷風(fēng)險(xiǎn)的深度不確定性構(gòu)建了相應(yīng)的魯棒優(yōu)化模型。采用多目標(biāo)進(jìn)化算法求解所構(gòu)建的模型，得到最優(yōu)解集。通過算例分析可知，魯棒優(yōu)化模型的最優(yōu)解能夠保證最壞情況下解的可行性，即在供應(yīng)成本最小和延遲時(shí)間最短的前提下保證了所有中斷風(fēng)險(xiǎn)下備件供應(yīng)的順利實(shí)施。同時(shí)，模型能夠從所有備選野戰(zhàn)倉庫中找出關(guān)鍵倉庫，通過對選中的關(guān)鍵野戰(zhàn)倉庫進(jìn)行加固防護(hù)可以有效降低中斷風(fēng)險(xiǎn)對整個(gè)供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的影響。研究結(jié)論對戰(zhàn)時(shí)中斷風(fēng)險(xiǎn)不確定情況下備件供應(yīng)提供了一定的決策依據(jù)和支持。