基于腔光力學系統的全光三極管的壓縮特性*

李森 李浩珍 許靜平 朱成杰 羊亞平

(同濟大學物理科學與工程學院, 先進微結構材料教育部重點實驗室, 上海 200092)

1 引 言

晶體管也就是三極管的發明推動人類社會進入了信息時代, 幾乎所有的電子設備都應用了晶體管及其相關技術.但是由于電子在傳輸過程中產生熱損耗, 且信號之間會相互干擾, 這些特征使得電子作為信號載體已不能滿足現代信息社會的發展需求.與電子相比, 光子在傳輸過程中不產生熱損耗, 傳輸速度快, 光信號之間不會發生干擾.此外,電子要保持相干性需要工作在1 K以下[2], 而光的相干態在器件工作的正常溫度下仍然保持了良好的相干性.這些優點使得光子比電子更適合作為信息載體, 因此人們提出了全光三極管的概念[3-10],全光三極管是一種這樣的設備, 它借助光子間的非線性相互作用, 用一束較弱的控制光束實現對另一束信號光的調控, 在一定的條件下, 實現信號光的減弱或放大.

要實現全光三極管, 必須借助非線性來增強光子間的相互作用, 而微腔是增強非線性相互作用的一個極好工具.2011年, Li和Zhu[6]利用納米光子晶體腔與量子點耦合系統提出了全光三極管的一個方案.此外, 由于腔光機械系統[11-24]也能實現光子間較強的非線性相互作用, Teufel等[20]在諧振腔中加入了鋁膜, 得到的單光子耦合強度與先前獲得的耦合強度相比提高了兩個數量級以上, 從而使得整個系統進入了強耦合狀態.Larson和Horsdal[24]研究了光腔中插入部分透明的機械膜組成的腔光機械系統, 分析了約瑟夫森效應, 結果顯示, 由作用于膜上的光壓引起的非線性相互作用會導致豐富的動力學結果.這些研究均表明了腔光機械系統能實現強耦合, 并增強光子間的非線性相互作用.Chen等[25]基于玻色-愛因斯坦凝聚體與光腔耦合形成的腔光機械系統提出了一個切實可行的全光三極管的設計方案.該方案通過將玻色-愛因斯坦凝聚原子系綜束縛在光腔中, 用一束抽運光驅動該腔光機械系統, 抽運光的強度可以有效調節另一束探測光在系統中的傳輸, 并能得到探測光光放大的效果.然而以往關于全光三極管的工作主要集中在對輸入輸出光強度的研究上, 對輸出光的量子統計性質, 尤其是壓縮性質沒怎么關注.對此,本文主要研究了以相干光或壓縮光作為探測光, 通過全光三極管后, 在光放大工作區間, 輸出光的壓縮特性.由于壓縮光具有比量子噪聲還小的起伏,可以大大地提高光束的信噪比, 在微弱信號檢測(如引力波的測量)、光通信以及原子、分子物理學等方面具有重要應用[26], 因此我們的研究結果在量子測量等領域有著潛在的應用價值.

本文第2節介紹了全光三極管模型, 展示了三極管的輸入輸出特性以及輸出光的壓縮定義.第3節討論了以相干光為探測光入射時, 輸出光的統計性質.第4節討論了以壓縮光為探測光時, 在光放大工作區域, 輸出光的壓縮特性.第5節對全文作了總結.

2 基于腔光力學系統的全光三極管原理

首先介紹一下文獻[25]中提到的全光三極管系統, 如圖1所示, 玻色-愛因斯坦凝聚體 (藍色)約束在兩個腔鏡都固定的法布里-珀羅(F-P)腔中, 其中左腔鏡是半透鏡, 右腔鏡是全反鏡, 在外場的驅動下, 玻色-愛因斯坦凝聚體與腔場耦合.一束光強較強, 頻率為ωpu的抽運光(pump laser)直接驅動腔場, 用來控制玻色-愛因斯坦凝聚體與腔場的耦合; 另一束光強較弱, 頻率為ωpr的探測光(probe laser)也入射進系統, 在與系統作用后射出腔體, 并被探測器(detector)接收, 其輸入輸出關系將受到抽運光的調控.在雙模近似及波戈留波夫近似下, 系統的哈密頓量在作相對于抽運頻率ωpu的旋轉波變換后可以表示為[25]

圖1 系統原理圖[25]Fig.1.Schematic diagram of the system [25].

