一個數學游戲的一點探討

蔣金團

（云南省保山市施甸縣第一完全中學，云南 保山 678200）

一、問題的描述

在美國，曾經流行過這樣一個數學游戲。這個游戲的規則十分簡單，任意寫出一個自然數N，如果是個奇數，則下一步變換成3N+1；如果是個偶數，則下一步變換成N/2。得到第一個結果之后，按照規則重復運算，則無論N是怎樣一個數字，最終無法逃出落入底部的4-2-1-4循環。這就是著名的“冰雹猜想”，在亞洲也被稱作稱角谷猜想。

二、問題的分解

（一）放大倍數

1.“3N+1”與倍數的關系

對于任意奇數N,根據角谷變換規則,它的第一步將變為3N+1,此時放大了多少倍?

①當N=1時,倍數=4；②當N為大于1的奇數時,“乘3加1”變換相當于把奇數放大了三點幾倍.

（二）步數討論：任意自然數經過多步角谷變換之后,能回到自身?

為了討論的方便,我們設起始數為偶數.因為對奇數實施“乘3加1”變換時,它將變成偶數,具體來說，尾數為1的每一個奇數都對應一個尾數為4的偶數,尾數為3的每一個奇數都對應一個尾數為0的偶數,尾數為5的每一個奇數都對應一個尾數為6的偶數,尾數為7的每一個奇數都對應一個尾數為2的偶數,尾數為7的每一個奇數都對應一個尾數為2的偶數,只要證明偶數經過多次角谷變換之后都后回到谷底1,則奇數同樣如此.

1.偶數經過兩步變換能回到自身?

設X1為起始偶數項,X1要想回到自身,只能滿足放大倍數等于縮小倍數,即解得因此沒有偶數經過兩步變換能回到自身。

2.偶數經過三步變換能回到自身?

設X1為起始偶數項,X1要想回到自身,只能滿足放大倍數等于縮小倍數,所以流程中只能有兩次”除以2”變換和一次“乘3加1”變換,根據流程可列如下方程：

結論：在一切偶數中,只有2、4兩個數經過三步變換能回到自身.

3.偶數經過四步變換能回到自身?

四步變換只能是如下的組合：3次“除以2”變換和1次“乘3加1”變換；2次“除以2”變換和2次“乘3加1”變換；1次“除以2”變換和3次“乘3加”變換；顯然任意一種組合,都不可能滿足放大倍數等于縮小倍數,所以一切自然數經過四步變換都不可能回到自身,同理可討論一切自然數經過5步變換都不可能回到自身.

4.偶數經過六步及其以上的變換時,能回到自身?

當變換過程有六個步驟時,流程至少包含兩個“乘3加1”變換,否則放大倍數遠小于縮小倍數,但是一旦出現兩次“乘3加1”變換,至少有一次的放大倍數為”三點幾倍”,出現小數,而縮小倍數只能是偶數,兩者不可能相等.所以一切偶數經過六步及其以上變換時,都不可能回到自身.

綜上所述,“2、4”除外的一切偶數經過角谷變換后都不能回到自身,無論變換過程有多少步；因此“1”除外的一切奇數經過角谷變換后都不能回到自身,無論變換過程有多少步。即“1、2、4”除外的一切自然數經過角谷變換都不能回到自身。

（三）討論變換特點

根據尾數，將自然數分成十行，每一行都是公差為10的等差數列，第一行的通項公式為10k1+1(k1=0、1、2、3、...）；第二行的通項公式為10k2+2(k2=0、1、2、3、...）；第三行的通項公式為10k3+3(k3=0、1、2、3、...）；第四行的通項公式為10k4+4(k4=0、1、2、3、...）；第五行的通項公式為10k5+5(k5=0、1、2、3、...）；第六行的通項公式為10k6+6(k6=0、1、2、3、...）；第七行的通項公式為10k7+7(k7=0、1、2、3、...）；第八行的通項公式為10k8+8(k8=0、1、2、3、...）；第九行的通項公式為10k9+9(k9=0、1、2、3、...），第十行的通項公式為10k10+10(k10=0、1、2、3、...）。

根據變換規則，對奇數實行“乘3加1”變換之后將變為偶數，具體如下，第1行奇數將演變為第4行偶數，第3行奇數將演變為第10行偶數，第5行奇數將演變為第6行偶數，第7行奇數將演變為第2行偶數，第9行奇數將演變為第8行偶數.

