關(guān)注圓類問題，突破知識(shí)聯(lián)系

陳文峰

[摘? 要] 圓作為初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)圖形之一，具有很強(qiáng)的識(shí)別性，中考對(duì)其內(nèi)容的考查常從知識(shí)聯(lián)系角度進(jìn)行，求解時(shí)需要準(zhǔn)確把握?qǐng)D形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，依據(jù)知識(shí)聯(lián)系開展合情推理. 文章對(duì)圓類考題進(jìn)行總結(jié)探討，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 圓;位置;面積;函數(shù);最值

圓類考題是中考數(shù)學(xué)的重要題型之一，該類考題具有知識(shí)聯(lián)系性強(qiáng)、類型多、解法思路獨(dú)特等特點(diǎn)，求解時(shí)除了需要充分利用圓的性質(zhì)和定理外，還需要掌握模型構(gòu)建的策略. 下面筆者將深入探索幾種圓類問題，并開展相應(yīng)的教學(xué)探討.

圓類問題的常見類型

1. 關(guān)注圓與直線的位置關(guān)系

對(duì)于圓與直線的位置關(guān)系的考題，難點(diǎn)在于用數(shù)學(xué)語言描述其位置關(guān)系，以及探索出因位置關(guān)系引起的相應(yīng)變化. 解決此類問題時(shí)，要利用相應(yīng)的公式、定理，將條件串聯(lián)起來.

方法點(diǎn)撥直線與圓的位置關(guān)系無非三種，即相切、相離和相交，難點(diǎn)在于相交與相切這兩種關(guān)系的判斷，常用的方法有兩種：一是代數(shù)法，即構(gòu)建圓與直線的聯(lián)解方程，通過討論方程解的個(gè)數(shù)加以判斷;二是幾何法，通過求解圓心到直線的距離，并將其與圓的半徑比較，從而得到結(jié)論. 另外，還可以從幾何構(gòu)造的角度進(jìn)行分析，即在交點(diǎn)處構(gòu)建幾何模型，通過求解相應(yīng)的角度來加以判斷.

2. 關(guān)注圓類問題中的面積

圓作為幾何中較為特殊的圖形，求解與其相關(guān)的面積問題時(shí)往往有一定的難度. 求解時(shí)，不僅需要求圓弧的半徑，還需要求得相應(yīng)的圓心角的度數(shù)，尤其是與圓相結(jié)合的復(fù)合圖形的面積求解，因無法直接利用面積公式，所以很容易造成學(xué)生思維停滯. 實(shí)際上，求解此類問題往往需要采用割補(bǔ)的方法，巧妙地將所求圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形的組合.

方法點(diǎn)撥與圓有關(guān)的陰影部分面積問題，圖形雖然較為復(fù)雜，但從圖形組合的角度來看，可以將其視為規(guī)則圖形的組合，因此可采用面積割補(bǔ)的方法來求解. 對(duì)于雙重復(fù)合圖形，則可以考慮多次運(yùn)用割補(bǔ)法，直到將其拆解為規(guī)則的圖形. 求解時(shí)，需要準(zhǔn)確地利用扇形的面積公式，注意與弧長(zhǎng)公式相區(qū)別.

3. 關(guān)注圓與三角函數(shù)的綜合

初中講解三角函數(shù)時(shí)，是將其放在直角三角形中，利用直角三角形邊的長(zhǎng)的比值來加以詮釋的，因此，對(duì)于圓與三角函數(shù)的綜合題，同樣需要借助直角三角形來構(gòu)建模型，以獲得其中關(guān)鍵線段的長(zhǎng). 而對(duì)于求解圖形中的三角函數(shù)，則需要逆向思考，構(gòu)建直角三角形模型，將問題轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)，從而獲得答案.

方法點(diǎn)撥例3借助三角函數(shù)值求解圓類考題中的線段長(zhǎng)，分析求解過程可知，在圖形中構(gòu)建直角三角形，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為圖形中邊的長(zhǎng)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵. 直角三角形構(gòu)建的方式有很多，但在構(gòu)建時(shí)需要結(jié)合具體的情形，盡量聯(lián)系已知線段.

