深海波導中基于采樣簡正波模態降維處理的廣義似然比檢測*

孔德智 孫超 ? 李明楊 卓頡 劉雄厚3)

1) (西北工業大學航海學院, 西安 710072)

2) (海洋聲學信息感知工業和信息化部重點實驗室, 西安 710072)

3) (中國科學院聲學研究所, 聲場聲信息國家重點實驗室, 北京 100190)

1 引 言

深海波導具有尺度范圍大、干涉結構明顯等特點, 聲源激發的聲場也呈現出明顯的傳播模式, 如影區、匯聚區、表面波導等[1].當接收陣列位于聲源傳播聲場的非匯聚區或者遠距離區域, 接收數據的信噪比將會顯著下降, 這對水下聲源檢測[2]極為不利.此外, 相較于淺海波導的起伏多變, 深海環境相對穩定, 通常可以不考慮其環境參數的不確定性, 因此可采用多快拍數據處理以提高檢測器的時間增益.目前關于深海波導的研究多集中在其聲場的傳播模式[1]及其遠距離傳播聲場的空間相關特性[3]等領域, 而水下聲源檢測的工作還比較少見.

水下聲源檢測是水聲信號處理的重要任務之一, 同時也為后續的定位、跟蹤和識別等工作奠定基礎.近年來, 將水聲物理場的相關理論運用到水下聲源檢測中成為提高檢測性能的主要途徑之一,關于這部分的研究工作主要集中于淺海環境[4-10].基于水聲傳播理論構建信號檢測模型, 確定海洋波導中的最優檢測器為匹配模型檢測器(matched model detector, MMD)[4-5], 它表征了這類檢測器所能達到的檢測性能上限.MMD將接收數據(通常在頻域)與聲傳遞函數做相關運算的結果作為檢測統計量, 然而由于實際中波導環境不確定和聲源位置未知, MMD通常無法實現[4-7].針對此問題主要有兩類解決方法.一類是利用貝葉斯原理、蒙特卡羅方法等對MMD進行改進, 如貝葉斯檢測器[4,5]、基于主成分分析的檢測器[6]和基于蒙特卡羅優化的廣義似然比檢驗[8-11]方法以規避聲傳遞函數的使用, 該類方法根據聲場傳播的簡正波模態構造信號子空間, 并將接收數據投影到信號子空間進而獲得最終的檢測統計量[8-10].由于避免了聲源位置搜索, 這類方法具有較小的運算量和更好的穩健性[10].此外, 還有一些學者提出不確定海洋環境中的定位算法[12,13]也可以借鑒到檢測中來, 但目前這部分工作尚未見諸相關文獻.考慮到淺海環境的時變和空變性, 多是采用頻率單快拍模型來設計檢測器,對于多快拍的情況, 則是簡單地將單快拍輸出非相干疊加.這樣操作雖然簡便且運算量小, 但卻未挖掘各快拍之間的相關信息以進一步提高檢測器的檢測性能.

基于上述討論, 本文利用多快拍模型對深海波導中的窄帶聲源檢測問題展開研究.待檢測聲源通常含有未知參數, 如聲源級、聲源距離和深度等,因而該問題可歸納為復合假設檢驗問題.復合假設檢驗主要有貝葉斯方法和廣義似然比(generalized likelihood ratio, GLR)檢驗兩類方法.貝葉斯方法通過對未知參數的積分獲得最終的檢測統計量, 它要求未知參數的先驗知識.鑒于深海波導的大尺度范圍特性, 使用貝葉斯方法時將面臨龐大的運算量.而GLR方法估計未知參數以便用在似然比檢驗中, 實現起來容易且嚴格的假定較少, 盡管不是最優的, 但實際上它的性能很好, 在所有不變類檢驗中表現為一致最大勢檢驗[14].因此, 本文采用GLR方法來設計深海波導中的水下聲源檢測器.多快拍下的GLR檢測器大都是基于接收數據采樣協方差矩陣(sample covariance matrix, SCM)的處理[15,16], 從物理角度來看, 這樣處理的好處是可以利用多快拍信號之間的空間一致性(這里空間一致性是指各快拍位于相同的向量空間).SCM包含著聲源信號和背景噪聲信息, 其結構由接收數據的快拍數和空間維度這兩個物理量決定.空間維度是指接收數據所處向量空間的維度, 如在陣元域,接收數據的空間維度等于陣元個數.因而GLR檢測器的檢測性能與快拍數和空間維度有關.快拍數為GLR檢測器提供時間增益, 容易理解其與相應的檢測性能成正相關.而空間維度通常決定了未知參數的個數, 降低空間維度時未知參數數量減少,這對GLR檢驗過程中的未知參數估計是有益的.因此, 降維處理常用于改善GLR類檢測器的檢測性能, 如文獻[17,18]通過子陣處理降低接收數據的空間維度, 取得一定的性能提升效果.但目前的處理方式都是基于純數據驅動, 沒有利用聲傳播的相關物理特性, 改善效果有限.

