對一道練習題的多解思考及教學展望

劉春云

[摘? 要] 如何把一道題講透，真正體現該題應有的價值，需要教師在課堂上讓各種個性化的解題方法一一呈現. 不僅如此，教師還應在解題教學之后，引導學生總結幾何模型，總結經驗得失，逐步提高學生的數學素養和數學能力.

[關鍵詞] 練習題;多解思考;解題教學

很多教師都有過這樣的經歷：受到某種啟示后，引起教學反思，產生教學頓悟，從而促進教學改進. 近期，筆者對一道有關圓的練習題進行講評時，發現學生中出現了多種解法，而且有不同解法的同學都非常積極地想與大家分享自己的“高見”. 見同學們熱情高漲，筆者索性留時間讓他們盡情發揮. 盡管原計劃講評的內容沒有完成，但課后想想，本節課的收獲還是滿滿的，而且對今后的教學也有了進一步的展望.

題目呈現

解法展示與思考

思考? 解法一、解法二和解法三均是把AB作為一個整體，先求線段AB，再求線段BE，這是絕大部分學生采用的方法. 其中解法一和解法二是把線段AB作為三角形的邊，通過尋找（或連線構造）一對相似三角形來求解. 解法一是從復雜圖形中分解出圖9，即相似中的基本圖形“母子三角形”;解法二是構造出圖10，即相似中的基本圖形“斜交相似”;而解法三是利用垂徑定理來求弦AB，這里又可以用等積法或相似三角形的性質來解決，其中等積法是求直角三角形斜邊上的高的常規方法，而相似解法是構造出圖11，即從整體圖形中分解出相似的基本圖形“雙直角三角形”. 采用解法四或解法五的同學，是把目光直接聚焦在線段BE上，運用的學生較少，其中解法四是通過作垂線段，把BE分成兩段來間接求，過程中既運用了相似的有關知識，又運用了特殊銳角三角函數的知識;解法五是把BE付諸在△CBE中，連線構造了一個與之相似的△AME，從而得以解決. 運用此方法的學生是受“圓周角定理”一節課的一道證結論為“AE·BE=ME·CE”的例題的啟發，有效添線，巧妙解決的. 無論是解法四還是解法五，都能構造出相似的基本圖形“8字形”，見圖12和圖13.

教學展望

1. “幾何圖形到幾何模型的抽象”是幾何教學的常規思路

幾何問題的研究離不開對幾何模型的抽象和提煉，而幾何模型掌握得越多，解決數學問題的方法和途徑也就越豐富. 這就要求我們一線教師在平時的教學中，要不斷地引導學生自主經歷抽取幾何模型、運用幾何模型的過程，并鼓勵每位學生凸顯自己的特點，形成屬于自己的幾何模型. 該題中，我們可以抽象出的幾何模型有：勾股定理、等腰直角三角形、“三角形中已知兩邊及一特殊角，可以求其余線段”、相似基本圖形中的“母子三角形”“斜交相似”“雙直角三角形”“8字形”、利用垂徑定理求弦長、等積法求直角三角形斜邊上的高、相交弦定理（盡管此說法沒跟學生提，但結論可以引導學生熟記）.

2. “幾何直觀到幾何推理的過渡”是幾何教學的關鍵過程

相似是幾何中非常重要的一類解題工具，它能跟圓、直角三角形、函數、動點、類比探究等問題相結合，出現在中考壓軸題中，考查學生綜合運用知識的能力. 而且，物理光學、力學的學習，實際生活中的很多地方（如測量、繪圖等）也需要用到相似這一工具，其重要性可見一斑. 本題不是壓軸題，若相似基礎打得扎實，解決起來還是輕而易舉的，也就不會出現班級中少部分學生對第（2）問無從下手的現象. 因此，今后教學“相似三角形”這章時，教師還是應放慢腳步，幫學生踏踏實實地把相似的基礎夯實. 相似是全等的拓展與延伸，從全等三角形到相似三角形，是一個從特殊到一般的過程，也是學生認識上的一個飛躍. 全等三角形因為圖形大小一樣，從直觀上也能猜出個大概，而相似三角形則不同，從直觀上不容易看出來，需要借助空間想象能力，再通過邏輯推理才能證明出來. 從這個角度來說，初中數學教師應在學生能力的培養上舍得花時間、下功夫，要著重培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力，這也會為學生今后高中學習立體幾何知識打下良好的基礎，實現初高中知識的有效銜接.

3. “分析問題本質到提煉解題通法”是解題教學的基本策略

在本題的幾種不同解法中，我們可以看到問題的切入點不盡相同，為了求某條線段的長，有的直接求，有的間接求（或由兩線段之差得到，或由兩線段之和得到）. 但是，縱觀以上多種解法，盡管方法多種多樣、精彩紛呈，但究其本質，都離不開一個宗旨：線段是三角形的基本元素，要求線段，必先構造三角形. 因此，在解題教學中，教師應引導學生在總結方法的過程中，揭示問題的本質，提煉解題的通法.

4. “多視角思考到最優化解決方案”是解題教學的高效手段

多視角思考、多途徑解決問題，可以拓寬學生的思路，培養學生思維的發散性和融合性，使學生的思維，角度更多，范圍更廣. 從不同角度思考解題方案，既能挖掘學生的潛能，使課堂氣氛熱烈，又能增強學生的合作學習意識，還可以總結出更加簡潔的解題方案. 長此以往，定可以讓學生的思維向最優路徑收斂. 在不斷的經驗積累中，學生能逐步提高數學素養和數學能力，解題教學也會從有效走向高效.