藍失諧驅動下雙腔光力系統中的光學非互易性*

張利巍 李賢麗? 楊柳

1) (東北石油大學電子科學學院, 大慶 163318)

2) (哈爾濱工程大學自動化學院, 哈爾濱 150001)

1 引 言

非互易光學器件在光源和接收器調換位置后可以使光信號表現出不同的傳輸特性.由于其可以抑制多余的信號, 因此在量子信號處理和量子通信中有著重要的應用.例如, 在量子超導電路中它們可以保護信號源不被讀取器件發出的噪聲干擾[1].為實現光學非互易性, 時間反演對稱性破缺是必須的.傳統的非互易性光學器件都是依賴 強磁場去實現時間反演對稱性破缺[2].然而由于需要較強磁場, 這些傳統器件體積往往較大, 不便于微型化和集成化.近年來由于納米技術的進步, 使微納系統中光學現象得到廣泛研究[3-7].腔光力學系統中的光輻射壓力可以使系統呈現出各種有趣的量子現象.例如, 腔光力學系統中的量子糾纏[8-16], 力學振子的基態冷卻[17-21], 光力誘導透明[22-26]以及非線性效應[26-33]和聲子阻塞[34]等量子現象.最近,人們意識到光力耦合相互作用也可以產生光學非互易傳輸現象.例如通過光力相互作用可以產生非互易光學反應在理論上被預言[35-37], 并在實驗上得到證實[38-42].并在理論上指出如果采用適當的驅動場, 以力學模為中介的兩個腔模之間的態轉換可以是非互易的[43-45], 以及通過光力耦合相互作用可以實現信號非互易放大現象[46-48].在文獻[49,50]中, 理論上給出了通過光力相互作用可以實現非互易光子阻塞效應, 以及在文獻[51]中, 作者理論上指出通過光力相互作用可以實現非互易慢光.另外, 在文獻[52,53]中, 作者理論上預言了通過光力耦合可以實現聲子環形器和熱二極管.然而在大部分文獻當中人們常常采用紅失諧的驅動場和的非互易相位差去實現光學非互易性.

本文研究了在藍失諧驅動下, 在雙腔光力系統(如圖1所示)中如何實現光場的非互易傳輸.在此模型中, Li等[48]利用力學驅動機制實現了光的非互易放大, 并在紅失諧驅動下, 利用的非互易相位差去實現光學非互易性[43].實際上, 此系統中的光學非互易性源于光力耦合和腔模線性耦合的共同作用, 使從不同路徑傳輸的光信號之間產生干涉效應.本文根據此物理機理并由腔光力學中標準的光場輸入輸出關系, 得到了實現完美的非互易光傳輸條件.研究發現, 在系統中各耗散速率一定的情況下, 會有兩套耦合強度可以實現光學非互易傳輸, 并且即使在非互易相位差不為時系統依然可以實現完美光學非互易性.最后根據勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩態判據給出了系統在藍失諧驅動下的穩定條件.這些研究結果有望能應用于在光力系統中實現光頻隔離器、非互易態轉換等量子信息處理過程.

2 理論模型與主要公式

本文研究了一個雙腔光力學系統, 如圖1所示, 左右兩個光學腔與中間一個力學振子通過光力相互作用耦合;ci(ω0)和b(ωm)分別表示光學腔i和力學振子的湮滅算符(本征頻率);κi和γ分別表示光腔i和力學振子的弛豫速率.兩個頻率均為ωc(ωp)、振幅分別為εc和εd(εL和εR)的強驅動場(弱探測場) 分別從左右兩側射入并驅動腔模c1和c2.同時左右兩腔之間由線性相互作用相耦合,J為線性耦合強度.在相對驅動場頻率ωc做旋轉后, 系統的哈密頓量(?=1)可寫為

其 中Δc=ω0-ωc(Δ=ωp-ωc)為腔模 (探測場)與驅動場之間的失諧,gi為光學腔i與力學振子之間的單光子耦合常數.實際上, 此三模光力耦合系統在實驗上是可行的, 如在法布里-珀羅(Fabry-Pérot)腔中加入力學膜的實驗裝置, 見文獻[54-56].

圖1 雙腔光力學系統示意圖, 兩光學腔通過光力相互作用與一個力學振子相耦合, 振幅為 εc 和 εd (εL 和 ε R)的強耦合場 (探測場)分別從左右兩側驅動腔模 c1 和 c2 , 同時兩腔模之間存在線性耦合相互作用JFig.1.A two-cavity optomechanical system with a mechanical resonator interacted with two cavities.Two strong coupling fields (probe fields) with amplitudes εc and εd (εL and εR) are used to drive cavity c1 and c2 respectively.Meanwhile, the two cavities are linearly coupled to each other with coupling strength J.