根據簡正波理論, 使用布放在波導中的陣列采樣各階簡正波模態信息(駐波和行波)時, 采樣模態信息只與波導環境有關, 而與聲源級、聲源距離和深度等未知參數無關, 并且聲源信號位于由模態信息矩陣張成的空間(下簡稱模態空間).在深海環境中, 由于陣列孔徑尺寸的限制, 采集的模態信息通常是非完備的, 這就造成即使陣元個數遠小于傳播模態數, 但在一定條件下“有效模態空間”的維度仍小于陣元個數[14], 也就是說, 聲源信號事實上存在于更低維的空間.該情形下, 將陣元域接收數據映射到“有效模態空間”, 即可在幾乎不損失信號能量的情況下, 實現對接收數據的降維處理.但“有效模態空間”的維度并不總小于陣元數, 而是與陣列配置和聲源頻率有關[19].

本文根據陣列接收的聲場結構特性, 提出一種基于簡正波模態采樣信息降維處理的GLR (dimensionreduced GLR, DR-GLR)檢測方法.該方法根據陣列接收聲場信號位于更低維的“有效模態空間”這一物理現象, 針對常用的垂直線列陣(vertical linear array, VLA)和水平線列陣 (horizontal linear array, HLA), 分別根據其采樣的駐波信息和行波信息中提取“有效模態空間”, 利用“有效模態空間”構造降維矩陣, 對GLR檢測統計量中的SCM進行降維處理, 最終給出相應的DR-GLR檢測統計量.這種降維處理在幾乎不損失信號能量的情況下降低接收數據的空間維度, 實際上濾除了若干維度中的噪聲分量進而提高了檢測器的輸出信噪比, 最終使DR-GLR檢測器獲得更優的檢測性能.本文內容安排如下: 首先建立了窄帶多快拍的信號檢測模型; 然后推導了深海波導中噪聲功率已知和未知情況下的GLR檢測器, 并分析了接收數據的空間維度與快拍數對GLR檢測器輸出信噪比的影響; 接著分別利用VLA和HLA采樣模態信息構造降維矩陣并給出其各自的檢測統計量; 最后通過數值仿真驗證了所提方法的性能改善效果, 討論了陣列采樣模態信息對DR-GLR檢測器的影響.

2 聲場與檢測模型

假設一N元線列陣布放于深海波導中, 則在觀測時刻t, 陣列接收信號可表示為

式中r(t) 為N×1 的時域快拍向量, 表示各陣元上的接收數據;g為聲源到陣列的聲傳遞函數向量,假定在觀測時間內聲源和陣列位置不變, 即g保持不變;s(t) 為聲源輻射的窄帶隨機信號, 服從均值為零、方差為的復高斯分布;n(t) 為環境噪聲快拍向量, 服從均值為零、協方差矩陣為為N×N的單位矩陣)的復高斯分布; 假設信號與噪聲不相關.

假設觀測時間內采樣數據快拍數為L, 二元假設檢驗模型[12]可表示為:

式中零假設H0和備選假設H1分別表示聲源信號不存在和存在.假設信號聲場在空間上完全相關,則信號協方差矩陣可表示為上標H表示共軛轉置運算.兩種假設下接收數據分別服從如下分布,

式中CN表示復高斯分布,K0和K1分別表示零假設和備選假設下的RCM,記接收數據矩陣為R=[r(1),···,r(L)] , 則可得零假設和備選假設下的概率密度函數

式中 |·| 表示矩陣行列式, t r(·) 表示矩陣的跡運算.對(4)式取自然對數并利用矩陣求逆引理, 可得零假設和備選假設下的對數似然函數(Loglikelihood function, LLF)分別為:

式中 ∥ ·∥ 表示向量模值.進而對數似然比(Loglikelihood ratio, LLR)可表示為:

3 深海波導中的GLR檢測器及其輸出信噪比

對于深海波導中位置和聲源級未知的窄帶聲源, 聲傳遞函數和信號功率均為未知參數.此外存在噪聲功率已知和未知兩種情況.應用GLR方法推導相應的檢測統計量時, 第一種情況下待估計未知參數為聲傳遞函數和信號功率, 第二種情況下待估計未知參數為噪聲功率、聲傳遞函數和信號功率.在此基礎上, 分析接收數據的空間維度和快拍數對GLR檢測器輸出信噪比的影響.

