親歷數學建模，感悟數學思想

沈軍梅

“鴿巢問題”是義務教育課程標準實驗教科書人教版六年級下冊數學廣角的內容。鴿巢問題又稱抽屜原理。本節課內容既獨立又抽象，獨立是因為它有別于其他課，與前后知識點沒有聯系，比較孤立;抽象是因為“鴿巢問題”實際上是一種解決某種特定結構的數學或生活問題的模型，是一種思想方法。教材緊緊圍繞學生的認知特點，通過幾個直觀的例子，借助實際操作，向學生介紹“鴿巢問題”。學生在理解“鴿巢問題”這一數學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題“模型化”，會用“鴿巢問題”解決問題。例1教材借助把4支鉛筆放進3個筆筒中的操作情景，介紹了一類簡單的“鴿巢問題”，即把m個物體任意分別放進n個空抽屜里（m>n，n是非零自然數），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個物體。例2介紹的是另一種類型的“鴿巢問題”，即把多余kn個物體任意放進n個空抽屜（k是整數），那么一定有一個抽屜中放進了至少（k+1）個物體。實際上，如果設定k=1，這類“鴿巢問題”就變成了例1的形式。因此，這兩類“鴿巢問題”本質是一致的，例1只是例2的一個特例。

六年級學生已經有一定的邏輯思維能力，理解“鴿巢問題”的理論并不復雜，但在建立模型過程中，讓學生靈活、準確地使用“總有”“至少”這些特定語言來表述，以及在具體應用中找到實際問題與“鴿巢問題”模型之間的聯系是學生學習的兩個難點。在教學時，教師可以充分利用學生的生活經驗，放手讓學生自主思考，先采用自己的方法“證明”，然后再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”“假設法”進行比較，思考每種方法各有什么優越性和局限性，讓學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題，發展學生的抽象思維能力。

基于對教材、學情的理解，我的教學實踐設計如下：

一、游戲導入，激發興趣

課伊始，創設魔術表演的情境，老師手中有一副撲克牌，取出大小王，還剩52張牌，請1名學生隨意抽5張，老師猜出至少有2張是同一花色。再讓這名學生任意抽14張，老師猜出至少有一對花色相同。當學生感受到老師的神奇時，教師引導說，老師為什么能作出如此準確的判斷呢？因為這個有趣的魔術中蘊含著一個數學原理，這節課我們就用鉛筆和筆筒來研究這個原理。

二、動手操作，感知模型

1.呈現問題

課件出示：把4支鉛筆放進3個筆筒里，你可以怎樣擺放？有幾種不同的擺放方法？

2.實物操作

組織學生小組合作，邊擺邊記錄，教師巡視。

3.反饋交流

（1）枚舉法。各小組學生口述擺放方法，老師在黑

板上用數的分解的方式把所有的可能都羅列出來，

即（4，0，0）（3，1，0）（2，1，1）（2，2，0），并指出，像這樣把所有的方法一一列舉出來，得到結論的方法叫作枚舉法（板書）。

觀察四種方法有什么共同點？學生發現了兩個共同點：一是每種方法的3個筆筒里都有4支鉛筆。二是每種方法中總有一個筆筒至少有2支鉛筆。根據第二個共同點，理解關鍵詞“總有”和“至少”。學生認為“總有”是一定有、肯定有的意思;“至少”是最少的意思。老師在此環節進行三個追問幫助學生深度理解“總有一個筆筒至少有2支鉛筆”這句話。追問1：“至少2支”究竟指的是多少支？學生思考后回答：“至少2支”是指2支及2支以上，即一定有一個筆筒最少有2支鉛筆，或者2支以上。追問2：2支、3支、4支、5支……都可以嗎？一名學生說最多是4支，不可能超過4支。追問3：哪個筆筒里至少會有2支鉛筆呢？學生觀察后得出：放得最多的筆筒里至少有2支鉛筆。有學生質疑，（2，2，0）這種擺放方法不符合這個結論，有2個筆筒里都有2支鉛筆。全班再次理解后得出：“總有一個”的意思就是存在一個就可以了，兩個筆筒里都是最多的也可以。

（2）假設法。如果每個筆筒里不允許放2支及2支以上的鉛筆，你能辦到嗎？學生說不可以，假如每個筆筒里都先放1支，最多放3支，剩下1支不管放進哪個筆筒，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。老師指出，這種方法，我們稱為“假設法”，先假設每個筆筒里都放1支鉛筆，余下的1支無論放進哪個筆筒，都會出現“總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”的結論。

4.優化策略

這種假設法你能用算式表示嗎？學生列出4÷3=1…1，1+1=2，老師追問商1和余1的意義是否相同。這種推理方法與枚舉法中的那種擺放方法實際上是一樣的？一名學生說是（2，1，1），為什么只研究這種方法就能斷定一定有“至少2支鉛筆放到同一個筆筒里”？師生共同討論后得出：