根據海森伯-郎之萬方程, 由系統哈密頓量(1)式可得系統相關算符的運動方程為:

在沒有探測場時, 根據假設 〈bci〉=〈b〉〈ci〉 , 可以得出各算符的穩態平均值為:

其中G1=g1c1s,G2=g2c2se-iθ.由等式(3)可知,通過調節驅動εc和εd可以有效調節光力耦合g1c1s和g2c2s之間的非互易相位差θ(即調節驅動場εc和εd的強度和相位可以使c1s為實數, 而此時c2s的輻角便是非互易相位差θ).為簡化, 本文只討論相等耦合G1=G2=G和κ1=κ2=κ, 并 且 設G(J)＞0.本文討論藍失諧驅動, 即(Δ1≈ Δ2≈-ωm), 并假設力學振子頻率ωm遠大于耦合強度G, 則方程(4)可以化簡為

由νin的形式可以假設方程(5)的解具有 δs=δs+e-ixt+ δs-eixt(s=b,c1,c2)的形式, 經計算可得

其中γx=γ-2ix,κx=κ-2ix,δs-=0.

系統產生光學非互易性的物理根源是時間反演對稱發生破缺, 這點也可從(5)式看出, 運動方程(5)式對應的系統等效哈密頓量為Heff=Gδc1δb+當θ=nπ (n為 整數)時, 時間反演算符T與等效哈密頓算符Heff不對易, 即 [T,H]=0.為研究系統的光學非互易性,首先必須要求出系統左右兩側的輸出光場和.輸出場可由光力學中的輸入輸出關系[57,58]得出, 即

3 完美光學非互易性

當系統呈現出完美的光學非互易性時, 傳輸振幅Ti→j(i,j=L,R)應滿足

完美非互易性就意味著信號可以從系統的一側完全傳輸到另一側, 而另一側的信號卻一點也不可以傳輸過來.(10)式和(11)式代表光頻隔離的兩個不同的方向.本文只討論(10)式, 因為對(11)式的討論是類似的.下標表示沒有信號從右側/左側輸入.我們將忽略這些下標, 因為一般來說完美非互易性只討論單側輸入的情況, 并且為方便將Ti→j簡寫為Tij.

由(7)式和(9)式可得輸出場為

由(12)式可以看出, 當非互易相位差θ=nπ (n為整數)時, 兩輸出場相等, 這說明光子傳輸是互易的.而當θ=nπ 時, 兩輸出場不再相等, 即系統呈現出光學非互易性.由(12)式可看出系統的非互易性來源于光力耦合相互作用G和腔模線性耦合相互作用J之間的量子相干效應.由(12)式可得出(10)式成立時失諧x和線性耦合強度J必須滿足的條件為:

把(13)式中的J代入(14)式中, 得到

由(10)式和(15)式, 可以得出系統出現完美非互易性時, 耦合強度G和J必須滿足:

由于系統處于藍失諧驅動下, 在某些條件下系統會不穩定.系統要穩定, 矩陣M(見(6)式)的本征值一定具有負實部.根據勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩態判據[59], 可以得出具體的穩定條件如下:

系統所有的參數必須滿足(17)式.由(17)式可知,當耦合G=G-時, 系統始終都是穩定的, 而當G=G+時, 系統參數只有滿足以下條件時系統才是穩定的:

4 結 論

本文研究了雙腔光力學系統在藍失諧驅動下的光學非互易性.由系統中的光力耦合相互作用G和腔模線性耦合相互作用J之間的量子相干效應, 在某些條件下, 可以使系統呈現出完美的光學非互易現象.首先研究了非互易相位差的情況, 研究發現, 當系統中各耗散速率(力學耗散速率γ和腔模耗散速率κ)一定的情況下, 會有兩組耦合強度(G=G±和J=J±)均可使系統出現完美非互易性.由于系統處于藍失諧驅動下, 會使系統出現非穩現象, 根據勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩態判據我們給出了系統的穩定條件,這種非穩現象也表現為非互易傳輸譜線會出現增益現象(譜線幅值大于1).我們還發現當γ?κ時,非互易傳輸譜線的線寬 Δω∝γ, 即當力學振子耗散速率很小時, 非互易傳輸譜線將會變得很狹窄.最后研究了更一般的非互易相位差的情況并給出了實現完美非互易傳輸的必要條件.這些研究結果有望能應用于光力系統中量子態轉換、非互易傳輸等量子信息處理過程.