(1)式中第一(項代)表玻色-愛因斯坦凝聚體的振動能量, 其中aa?是玻色-愛因斯坦凝聚體振子的湮滅(產生)算符,ωm代表玻色-愛因斯坦凝聚體的振動頻率; 第二項是腔場(的)能量,Δc是腔場與抽運光之間的失諧.ωc與cc?分別表示腔模頻率及腔模光子的湮滅(產生)算符,為有效腔模頻率.與ωc 的差別是原子振動引起的相對于空腔的頻率偏移量.第三項是玻色-愛因斯坦凝聚體與腔場的耦合項,g為耦合強度,N是原子的總數.最后兩項分別表示抽運光(pu)和探測光(pr)與腔模的耦合, |Ei| 表示這兩束光的振幅,Pi(i=pu,pr)表示對應的輸入功率,κ表示腔的漏損率,δ是探測光對抽運光的失諧量.

γm表示玻色-愛因斯坦凝聚體振子的阻尼系數.為了得到輸入輸出關系, 將X和c看成標量, 則方程的解具有如下形式:

其中c0和X0為忽略探測場時的零階定態解, 其頻率與抽運場頻率一致;c+(X+)表示對探測場的線性響應項, 其對應的諧振頻率與探測場一致;c-(X-)表示非線性響應部分, 其對應的諧振頻率為2ωpu-ωpr(注意之前的哈密頓量已經對抽運場頻率做了旋轉).c0和X0的值可以通過設定方程(2)中的Epr=0 , 同時聯立方程(2)和方程(3)并令所有時間導數為0, 數值求解.

得到c0和X0后, 將(4)式和(5)式代入方程(2)和方程(3), 合并同諧振項, 得到

有了c和X的解后, 利用輸入輸出關系[18], 就可以得到系統的輸出和輸入關系為

Cin和Cout分別是總輸入光和通過全光三極管后的輸出場的算符, 且得到輸出場為[25]:

其中

Cout+是輸出場中的線性響應部分, 具有與探測場相同的諧振頻率,Cout-是輸出場中的非線性響應部分, 代表兩個抽運場與一個探測場作用的三階非線性過程.

本文通過計算來展示該系統的三極管效應, 即通過調節抽運光的強度來控制探測光的輸出特性.經過分析, 當抽運光與腔模“藍失諧”且滿足Δc=-ωm的條件下, 輸出場將受到抽運場的有效調控.采用波長為780 nm的抽運光, 其他的系統參 數 為[27]:N=0.2×105,g0=π ×10.9MHz ,κ=10π ×1.3MHz ,Δc=-ωm,Δa=2 π×32GHz ,γm=2π×0.4kHz ,ωm=2π×15.2kHz.在圖2中,畫出了當抽運光功率Ppu分別為0, 1.0, 2.0, 3.0,4.0, 5.0 × 10-13W時, 輸出場的線性響應部分相對于入射探測場的透射率T=|Cout+/Epr|2隨探測場頻率的變化.由圖2可知Ppu=0 時, 透射率為1,探測場沒有被放大,Ppu＞0 時, 透射率在探測場與腔模共振時(Δ′prc=ωpr-ω′c=0)得到顯著增強.在所述的抽運功率下, 共振時的透射率都大于1,實現了光放大, 并隨著抽運光功率的增大, 透射光功率也隨之增大, 具有可控性.因此該系統實現了三極管的放大功能.光放大的物理原理主要是當抽運光與腔模“藍失諧”且滿足Δc=-ωm時, 通過光聲耦合將抽運場的部分能量傳遞給腔模和振子, 當探測場與腔模共振時Δ′prc=ω′pr-ωc=0 , 抽運場轉移給腔模的能量就導致了探測場的光放大.

為了討論輸出光的壓縮特性, 引入正交分量算符:

它們滿足對易關系 [X1,X2]=i/2.

對應的壓縮參量Si為

其中 (ΔXi)2為方差, 定義為

由壓縮光的定義可知如果Si＜0 , 則輸出場為壓縮態, 其極限為-0.25; 若Si=0 , 則輸出場為最小不確定度態, 即相干態.

圖2 透射率 T=|Cout+/Epr|2 在不同的抽運光功率下,隨探測光與腔模的頻率失諧量 Δ ′prc=ωpr- ωc′ 的變化,抽運光的頻率滿足藍失諧條件Δc=-ωmFig.2.The relationship between the transmissivity T=|Cout+/Epr|2and the frequency detuning of the probe light and the cavity mode (Δ ′prc=ωpr- ωc′) at different pump power.The frequency of the pump light satisfies the condition of blue detuning(Δc=-ωm).

由(13)式-(16)式可知, 壓縮量Si的計算最后都歸結于輸出場期望值 〈Cout〉 , 〈CoutCout〉 ,的計算.將輸入算符表示為Cin=Epr,將輸出場的線性部分用Cout, 而輸出場的非線性部分用Cout′表示.根據(10)式-(12)式, 輸出場的線性部分與輸入場有如下關聯:

而輸出場的非線性部分與輸入場有如下關聯:

可見輸出場的壓縮性質與輸入探測場的壓縮性質以及系統參數(K,M)有密切關系.接下來討論在三極管光放大工作區域以相干光或壓縮光入射時系統輸出光的壓縮特性.