從最不利的情況考慮，把鉛筆平均分，把鉛筆依次放進筆筒里，這樣每個筆筒里放1支，不讓任何一個筆筒空著，就達到了讓所有筆筒中的鉛筆最少的目的，而另一支鉛筆不管怎么放，都一定能保證總有2支鉛筆放進同一個筆筒里。

而其他方法，有的也放進2支，甚至是3支、4支，這樣只能說明有2支以上的鉛筆放進同一個筆筒里，不能滿足“至少”這個條件，所以只要這種情況考慮了，其他條件就一定能滿足，也就是說其他情況就不用考慮了。

三、深入探究，建立模型

1.加深感悟

如果5支鉛筆放進4個筆筒里，會有什么結果呢？學生用假設法很快得出結論：總有1個筆筒里至少有2支鉛筆。如果6支鉛筆放進5個筆筒里，10支鉛筆放進9個筆筒里，100支鉛筆放進99個筆筒里等，你有什么發現？學生獨立思考后發現，只要鉛筆的數量比筆筒的數量多1，余數都是1，那么總有一個筆筒至少要放進2支鉛筆。

2.提升思維

如果鉛筆的數量不是比筆筒的數量多1呢？5支鉛筆放入3個筆筒，總有一個筆筒里至少有幾支鉛筆？小組同學交流后進行集體反饋，重點討論：先在每個筆筒放1支，剩下2支再平均分后放入不同的筆筒，這樣才能保證放得最多的那個筆筒里的鉛筆數最少。

3.建立模型

請獨立思考7支鉛筆放入3個筆筒里會有什么結果？把m支鉛筆放入n個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放幾支鉛筆？學生思考后集體交流，得到結論：當鉛筆比筆筒多時，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（商+1）支筆。

4.揭示課題

同學們發現的這個規律，其實就是一個非常著名的數學問題，叫抽屜原理，剛才用鉛筆和筆筒研究這個原理的時候，把鉛筆看作被分的物體，筆筒看作抽屜。數學研究是無國界的。還有一些國家是用鴿子和鴿巢來研究物體和抽屜的關系。雖然研究的素材不同，但反映的原理卻是相同的，所以抽屜原理也被稱為鴿舍原理，把這類問題稱為“鴿巢問題”（揭示課題）。因為最先發現這一規律的人是德國數學家狄利克雷，人們為了紀念他能從這么平凡的事情中發現的規律，就把這個規律用它的名字命名，叫“狄利克雷”原理。

四、運用模型，解決問題

首先讓學生解釋課前撲克牌游戲里老師能快速做出正確判斷的秘密，接著讓學生舉出一些能用鴿巢原理揭示的生活中的例子，最后完成課本69頁的做一做。在教學時，可以讓學生說一說什么相當于“鴿巢”，什么相當于“鴿子”，用模型化的語言來解釋，幫助學生找到實際問題與“鴿巢問題”模型之間的聯系。

教學后，反思如下：

1.游戲導入，激發學生的學習興趣

課伊始，我就從學生喜歡的魔術游戲入手，創設關于“鴿巢問題”的“行為表征”的情境，提出了待解決的問題，“知道老師為什么能做出準確的判斷嗎？因為這個有趣的魔術中蘊含著一個數學原理，這節課我們就研究這個原理”。圍繞著中心問題而展開教學，抓住學生好奇的心理，激發學生的求知欲，喚起學生的主體意識，為學生自主探索、發現問題、解決問題營造氛圍。

2.重組教材，實施過程簡潔有效

教材中的例1借助可操作、直觀的素材，介紹了“鴿巢原理”的最基本形式，只需口頭表達，例2提高到用算式推理過程表達，介紹了“鴿巢原理”的一般形式。為了讓學生從直觀操作順利過渡到抽象的推理，本節課我一改教材69頁例2“7本書放入3個抽屜”的情境，將例1“筆筒放入鉛筆”的情境貫穿課的始終，使得教學結構緊湊，實施過程層層推進，扎實有效，體現了課堂教學的整體性和簡約性。

3.自主構建，注重數學思想方法滲透

首先引導學生從簡單的情況開始研究，滲透“建模”思想。學生通過枚舉、假設等方法把抽象的數學知識同具體的分析策略結合起來，經歷知識的發生、發展的過程以及簡單的推理，體驗方法的多樣化和優化，讓學生逐步學會用一般性的數學方法來思考問題。在大量舉例后學生理解了“當鉛筆比筆筒多時，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（商+1）支筆”的規律，構建了“鴿巢問題”的模型，使知識得到了升華。在解決問題時注重讓學生找到實際問題與“鴿巢問題”模型之間的聯系，將方法遷移類推，加以解釋，培養了學生的數學思維能力，促進了學生邏輯推理能力的發展。