3.1 噪聲功率已知

為獲得相應的檢測統計量, 須得到聲傳遞函數和信號功率的最大似然估計.注意到信號功率為正標量, 可將其與聲傳遞函數合并為一個量, 即令g′=σsg, 則備選假設下的LLF可寫為

運用拉格朗日乘子法求解(8)式可得

式中λ為朗格朗日乘子.記的最大特征值為對應的特征向量為emax, 則由(9)式可得

將(10)式代入(6)式中并舍去常數項, 可得該情況下的GLR檢測統計量為

該檢測統計量為SCM的最大特征值與噪聲功率之比, 因而將對應檢測器稱為特征值檢測器(eigenvalue detector, EVD).

3.2 噪聲功率未知

此外, 該情況下未知參數g′的最大似然估計同上.

將(12)式代入(6)式中并舍去常數項可得該情況下的GLR檢測統計量為

該檢測統計量為SCM的最大特征值與其跡之比.同時也注意到, 該檢測統計量不依賴于真實的噪聲功率, 因而其檢測門限也與真實噪聲功率無關, 故該檢測器為恒虛警率(constant false alarm rate,CFAR)的特征值檢測器, 簡記為CEVD.

上述EVD和CEVD都是運用GLR方法推導得到的, 將其統稱為GLR檢測器, 二者具有類似的形式, 其檢測統計量都可看作是SCM的最大特征值與噪聲功率之比.區別在于EVD直接利用真實噪聲功率信息 () , 而CEVD是從接收數據中估計噪聲功率(見(12)式).當噪聲真實功率確定且已知時, 對于CEVD, 由于噪聲功率估計誤差的存在, 可以預見其檢測性能相較于EVD會有所下降, 但隨著數據快拍數增多估計誤差減小, 性能下降程度也將減弱.這種性能犧牲是有意義的, 它帶來的是CEVD的恒虛警特性, 即在噪聲功率不確定的情況下依然能實現穩健的檢測性能.

3.3 GLR檢測器的輸出信噪比

使用檢測器的輸出信噪比定量描述其檢測性能, 顯然輸出信噪比越大檢測器的檢測性能越好.為計算輸出信噪比, 引入檢測器的偏移系數(deflection coefficient, DC)[20], 其定義為

式中E[·] 表示求期望運算,D[·] 表示求方差運算,T表示相應的檢測統計量.DC漸近表征了檢測器的輸出信噪比, 下面以EVD為例, 討論接收數據的空間維度和快拍數對GLR檢測器的影響.

零假設下, EVD的檢測統計量漸近(L＞N)服從2階Tracy-Widom分布[21]:

備選假設下, EVD的檢測統計量漸近 (L?1) 服從高斯分布[22], 其均值為

式中,μTW2和σTW2都是L,N的函數, 因此給定信噪比下, EVD的輸出信噪比只與接收數據的快拍數和空間維度有關.圖1給出了相同信噪比下,EVD的輸出信噪比隨快拍數和空間維度的變化曲線.可以看出, 相同信噪比下, EVD的輸出信噪比隨快拍數的增多而增大, 隨空間維度的增大而減小.

從統計檢測的原理來看, 當快拍數增多時,EVD獲得更大的時間增益, 相應地其輸出信噪比增大; 而當空間維度減小時, 意味著未知參數的個數減少, 這使得GLR過程中的估計精度提高,EVD獲得更優的檢測性能, 同時表現為更大的輸出信噪比.從物理角度來看, 由于背景噪聲在空間各維度均勻分布, 當信號能量一定時, 空間維度越低意味著引入檢測器的噪聲分量就越少, 因而檢測器能獲得更高的輸出信噪比.CEVD具有與EVD類似的檢測統計量, 同理可得空間維度對其檢測性能具有同樣規律的影響, 這里不再贅述.上述結果表明, 對于GLR檢測器, 相同能量的陣列接收信號位于更低維的空間時, 更有利于噪聲背景下的信號檢測.