4. 關(guān)注圓中的線段最值

考查圓時(shí)，試題常與其他幾何圖形相結(jié)合，因此圓類問題具有很強(qiáng)的綜合性，涉及眾多的幾何參數(shù)，如角、線段、點(diǎn)等，有時(shí)研究幾何線段常從最值角度進(jìn)行考查，即以線段長(zhǎng)為基礎(chǔ)，要求學(xué)生結(jié)合圓的公式、定理等來探求線段的最值.

方法點(diǎn)撥例4是與圓有關(guān)的線段最值問題，由于動(dòng)點(diǎn)在圓弧上，所以造成了線段長(zhǎng)的變化. 分析此類問題時(shí)，需要充分應(yīng)用圓上各點(diǎn)到圓心距離均相等的特性，利用點(diǎn)與圓心的連線來完成最值位置的確定.

圓類問題的教學(xué)建議

圓的知識(shí)內(nèi)容具有很強(qiáng)的包容性，上述只是其中的幾種典型代表，無論是探討位置關(guān)系、復(fù)合面積，還是研究三角函數(shù)、線段最值，都需要從基礎(chǔ)知識(shí)入手，把握知識(shí)聯(lián)系，構(gòu)建完整的條件鏈，這是解題的基本策略. 下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出幾點(diǎn)建議.

1. 關(guān)注圓的基礎(chǔ)內(nèi)容教學(xué)

圓類問題的求解基礎(chǔ)是充分掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)，考慮到圓與其他棱角類圖形有鮮明的差異，所以在學(xué)習(xí)時(shí)首先需要引導(dǎo)學(xué)生掌握?qǐng)A構(gòu)建的條件（不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓），然后指導(dǎo)學(xué)生掌握?qǐng)A的幾何元素和關(guān)鍵內(nèi)容（圓心、半徑、直徑、周長(zhǎng)和面積等），最后從幾何證明角度幫助學(xué)生理解圓的相關(guān)定理及推論（垂徑定理、圓心角定理等）. 圓的知識(shí)內(nèi)容較多，具有一定的層次性，因此教學(xué)中教師要注意加以分類，構(gòu)建相應(yīng)的知識(shí)體系，逐步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圓的理解.

2. 關(guān)注圓類問題的輔助線添加

中考對(duì)圓的考查常從知識(shí)綜合的角度進(jìn)行，圖形相對(duì)較為復(fù)雜，因此求解考題的關(guān)鍵一步是依據(jù)條件添加輔助線，構(gòu)建相應(yīng)的解題模型. 輔助線添加得是否合理，將直接影響問題的簡(jiǎn)化程度，以及論證表述是否簡(jiǎn)潔. 實(shí)際上，添加輔助線的過程就是對(duì)考題結(jié)構(gòu)透析的過程，是構(gòu)建條件與問題聯(lián)系的過程，該過程需要教師采用合理的方式來引導(dǎo). 教師在教學(xué)中要注重幾何直觀性的講解，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何圖形的特征、結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察、總結(jié)，并展開合理的聯(lián)想，逐步探索解決問題的方案，使學(xué)生逐步掌握輔助線添加的方法，形成完整的構(gòu)建思路.

3. 關(guān)注圓類問題的思想滲透

圓類綜合題求解的背后是思想方法的解題指導(dǎo)，無論是模型的構(gòu)建，還是問題的轉(zhuǎn)化，都是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的，即思想指明方向，思想決定思路. 因此，要從根本上提升學(xué)生的解題能力，就需要在教學(xué)中不斷地滲透數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生掌握運(yùn)用思想方法構(gòu)建解題思路的策略. 數(shù)學(xué)思想是相對(duì)抽象的概念，在實(shí)際教學(xué)中，需要教師結(jié)合具體的內(nèi)容，遵從特定的知識(shí)規(guī)律和方法基礎(chǔ)，如拋物線內(nèi)容的數(shù)形對(duì)照，代數(shù)解題的方程構(gòu)建，抽象問題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等，并通過具體的內(nèi)容講解，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)運(yùn)用的步驟和技巧，深刻感受思想方法解題的思維之美、簡(jiǎn)約之美.

總之，圓類綜合題是基于知識(shí)聯(lián)系所構(gòu)建的，求解的關(guān)鍵是利用基礎(chǔ)知識(shí)構(gòu)建條件與問題之間的聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)化，巧妙建模. 整個(gè)求解過程要注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，以圓類知識(shí)作為解題思路的生長(zhǎng)點(diǎn)，植入思想方法，探尋知識(shí)融合.