3 相干光作為探測光時系統的輸出光性質

光場相干態的概念由物理學家Glauber于1963年提出來, 相干態是光子湮滅符的本征態, 可以通過將真空態平移來產生, 其具有如下性質:

先考慮輸出光中的線性部分, 將(23)式代入(17)式-(19)式, 最后由(15)式得

同理計算輸出光中的非線性部分的壓縮參量可得

由此可見, 探測光為相干光輸入時系統的輸出光不論是線性部分還是非線性部分都不產生壓縮, 依然是相干光.以上的分析并沒有代入具體的系統參數, 所有系統不論工作在三極管放大區域還是其他區域, 當探測光和抽運光都是相干光時, 輸出光也是相干光.

4 壓縮光入射時輸出光的壓縮性質

相干態是正交分量的最小不確定度態,ΔXi=1/2稱為量子漲落極限.經研究發現, 存在一種滿足(i=1或2)的態, 人們把這種態稱作壓縮態, 用|ξ〉=|reiθ〉來表示,ξ稱為壓縮量,r稱為壓縮幅,θ稱為壓縮角.當光場處于壓縮態時, 其中一個正交分量的量子漲落小于量子漲落極限.輸入探測場為壓縮態時, 具有如下性質:

將(26)式代入(17)式-(19)式, 得到輸出場的線性部分具有的特性如下:

這里多出的2κ是因為輸入輸出關系引入了損耗.

將(27)式代入(15)式可得輸出場的線性部分的壓縮參數:

同理考慮輸出場的非線性部分, 得到其壓縮參數為:

若S1和S2都為0, 則輸出場為最小不確定度態, 也就是相干態.如果S1和S2其中一個小于0, 則輸出場為壓縮態; 當S1＜0 時對應強度壓縮, 而S2＜0時則對應相位壓縮.要討論輸出光的壓縮特性, 主要看S1和S2的值是否小于0.

采用圖2中的系統參數來討論在輸入探測光為壓縮光時該耦合系統輸出光的壓縮特性.在圖3中, 計算了不同壓縮光(也就是壓縮幅r設定為1,2和3, 同時壓縮角θ分別取0, π /4 , π /2 和 3 π/4)作為輸入探測光時, 輸出光中的線性部分的壓縮參數S1隨探測光頻率(探測光與腔模的失諧)的變化.

當θ=0時, 見圖3(a),S1的值在所考慮的探測光頻率范圍內均小于0, 即都具有壓縮性.對于r=1的輸入壓縮光(黑色實線), 輸出光的S1=-0.21, 其值基本不隨探測光的頻率發生變化.對于r=2的輸入壓縮光(紅色實線), 輸出光的S1在探測光與腔模共振時, 即Δ′prc=0 , 達到最小值-0.246, 并隨著失諧的增大而增大.對于r=3的輸入壓縮光(藍色實線), 輸出光的S1的值隨著探測光頻率的變化幅度更大, 但在探測光與腔模共振, 即Δ′prc=0 時, 也達到最小值, 且最小值為-0.2498, 接近壓縮極限-0.25.由此可見, 對于輸入壓縮光, 當壓縮角θ=0且頻率與腔模共振Δ′prc=0時, 輸出光的S1具有最小值, 且這最小值隨著輸入壓縮光的壓縮幅r的增大而減小, 并接近壓縮極限.

圖3 在輸入的探測光為壓縮光的情況下, 輸出光的線性部分的壓縮分量 S 1 隨有效探測-腔失諧量 Δ ′prc=ωpr-ωc′ 的變化, 探測壓縮光的壓縮角 θ 為 (a) 0, (b) π/4, (c) π/2 (d) 3π/4Fig.3.When the input probe light is squeeze light, the squeeze component S1 of the linear part of the output light varies with the effective detection-cavity detuning value (Δ ′prc=ωpr- ωc′).The squeeze angle of the probe light is (a) 0, (b) π/4, (c) π/2 (d) 3π/4.

當θ＞0 時, 見圖3(b)-圖3(d),θ分別為 π/4,π/2 和 3π/4, 輸出光的S1都變得大于 0.隨著θ的增加,S1的值也在增加.由于S1都大于0, 輸出光的X1不再具有壓縮性.

圖3中只討論了輸出光的X1的壓縮參量S1.對于輸出光的X2的壓縮參量S2, 計算的結果顯示輸出光的S2與S1的結果有一定的關聯, 也就是θ分 別 取 0, π/4, π/2 和 3π/4 時 的 S1與θ取 π,3π/4, π/2 和 π/4 時的 S2結果相等.話句話說, 輸入壓縮角為θ所得到的S1與壓縮角為(π-θ)得到的S2相同.所以只給出S1的結果.可見在考慮的4個壓縮角情況下, 只有當壓縮角為π的整數倍的輸入壓縮光產生的輸出光會存在壓縮.