圖1 EVD的輸出信噪比隨接收數據快拍數和空間維度的變化曲線, s nr=1 (a) 固定空間維度 N=20 ; (b) 固定快拍數L=100Fig.1.The output SNR of EVD varying with various snapshot number and spatial dimension, s nr=1 : (a) spatial dimension N=20 ; (b) snapshot number L=100.

4 基于簡正波模態采樣信息的降維處理

本節從深海波導中聲傳播的物理特性出發, 并結合陣列(VLA和HLA)接收的聲場結構, 提出一種基于簡正波模態信息降維處理的GLR (dimensionreduced GLR, DR-GLR)檢測方法.

根據聲場簡正波理論, 對于遠距離傳播的聲場, 只有有限階簡正波模態在波導中傳播.深海波導中一定頻率的窄帶聲源到接收點 (r,z) 處的聲壓傳遞函數可表示為各階簡正波之和的形式,

式中z,r分別為接收點深度和水平距離,zs為聲源深度,M為波導中傳播的簡正波階數,?(·) ，kr,m和δm分別為第m階簡正波的模態函數、水平波數和衰減系數.由(19)式可知, 每階簡正波聲場由沿垂直分布的駐波和沿水平方向傳播的行波構成.當使用VLA或HLA接收采樣簡正波聲場時, VLA采樣到各階駐波信息, HLA采樣到各階行波信息.降維處理的關鍵在于構造降維矩陣, 由于VLA和HLA接收聲場結構的差異性, 利用簡正波模態采樣信息構造降維矩陣的過程也有所不同.下面分別根據VLA和HLA各自接收聲場特性構造降維矩陣, 對接收數據進行降維處理, 并給出相應的DRGLR檢測統計量.

4.1 基于VLA采樣簡正波模態的降維處理

當接收陣為VLA時, 由(19)式, 聲場傳遞函數可表示為模態函數采樣矩陣(下簡稱模態矩陣)與模態系數向量乘積的形式,

式中z1,···,zN分別為VLA各陣元的深度, 模態系數各階模態函數體現了駐波的特性, 沿垂直方向分布并覆蓋整個波導深度, 且滿足如下正交性:

式中H為波導深度, Δ(·) 為狄拉克函數.由(20)式可知, 聲場位于模態矩陣張成的空間, 即span(g)∈span(Φv), 模態矩陣張成空間的維度決定了聲場的維度, 模態矩陣僅與聲源頻率和波導環境有關, 而與聲源位置無關.

在深海波導中, 通常VLA孔徑遠小于波導深度, 導致陣列對模態信息采樣的完備程度很低, 各階模態之間不再滿足正交性并存在一定的相關性,導致模態矩陣包含部分冗余信息.造成的結果是,盡管陣元個數通常也小于聲源激發的模態階數, 但事實上模態矩陣“有效模態空間”的維度在一定情況(聲源頻率和陣列配置)下仍小于接收數據的空間維度(即陣元個數).為獲得“有效模態空間”, 對模態矩陣進行奇異值分解(singular value decomposition, SVD)

式中Uv=[uv,1,···,uv,N] 為N×N的列正交矩陣,Sv=diag(ξv,1,···,ξv,N)為奇異值矩陣(奇異值按降序排列),Vv=[vv,1,···,vv,N] 為M×N的列正交矩陣.由(22)式可知, 模態矩陣可表示為N個秩一矩陣的加權之和, 加權系數為對應的奇異值.相應地, 模態空間被分解為由這些秩一矩陣張成的N個相互正交的子空間, 每個子空間包含一定的模態信息, 而奇異值則表征了各子空間模態信息的權重.當模態矩陣包含部分冗余信息時, 則存在一部分極小奇異值, 這些極小奇異值對應的子空間即為冗余子空間, 除此之外的子空間即為有效模態空間.有效模態空間包含了幾乎所有的模態信息, 且信號能量全部位于有效模態空間,

對于模態矩陣來說, 冗余子空間是不必要存在的, 因為它們不僅對模態矩陣所包含的信息幾乎沒有貢獻, 還占據一定維度的空間.摒棄冗余子空間,保留的有效模態空間包含的模態信息為有效模態信息.利用有效模態信息重構模態矩陣可得

式中對各階奇異值做了歸一化,ξ0為極小奇異值的門限值.ξ0若取值較大, 則會損失一部分模態信息;若取值較小, 則會留存冗余子空間.本文取經驗值ξ0=0.01.由(23)式可知, 重構的模態空間僅由M0個子空間構成, 模態矩陣的維度也由N減小為M0.將其代入(20)式中, 則聲傳遞函數可表示為

式中R′為降維后的接收數據,為降維后的SCM.容易發現, SCM的維度由N減小為M0.

