“數數”求源，叩問本質

王嬋丹

運算律是運算固有的性質，在數系的擴展中，自然數的“基本運算律”始終保持有效;它又是學生理解算理的重要依據，也是滲透“猜想→驗證→結論”這一數學研究方法的載體。可見，運算律在數學學習中具有重要的地位和作用。縱觀歷來的運算律教學，可能會在運算律的“有用性”上花較多的時間，但對于“什么是交換律”“交換律為什么存在”“背后的道理是什么”，很少去揭示。

因此，課前可以先思考兩個問題：是納入“簡算”體驗，還是深化運算律本質的理解？是只學加法、乘法交換律，還是需要去求證減法、除法交換律？如果側重于“簡便計算”教學，就會忽視對運算律教學的核心，即忽視對運算律本身的理解;如果只教學加法交換律，就無法順應學生的思考過程。筆者對60位學生在只教學加法交換律后進行過測試，有93.3%的學生能聯想到在其他運算中會不會也有交換律。因此，教學時需要站在加法交換律的基礎上讓學生經歷類推的過程，在舉例、證明、辯論等活動中真正理解乘法交換律，并否定除法交換律和減法交換律的存在。

一、交換律背后的道理是什么？

既然明確了交換律作為運算教學的第一課時，需要讓學生清晰概念的核心。那么，交換律的本質到底是什么？

1. 數學上的證明

數學上，對于交換律通常是從“集合的概念”來解釋的。設A和B是兩個不具有公共元素的有限集合，他們的基數分別是a和b，把A和B的元素并在一起組成一個集合C，C叫作集合A和B的并集，記作A∪B=C，C的基數是c，叫作a、b的和，記作a+b=c [1]。顯而易見，此證明方法抽象難懂，它超出了學生的認知水平，不合適向學生講授。

2. 學生能理解的證明

自然數加法的意義的本源就是“集合的概念”，張奠宙教授曾在訪談中指出：“集合的概念”說白了，就是“數數”，可以用“數數”這樣一種行為性的操作活動來形成自然數的概念。簡單地說，有A、B兩堆石子，先數A堆再數B堆，還是先數B堆再數A堆，結果都是一樣的 [2]。可見，簡單的“數數”活動，形象直觀地闡述了“兩個集合合并”的概念，是揭示交換律背后道理的有效數學活動。

其實，對于“數數”與“合并求和”的經驗，學生是非常豐富的。人教版一年級上冊教材就是用“接著數”理解加法含義的。二年級100以內、三年級萬以內的加法教學都滲透著“兩個自然數的加法與把兩個有限集合并成一個集合這兩種運算之間的聯系”。可見，從學生已有的“加法、乘法意義”出發，借用“數數”，是一條小學生能理解的、合理的證明途徑。

二、交換律學習素材該怎樣選擇？

既然學生已有豐富的“數數”經驗，那么選擇哪類素材展開“數數”活動，更利于學生感悟其背后的道理呢？

1. “點子”數數→“數線”數數，更顯直觀

在人教版二年級上冊乘法口訣練習課中出現了兩種不同的“數數”表征方式。通過“橫著數、豎著數”與在“數線”上數數來熟練口訣。無論是“點子”數數還是“數線”數數，其實都是想通過“直觀”方式，詮釋“合并”的意義。但相比較“點子”數數，“數線”上的數數具有方向性，更能讓學生體會到“合并的結果與兩數的位置無關”這一本質。

2. “線段”模型→“數線”數數，更顯本質

數學上，在定義有理數的加法時，用“拼接而成的線段的長度”進行解釋。也就是說，如果給定有限條線段，把它們拼接而成的線段的長度與它們拼接的順序無關。用學生熟知的“數線”模型對接“線段”模型，更能凸顯交換律的本質。