接下來, 在考慮輸入探測光與腔模共振, 即Δ′prc=0, 且入射壓縮光的壓縮角固定為θ=0的情況下, 計算輸出光中的線性部分的壓縮量S1隨入射壓縮光壓縮幅r的變化, 結果如圖4所示.當輸入光壓縮系數r=0時也就是相關光入射, 輸出光的壓縮度也為0, 也是相干光.當輸入光壓縮系數增大時, 輸出光的S1小于0, 且S1的值隨著r的增大單調減小, 輸出光的壓縮增加了.繼續增加輸入光壓縮幅, 輸出光的S1趨向于穩定值-0.25, 接近壓縮極限.

圖4 輸出光的線性部分的壓縮量 S1 隨入射探測光的壓縮幅r的變化, 入射探測光的壓縮角為θ=0, 頻率與腔模共振Δ′prc=0Fig.4.The variation of the squeeze parameter S1 of the linear part of the output light with the squeeze amplitude r of the incident probe light, the squeeze angle of the incident probe light is θ=0, and the frequency is resonant with the cavity mode Δ ′prc=0.

最后討論輸出光中的非線性部分.固定入射探測壓縮光的壓縮角θ=0, 圖5計算了在不同壓縮幅r的情況下, 輸出光中的非線性部分的壓縮量S1隨探測光頻率的變化.

圖5 在不同入射壓縮光壓縮幅的情況下, 輸出光中的非線性部分的壓縮量 S 1 隨入射探測壓縮光頻率的變化.Δ′prc=ωpr- ωc′為探測光與腔模的頻率失諧Fig.5.The squeeze parameter S1 of the non-linear part of the output light varies with the frequency of the incident probe squeeze light in the case of different squeeze amplitudes of the incident squeeze light, Δ ′prc=ωpr- ωc′ is the frequency detuning between the probe light and the cavity mode.

由圖5可知, 輸出光的非線性部分的S1分量,在三極管正常工作的共振區域附近(Δ′prc=0)壓縮效果較好,S1值小于零且最小, 表示輸出光是振幅壓縮光.在失諧較大的情況下,S1分量變得大于零, 壓縮效果消失.r的取值對S1的極小值影響不大,r取1, 2或3時,S1的極小值均為- 0.5× 10-10,變化不大.但輸入光壓縮幅r的取值對輸出光S1分量小于零的頻帶寬度有影響, 當r=1時,S1分量小于零的頻帶最寬, 隨著r的增大,S1分量小于零的頻帶寬度會減小.但是輸出光的非線性部分的壓縮效果沒有輸出光中的線性部分的壓縮效果明顯.

以上介紹了本文的主要工作, 接下來談談可能的實驗實現.對于基于腔光力學系統的全光三極管, 2007年, Brennecke等[28]將BEC原子系綜導入并約束在光腔之中, 在外場的驅動下實現了系統的強耦合; 而2011年, Masse等[29]利用輻射壓力驅動一個納米機械諧振子, 在該實驗中, 通過添加20個量子噪聲來實現25 dB的信號放大, 輸入到微波腔的信號誘導相干受激發射, 實現了光信號放大.因此這種全光三極管是完全可行的, 并符合本文采用的理論描述.而對于輸出光壓縮性的測量,可以采用平衡零拍探測.其具體方法是通過對相位靈敏光學參量放大器注入的信號進行位相調制, 然后利用平衡零拍探測系統測量壓縮光, 將相位靈敏光學參量分別運轉在參量放大和參量縮小, 通過觀察噪聲譜中的調制信號就可確定測量的量子光場是正交振幅或位相分量[30].

5 結 論

本文研究了基于腔光力學系統的全光三極管的量子統計性質, 具體分析了在經典光作為抽運光, 三極管正常工作的情況下, 探測光用相干光和壓縮光輸入, 在相干光輸入時, 不論是考慮一階非線性項還是考慮三階非線性項, 輸出光的壓縮分量均為S1=0 ,S2=0.所以輸出光是正交分量的最小不確定度態.在壓縮光輸入時, 輸入光的振幅壓縮, 得到輸出光的振幅被壓縮.θ=0時,S1的最小值隨r的增大而減小, 最小值接近壓縮極限.當θ＞0時, 輸出光的S1小于0的部分已經基本消失.隨著θ的增加,S1的值也在增加, 輸出光的不確定度也在增加.這一結果在量子測量、弱信號檢測等領域有著潛在的應用價值.