對于CEVD, 其檢測統計量中的分子和分母都包含對SCM的運算, 那么就存在兩種降維方式, 只對分子降維和同時對分子分母降維.由于噪聲均勻分布在各子空間, 若對分母部分也做降維處理, 那么就會濾除部分噪聲分量, 這對噪聲功率估計顯然是不利的.因此我們只對CEVD檢測統計量的分子降維, 相應的檢測統計量為

將相應的檢測器記為DR-CEVD.我們給出了DRGLR檢測的算法實現流程圖, 如圖2所示.經過降維處理, 接收數據的空間維度由N減小為M0, 且信號能量幾乎沒有損失, 即信噪比幾乎保持不變,因此DR-GLR檢測器將獲得更好的檢測性能.

4.2 基于HLA采樣簡正波模態信息的降維處理

當接收陣為HLA時, 聲源相對于HLA的位置參數除了深度和水平距離,還有水平方位角.這里假設聲源相對于HLA的水平方位角為θ(如圖3所示),以第一個陣元為參考陣元,利用(19)式,聲傳遞函數可寫為模態矩陣與模態系數相乘的形式

圖2 使用VLA時DR-GLR檢測器的算法流程圖Fig.2.The flow diagrams of the DR-GLR detectors when using a VLA.

式中z為HLA布放深度,r1為聲源與一號陣元的水平距離,rn=r1+(n-1)d為陣元的水平距離坐標.由(29)式可知,與VLA的情況類似,聲場同樣位于模態矩陣Φh張成的空間(〈Φh〉).不難發現,模態矩陣的列向量是以方位角θ入射的不同波數平面波的方向矢量.因此與VLA不同,HLA采樣的是水平波數和方位角信息,而非模態函數信息.但為便于作類比理解,也稱其為模態矩陣.

圖3 水平陣聲源信號入射方位Fig.3.The arrival angle of acoustic signal on the HLA.

水平波數是聲源激發簡正波行波的特征參數,隨階數增大而減小,但變化十分緩慢,鄰近水平波數之間的差別很小,導致各階模態(方向矢量)之間的強相關,最終造成模態采樣信息的冗余性.同理可對接收數據進行降維處理.由于HLA的模態矩陣是θ的函數,運用SVD方法獲得的降維矩陣也與θ有關,記為方位角θ通常未知,為獲得最終的DR-GLRT檢測統計量,需要在可能的方位角范圍內進行掃描,當掃描到聲源真實方位角時,信號聲場全部位于“有效模態空間”,降維過程中沒有信號能量損失,檢測統計量的值達到最大,因此可得DR-EVD的檢測統計量為

以及DR-CEVD的檢測統計量為

相應的算法流程圖如圖4所示.

4.3 降維程度和降維系數

對于VLA和HLA,利用其各自采集的駐波信息和行波信息構造降維矩陣,實現了DR-GLR檢測.由于模態矩陣采樣信息的差異,最終得到的檢測統計量表達式稍有不同(后者需要在方位角上進行掃描),但實質上它們都利用了陣列接收簡正波聲場信息的冗余性.對于VLA,冗余性是由陣列孔徑遠小于波導垂直尺度造成的; 而對于HLA,各階水平波數的密集分布導致了模態采樣信息的冗余性,最終導致有效模態空間維度小于接收數據的空間維度.

顯然,有效模態空間維度越小,能對接收數據降維的程度就越大,DR-GLR檢測器也就可以獲得更大的輸出信噪比,檢測性能提升.有效模態空間的維度與陣列采樣的簡正波聲場信息有關,因此,對于不同的聲源頻率和陣列配置,降維程度也存在差異.對給定陣元數的陣列,定義降維系數

來定量描述降維程度,其值越大,表明降維程度越大,相應地,DR-GLR檢測器能獲得相較于GLR檢測器更大的檢測性能提升.顯然,降維系數與有效模態空間維度(M0)呈負相關.從物理角度來看,M0表征了陣列采樣簡正波模態信息的“豐富程度”,而簡正波模態數增多(如當聲源頻率增大)和陣列孔徑增大(如當陣元間距增大)都會加強這種“豐富程度”,帶來的結果就是M0增大、η減小.因此降維程度依賴于聲源頻率和陣列孔徑.當有效模態空間維度增大到與接收數據的空間維度(即陣元數)相等時,η減小為零,DR-GLR將不再具有降維效果.