三、交換律課堂教學該如何實踐？

那么，如何借“數數”活動，架起“自然數的加法”與“集合的概念”聯系，從而觸及交換律背后的道理？筆者結合課堂實踐從三條策略上進行闡述。

1. 多層“數數”，直觀感知

【片段描述】

第一層：形成“數數”過程。

師：小袋鼠跳格子比賽，結果會怎樣？你是怎樣想的？

生1：聰聰先跳了2格，又跳了5格，是2+5=7格;明明先跳了5格，又跳了2格，是5+2=7格。它們都跳到了7的位置，所以它們的結果是一樣的。

生2：2和5位置反了一下，答案是一樣的。

第二層：豐富“數數”素材。

師：如果想知道一共有多少元錢，一共有多少根小棒，你能不能通過數一數與算一算，發現與剛才差不多的現象？

第三層：“列舉”形成猜想。

師：通過“算”與“數”我們發現了“交換兩個加數的位置，和不變”這一規律。那我們能不能說，交換所有加數的位置，和一定不變？為什么？

生1：萬一數字很大呢，可能就不能確定了。

生2：我們不知道下一個加數會是什么樣子的，所以不能下這個結論。

從三層“數數”中，學生的思維經歷了“初步感悟、模仿應用、列舉猜想”的過程。尤其到了第三層“數數”，學生的表征形式豐富多樣，有圖、有式，還涉及小數、分數加法領域的驗證。可見，學生在經歷多次“數數”的過程中，已經初步體會到了運算律的廣泛適用性，這也是學生對運算本質理解的一個直觀表現。

2. 對比“數數”，凸顯本質

【片段描述】

師：通過舉例驗證我們知道了加法與乘法中有交換律。那為什么會有這樣的現象呢？讓我們再回到數軸上去“數一數”。

生1：加法與乘法的箭頭都是朝一個方向的，最后都到了同一個地方。

生2：其實乘法是加法的一種。所以，乘法里也有交換律。

生3：在加法中，無論是2在前，還是4在前，反正都是把兩個數合起來，跟2和4的位置沒有關系。所以，位置交換了一下，結果是不會變的。

生4：我同意他的想法，加法與乘法都是把幾個數合并起來，跟位置沒有關系，所以加法與乘法中有交換律。

當學生發現只有在加法與乘法中有交換律后，需要再一次回到“數線”上去表征“運算中的交換關系”，再經歷數數、觀察、對比、發現、歸納等學習活動，去領悟“自然數加法概念”的含義，并嘗試著去說明白其中的道理。經歷這樣的“對比”數數，學生已經架構起了“兩個自然數的加法與把兩個有限集合并成一個集合”這兩種運算之間的聯系。

3. 回顧“遇見”，深化理解

【片段描述】

第一層：回顧解釋。

生：加法與乘法的驗算，用到了交換律的知識。一年級學過根據“點子圖”寫加法算式，也有加法交換律。

第二層：拓展說理。

師：老師找到了幾個新問題，你能在這兒發現交換律嗎？

生1：可以先收38元，再收53元;也可以先收53元，再收28元。反正把這兩部分的錢合起來，先收哪個部分都沒有關系。

師：如果還想再買個排球呢？可以怎樣收費呢？不是說交換兩個加數的位置，和不變，現在交換三個加數的位置，和也不變嗎？你是怎樣想的？

生3：我認為，這和收“足球與籃球的錢”是一樣的。只要是把這三個價錢合并起來，前后的位置、先后的順序，都不會影響結果。

在課的最后環節安排回憶舊知，談談最初的遇見，這激活了這些數學化的“交換”體驗，能讓學生進一步了解交換律。當學生有了這層“親切”的感知后，再呈現上學路線、黑白點子、超市購物的情境，讓他們再“想想”交換律、再“用用”交換律、再“說說”交換律，在引導學生經歷發現、觀察、提煉蘊藏的交換律后，進一步深化學生對交換律的認知，進一步理解了交換律存在的價值。

參考文獻：

[1]? 余元希. 數的概念淺說[M]. 上海：上海教育出版社，1980.

[2]? 張奠宙，戎松魁.正本清源，通過“數數”活動理解運算律——關于加法和乘法交換律的討論[J]. 教學月刊小學版（數學），2015（6）.