對一道練習(xí)題的多解思考及教學(xué)展望

劉春云

[摘? 要] 如何把一道題講透，真正體現(xiàn)該題應(yīng)有的價值，需要教師在課堂上讓各種個性化的解題方法一一呈現(xiàn). 不僅如此，教師還應(yīng)在解題教學(xué)之后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)幾何模型，總結(jié)經(jīng)驗得失，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力.

[關(guān)鍵詞] 練習(xí)題;多解思考;解題教學(xué)

很多教師都有過這樣的經(jīng)歷：受到某種啟示后，引起教學(xué)反思，產(chǎn)生教學(xué)頓悟，從而促進(jìn)教學(xué)改進(jìn). 近期，筆者對一道有關(guān)圓的練習(xí)題進(jìn)行講評時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生中出現(xiàn)了多種解法，而且有不同解法的同學(xué)都非常積極地想與大家分享自己的“高見”. 見同學(xué)們熱情高漲，筆者索性留時間讓他們盡情發(fā)揮. 盡管原計劃講評的內(nèi)容沒有完成，但課后想想，本節(jié)課的收獲還是滿滿的，而且對今后的教學(xué)也有了進(jìn)一步的展望.

題目呈現(xiàn)

解法展示與思考

思考? 解法一、解法二和解法三均是把AB作為一個整體，先求線段AB，再求線段BE，這是絕大部分學(xué)生采用的方法. 其中解法一和解法二是把線段AB作為三角形的邊，通過尋找（或連線構(gòu)造）一對相似三角形來求解. 解法一是從復(fù)雜圖形中分解出圖9，即相似中的基本圖形“母子三角形”;解法二是構(gòu)造出圖10，即相似中的基本圖形“斜交相似”;而解法三是利用垂徑定理來求弦AB，這里又可以用等積法或相似三角形的性質(zhì)來解決，其中等積法是求直角三角形斜邊上的高的常規(guī)方法，而相似解法是構(gòu)造出圖11，即從整體圖形中分解出相似的基本圖形“雙直角三角形”. 采用解法四或解法五的同學(xué)，是把目光直接聚焦在線段BE上，運用的學(xué)生較少，其中解法四是通過作垂線段，把BE分成兩段來間接求，過程中既運用了相似的有關(guān)知識，又運用了特殊銳角三角函數(shù)的知識;解法五是把BE付諸在△CBE中，連線構(gòu)造了一個與之相似的△AME，從而得以解決. 運用此方法的學(xué)生是受“圓周角定理”一節(jié)課的一道證結(jié)論為“AE·BE=ME·CE”的例題的啟發(fā)，有效添線，巧妙解決的. 無論是解法四還是解法五，都能構(gòu)造出相似的基本圖形“8字形”，見圖12和圖13.

教學(xué)展望

1. “幾何圖形到幾何模型的抽象”是幾何教學(xué)的常規(guī)思路

幾何問題的研究離不開對幾何模型的抽象和提煉，而幾何模型掌握得越多，解決數(shù)學(xué)問題的方法和途徑也就越豐富. 這就要求我們一線教師在平時的教學(xué)中，要不斷地引導(dǎo)學(xué)生自主經(jīng)歷抽取幾何模型、運用幾何模型的過程，并鼓勵每位學(xué)生凸顯自己的特點，形成屬于自己的幾何模型. 該題中，我們可以抽象出的幾何模型有：勾股定理、等腰直角三角形、“三角形中已知兩邊及一特殊角，可以求其余線段”、相似基本圖形中的“母子三角形”“斜交相似”“雙直角三角形”“8字形”、利用垂徑定理求弦長、等積法求直角三角形斜邊上的高、相交弦定理（盡管此說法沒跟學(xué)生提，但結(jié)論可以引導(dǎo)學(xué)生熟記）.

2. “幾何直觀到幾何推理的過渡”是幾何教學(xué)的關(guān)鍵過程

相似是幾何中非常重要的一類解題工具，它能跟圓、直角三角形、函數(shù)、動點、類比探究等問題相結(jié)合，出現(xiàn)在中考壓軸題中，考查學(xué)生綜合運用知識的能力. 而且，物理光學(xué)、力學(xué)的學(xué)習(xí)，實際生活中的很多地方（如測量、繪圖等）也需要用到相似這一工具，其重要性可見一斑. 本題不是壓軸題，若相似基礎(chǔ)打得扎實，解決起來還是輕而易舉的，也就不會出現(xiàn)班級中少部分學(xué)生對第（2）問無從下手的現(xiàn)象. 因此，今后教學(xué)“相似三角形”這章時，教師還是應(yīng)放慢腳步，幫學(xué)生踏踏實實地把相似的基礎(chǔ)夯實. 相似是全等的拓展與延伸，從全等三角形到相似三角形，是一個從特殊到一般的過程，也是學(xué)生認(rèn)識上的一個飛躍. 全等三角形因為圖形大小一樣，從直觀上也能猜出個大概，而相似三角形則不同，從直觀上不容易看出來，需要借助空間想象能力，再通過邏輯推理才能證明出來. 從這個角度來說，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)在學(xué)生能力的培養(yǎng)上舍得花時間、下功夫，要著重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，這也會為學(xué)生今后高中學(xué)習(xí)立體幾何知識打下良好的基礎(chǔ)，實現(xiàn)初高中知識的有效銜接.

3. “分析問題本質(zhì)到提煉解題通法”是解題教學(xué)的基本策略

在本題的幾種不同解法中，我們可以看到問題的切入點不盡相同，為了求某條線段的長，有的直接求，有的間接求（或由兩線段之差得到，或由兩線段之和得到）. 但是，縱觀以上多種解法，盡管方法多種多樣、精彩紛呈，但究其本質(zhì)，都離不開一個宗旨：線段是三角形的基本元素，要求線段，必先構(gòu)造三角形. 因此，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)方法的過程中，揭示問題的本質(zhì)，提煉解題的通法.

4. “多視角思考到最優(yōu)化解決方案”是解題教學(xué)的高效手段

多視角思考、多途徑解決問題，可以拓寬學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和融合性，使學(xué)生的思維，角度更多，范圍更廣. 從不同角度思考解題方案，既能挖掘?qū)W生的潛能，使課堂氣氛熱烈，又能增強學(xué)生的合作學(xué)習(xí)意識，還可以總結(jié)出更加簡潔的解題方案. 長此以往，定可以讓學(xué)生的思維向最優(yōu)路徑收斂. 在不斷的經(jīng)驗積累中，學(xué)生能逐步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，解題教學(xué)也會從有效走向高效.