圖4 使用HLA時DR-GLR檢測器的算法流程圖Fig.4.The flow diagrams of the DR-GLR detectors when using a HLA.

5 數值仿真與分析

本節通過數值仿真,首先給出GLR檢測器,即EVD和CEVD的檢測性能分析與對比,以及接收數據的空間維度對其檢測性能的影響,然后驗證經過降維處理后的DR-GLR檢測器的性能提升效果,并結合聲場傳播與接收特性,探討引起檢測器性能變化的內在物理機理.仿真使用的深海波導模型及相關環境參數如圖5所示,其中聲速剖面為Munk曲線,如圖6所示.考慮與距離無關的波導環境,假設聲源深度為200 m.仿真中聲場及簡正波模態由KRAKEN程序計算,仿真圖中標注的信噪比為對數信噪比,即dB.

圖5 深海波導及相關環境參數Fig.5.Deep-sea waveguide and environmental parameters.

5.1 EVD和CEVD的檢測性能分析

分別考察噪聲功率已知和未知時EVD和CEVD的檢測性能表現情況.假設窄帶聲源中心頻率為150 Hz,陣元數為30,陣元間距為半波長(5 m),虛警概率PFA=0.01.檢測門限和檢測概率利用蒙特卡羅實驗計算,計算每一個檢測概率的實驗次數為100000.本文討論的檢測性能通過給定虛警概率和信噪比下的檢測概率來考量,暫不考慮陣列配置(如陣型、布放深度、陣元間距等)對信噪比的影響,給定信噪比情況下,EVD和CEVD的檢測性能與陣列配置無關,因而暫且對陣列配置不作要求.

圖6 深海聲速剖面Fig.6.Deep-sea sound speed profile.

圖7給出了快拍數L=20 和L=40 時,EVD和CEVD的檢測概率隨信噪比的變化曲線.由圖5可知,檢測性能隨快拍個數的增加而提高,相同快拍數下EVD的檢測性能優于CEVD.這是因為CEVD沒有直接利用真實噪聲功率,而是從接收數據中估計噪聲功率.由于接收數據快拍數的限制,CEVD估計得到的噪聲功率與真實噪聲功率有偏差,進而造成其檢測性能差于EVD.但隨著快拍數的增多,CEVD從接收數據中獲得的噪聲功率估計的精確性提高,相應地其檢測性能與EVD的差距縮小,如圖7(b)所示.

當噪聲功率未知時,使用EVD時需要通過預先采集的噪聲訓練樣本來估計噪聲功率.然而由于真實環境的非平穩性和噪聲樣本數量的限制,估計的噪聲功率通常與其真實值存在一定的偏差.因此在使用EVD時,就會產生噪聲功率不確定性的問題[15,16].使用噪聲不確定因子[21](noise uncertainty factor,NUF)描述噪聲功率不確定性,其定義為

圖7 不同信噪比下檢測概率曲線比較,PFA=0.01 (a) L=20 ; (b)L=40Fig.7.Probability of detection curves with various SNRs,PFA=0.01: (a) L=20 ; (b) L=40.

圖8 噪聲功率不確定,不同信噪比下檢測概率曲線比較 (a) L=20 ; (b)L=40Fig.8.Probability of detection curves with various SNRs when noise power is uncertain: (a) L=20 ; (b) L=40.

圖8給出了快拍數為L=20 和L=40 時,噪聲功率不確定度為μ=0.25 dB和μ=0.5 dB時GLR檢測器的檢測概率曲線.由圖8可知,當存在噪聲功率不確定性時,EVD的檢測性能下降,且隨著噪聲功率不確定度的增大,EVD的檢測性能持續下降以致差于CEVD,如μ=0.5 dB時,EVD的檢測概率已經明顯低于CEVD; 而CEVD的檢測性能始終保持不變,不受噪聲功率不確定性的影響,這也驗證了CEVD作為CFAR檢測器的性質.同時對比圖8(a)和圖8(b)可以看出,噪聲功率不確定情況下快拍數增加時CEVD的檢測性能提升得更快.

考慮接收數據的空間維度對GLR檢測器的檢測性能的影響,給出了不同陣元數下檢測概率隨信噪比變化的曲線,如圖9所示.由圖9可知,隨著陣元數增多,接收數據的空間維度增大,EVD和CEVD的檢測概率都明顯下降,這與前文中EVD的輸出信噪比隨數據維度增大而減小的情況相一致,同時也驗證了通過降維處理改善GLR檢測器檢測性能的可行性.圖9中的對比結果是在相同信噪比情況下獲得的,并不是說縮減陣元個數可以提高GLR檢測器的檢測概率.若縮減陣元數使信噪比明顯下降,則有可能導致檢測概率下降.