根據變換規則，對偶數實行“除以2變換”變換，相應的約束關系討論如下。

1.第2行偶數的變換特點

對第2行偶數實行“除以2”變換之后，有一半偶數轉變為第1行奇數，另一半偶數轉變為第6行偶數，相應的約束條件如下：

上述討論結果可用如下流程圖表示：

上述討論結果可用如下流程圖表示：

同理可討論其它行偶數除以2之后的變換特點和上述流程類似，最后可把各行變換組成如下網狀結構。

通過以上的網狀圖可以得出一個重要結論：當自然k數從某行演變為另外一行時，每碰到“除以2”變換一次，符合條件的k值數量都會在原來的基礎之上減少，同時每碰到“除以2”變換一次，符合條件的k值之間的間隔將增大，因為碰到“除以2”變換時，k值將會分成奇偶兩支。

三、問題的解決及相關的證明

為了討論方便，在上面的網狀圖中，我們將“第4行→第2行→第6行→第8行→第4行”這一路徑稱為主鏈。因為第4行的數值演變成第2行的數時，演變結果包含第2行的一切數值（2、12、22、32、42……）；第2行的數值演變成第6行時，演變結果包含第6行的一切數值（6、16、26、36、46……）；第6行的數值演變成第8行時，演變結果包含第8行的一切數值（8、18、28、38、48……）；第8行的數值演變成第4行時，演變結果包含第4行的一切數值（4、14、24、34、44……）。

假設有一個數能在路徑“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”之間不停循環，則將會有更多的數能在該環形圈里面循環，因為1、2 、4除外的自然數經過角谷變換之后都回不到自身。這樣一來，在無窮次循環過程中，有一些滿足條件的數之間的距離將永遠保持不變。但另一方面，第6行的數經“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”路徑再次回到第6行時，接下來是除以2變換，滿足條件的數都會減少，每循環一次，滿足條件的數就減少一次，即滿足條件的數與數之間的距離終會改變，這與前面的分析產生了矛盾,這說明前面的假設是錯誤的，因此沒有數能在路徑“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”之間永遠循環下去。用同樣的方法可以證明，沒有數能在路徑“第8行→第9行→第8行”之間無窮循環；也沒有數能在路徑“第1行→第4行(第7行)→第2行→1行”之間無窮循環(1、2、4三個數除外)。綜上所述，一個數最終沒有落入底部的“4-2-1-4”循環，則這個數將無數次經過主鏈的每個節點，這樣來問題就好辦多了。

為討論的方便，我們設“第4行”的數為首項,如果有一個數沒有落入谷底1.則這個數將無數次演變成主鏈上的節點數，而節點數又可以看成是第4行的某個數沿著主鏈多次除以2得到的，因為變換可以無窮無盡持續下去，這就要求第4行中有一個數能沿著主鏈無窮變換下去（如圖丙所示）。

但從循環圈的角度講，第4行的某個數沿著主鏈無窮變換下去，實質上要求該數能在“第4行→第2行→第6行→第8行→第4行”循環圈里永遠變換下去，如圖丁所示。根據前面的結論，“1、2、4”除外的一切自然數經過角谷變換都不能回到自身，因此第4行的某個數沿著圖丁所示的循環圈再次回到第4行時，它已經變成第4行的另一個數，即只要有一個數能在圖丁所示的循環圈里面無窮循環，則將會有更多的數能在循環圈里面無窮循環，也就是說，在循環過程中，有一些滿足條件的數值，它們之間的間隔將保持不變。但事實上，第4行的所有數值沿著主鏈循環變換時，每碰到“除以2”變換一次，符合條件的數值就減少一次，滿足條件的那些數值之間的間隔終會改變，這與前面的分析產生了矛盾，因此前面的假設“如果有一個數沒有落入谷底1”是錯誤的，角谷猜想得證。