5.2 降維處理對GLR檢測器的性能提升

分別考慮使用VLA和HLA時DR-GLR檢測器的檢測性能.設置VLA初始深度為100 m(最靠近海面的陣元深度),水平距離為30 km; HLA深度為100 m,聲源距HLA一號陣元的水平距離為30 km,水平方位角θ=10°; 其他參數同上.該頻率聲源總共激發了490階簡正波,使用VLA和HLA采集的各階模態信息和模態矩陣歸一化的奇異值分布如圖10所示.由圖10(a)和圖10(c)可知,VLA和HLA采集到迥然不同的模態信息,分別是駐波信息和行波信息,且各階模態信息形成了明顯的干涉條紋,表明各階模態之間存在相關性,以及模態采樣矩陣包含冗余信息.由圖10(b)和圖10(d)可知,模態矩陣存在一部分極小奇異值,這部分極小奇異值對應了冗余模態信息張成的空間,利用(24)式計算可得VLA和HLA降維矩陣的維度M0分別為18和5.因此可以發現,HLA采樣模態信息具有更強的冗余性,有效模態空間維度更小.這意味著對于相同孔徑的陣列,由于HLA采樣的行波信息之間具有更強的相關性,其接收信號聲場事實上位于更低維的有效模態空間,

圖9 不同數據維度下的檢測概率曲線對比,快拍數 L=40 (a) EVD; (b) CEVDFig.9.Probability of detection curves with various spatial dimension: (a) EVD; (b) CEVD.

圖10 陣列采樣模態信息及相應模態矩陣的奇異值 (a) VLA采樣的各階模態; (b) VLA; 歸一化的各階奇異值分布;(c) HLA采樣的各階模態; (d) HLA,歸一化的各階奇異值分布Fig.10.Modal information sampled on the array and singular values of corresponding mode matrices: (a) Various modes sampled on the VLA; (b) normalized singular values associated with the VLA; (c) various modes sampled on the HLA; (d) normalized singular values associated with the HLA.

圖11給出了噪聲功率已知情況下,使用VLA和HLA時DR-GLR檢測器的檢測概率曲線,快拍數L=20.為便于對比,圖中也給出了GLR檢測器的檢測概率曲線.記檢測概率達到0.5所需的信噪比為檢測器的信噪比門限.對于VLA,DR-EVD和DR-CEVD的信噪比門限相較于EVD和CEVD分別降低了0.9 和1.3 dB; 對于HLA,相較于EVD和CEVD,DR-EVD和DR-CEVD的信噪比門限分別有2.1 和2.6 dB的下降.由于利用采樣簡正波模態信息對接收數據進行了降維處理,使得GLR檢測在更低維的空間進行,因而GLR檢測器的檢測性能獲得明顯的提高.HLA采樣的行波信息冗余性更強,有效模態空間維度更小,因此該條件下使用HLA時DR-GLR獲得更好的檢測性能改善效果.

圖12給出了噪聲功率不確定情況下使用VLA和HLA時DR-GLR檢測器的檢測性能表現.與未降維的結果一致,DR-EVD的檢測性能隨噪聲功率不確定度的增大而下降,而由于降維后的DRCEVD仍為CFAR檢測器,DR-CEVD的檢測性能與噪聲功率不確定度無關,表現出對噪聲不確定性的穩健性,同時這種穩健性對于VLA和HLA都成立,因此在非平穩的噪聲環境中,噪聲功率難以估計時DR-CEVD是更佳的選擇.

5.3 采樣模態信息及其對降維程度的影響

陣列采樣模態信息的“豐富程度”決定了陣列接收聲場的有效模態空間維度,進而影響了降維程度,圖13中給出了聲源激發的各階簡正波模態函數幅值在波導深度上的變化和各階水平波數分布,其中陣元數為30,聲源頻率為150 Hz,水平方位角θ=0°.由圖13(a)可知,接近海面和海底時模態函數幅值為零的階次較多,因此當陣列位于靠近海面或者海底位置時,冗余模態信息增多,降維程度將會加強.由圖13(b)可知,各階水平波數在數值上非常接近,這使得HLA采樣的各階模態,也就是各方向向量之間具有強相關性.因此相較于VLA,HLA的模態矩陣包含著更多冗余信息,有效模態空間維度更小,降維程度更強 (如圖10(b)和(d)所示).

圖11 不同信噪比下的檢測概率曲線對比,快拍數 L=20 (a) VLA； (b) HLAFig.11.Probability of detection curves of different detectors,snapshot number L=20 : (a) VLA; (b) HLA.

圖12 噪聲功率不確定,不同信噪比下檢測概率曲線對比,快拍數 L=40 (a) VLA; (b) HLAFig.12.Probability of detection curves of different detectors when noise power is uncertain,snapshot number L=40 : (a) VLA;(b) HLA.

陣列配置和聲源頻率是影響陣列采樣模態信息的兩個重要因素,前者決定了陣列采樣模態信息的結構特征,后者決定了模態采樣信息的階數,進而影響降維程度.首先考慮陣列配置對陣列采樣模態信息的影響,這里陣列配置是指陣元間距與布放深度.給出了降維系數隨陣元間距和陣列深度的變化曲線,如圖14所示,仿真參數同上.由圖14(a)可知,降維系數隨陣元間距的增大而減小,這是因為陣列孔徑增大時采集到更大尺度上的模態信息,模態信息的“豐富程度”加強,各階模態之間的相關性下降,有效模態空間維度增大,降維程度相應減弱; 同時在減小速度上VLA遠快于HLA,這與圖13(b)的分析結果一致.由圖14(b)可知,陣列深度改變時降維系數變化幅度不大,這是因為陣列采樣的模態信息的總量變化不大,同時觀察到陣列深度接近海面或海底時降維系數較大,這與圖13(a)的分析結果一致.需要指出的是,這里僅討論了陣列配置對降維程度的影響,實際當中的陣列配置還要考慮分辨率、傳播損失等因素,并不意味著陣元間距越小越好.

聲源頻率決定了聲源激發模態階數多少,當聲源頻率增大時,波導中傳播的模態數目增多,進而陣列采樣模態信息的“豐富程度”加強,有效模態空間維度增大.圖15給出了降維系數隨聲源頻率的變化曲線,其中陣列深度為200 m,可以看出當聲源頻率增大時,降維系數減小.當頻率增大到一定值時(如頻率為400 Hz,VLA,d=4 m),降維系數減為零,DR-GLR不再具有降維的作用.

圖13 聲源激發的各階簡正波模態函數和水平波數 (a)各階模態函數幅值隨波導深度的變化; (b)各階水平波數分布Fig.13.Modal functions and horizontal wavenumber of various normal modes excited by the acoustic source: (a) Modal functions along with various depths; (b) distribution of various horizontal wavenumbers.

圖14 陣列配置對降維程度的影響,N=40 (a) 陣列深度100 m; (b) 陣元間距4 mFig.14.The influence of array configuration on the degree of dimension reduction,N=40 : (a) Array depth of 100 m; (b) hydrophone spacing of 4 m.

圖15 降維系數隨聲源頻率的變化曲線Fig.15.The dimension reduction coefficient varying with increasing frequency.

6 結 論

本文研究了深海波導中的水下窄帶聲源檢測,利用GLR方法推導并得到了兩種檢測器EVD和CEVD,在此基礎上提出了一種基于簡正波模態采樣信息降維處理的廣義似然比檢測方法.通過理論分析與仿真實驗得到了如下結論: 1)多快拍下的GLR檢測統計量是基于對SCM最大特征值的處理,相較于EVD,CEVD以犧牲部分檢測性能的代價獲得了恒虛警特性,即在噪聲功率不確定情況下仍能實現穩健的檢測性能; 2) 理論分析表明,在相同信噪比下,GLR檢測器的輸出信噪比隨接收數據快拍數的增大而增大,隨空間維度的減小而增大,因此可考慮通過對接收數據的降維處理改善GLR檢測的檢測性能; 3)通過舍棄冗余模態空間獲得有效模態空間,利用保留的有效模態空間構造降維矩陣并對接收數據進行降維處理,可在幾乎不損失陣列接收信號能量的前提下降低接收數據的空間維度; 4)由于接收簡正波模態信息的差異性,VLA和HLA的DR-GLR檢測統計量具有不同的形式(后者需要在角度上掃描),并且由于HLA采樣各階行波信息之間的強相關性,使得HLA接收聲場位于更低維的有效模態空間; 5) 降維處理對GLR檢測器的檢測性能改善程度與降維程度呈正相關,降維程度隨陣元間距和聲源頻率的增大而減弱.