高慧明老師講數學(1)
——以導數綜合運用為主的壓軸選擇題

■北京市第十二中學

從高中數學內容來看,利用導數研究可導函數的單調性,求可導函數的極值和最值,以及用導數解決實際應用題是導數在中學數學中的主要應用。從高考數學試題來看,高考對導數的考查加強了試題的綜合性和應用性,由此可見,導數成了解題中必不可少的工具,所以導數的應用也成為久考不衰的考點。

類型一、利用導數的幾何意義處理切線問題

例1 已知k,b∈R,設直線l:y=k x+b是曲線y=ex+x的一條切線,則( )。

A.k＜1且b≤1 B.k＜1且b≥1

C.k＞1且b≤1 D.k＞1且b≥1

解析：曲線y=ex+x的導數為y'=ex+1＞1,得k＞1;直線l:y=k x+b在y軸上的截距為b,對于曲線y=ex+x,當x=0時,y=1,可以知道b≤1。故選C。

評注：利用導數處理切線問題,注意三個條件的運用：設切點M(x0,y0),則切線斜率為k=f'(x0),切點坐標滿足切線方程。但值得注意的是“曲線過某點的切線方程”與“該曲線在某點處的切線方程”是有區別的。

相關鏈接1.已知直線2x-y+1=0與曲線y=aex+x相切(其中e為自然對數的底數),則實數a的值是( )。

A.e B.2 e C.1 D.2

解析：對y=aex+x求導可得y'=aex+1,則切線的斜率令可得則函數在點處的切線方程為,整理得,結合題中所給的切線,所以a=1。

類型二、利用導數研究函數的單調性

例2 若函數在區間上單調遞減,則實數a的取值范圍是( )。

解析：因為f'(x)=x2-a x+1,由題設知x2-a x+1≤0在上恒成立,故解得

評注：恒成立問題的兩種常見解題思路：①參變分離;②構造函數。由導數在單調性上的應用知,已知條件可轉化為f'(x)≤0恒成立,經過參變分離轉化為求函數的最值問題。

相關鏈接2.已知函數f(x)=ex+e2-x,若關于x的不等式[f(x)]2-a f(x)≤0恰有3個整數解,則實數a的最小值為( )。

解析：因為f(x)=ex+e2-x＞0,所以[f(x)]2-a f(x)≤0,等價于f(x)-a≤0,即f(x)-a≤0恰有3個整數解,即f(x)≤a有3個整數解。因為=2 e,當a=1時,不等式無解;當a=2 e時,不等式只有一個整數解1,排除選項A,B。當a=e2+1時,由f'(x)＜0可得f(x)在(-∞,1)上遞減,由f'(x)＞0可得f(x)在(1,+∞)上遞增,f(0)=e2+1≤a,x=0合題意;x＜0時,f(x)＞a,不等式無解;f(1)=2 e＜a,x=1合題意;f(2)=e2+1≤a,x=2合題意,當x＞2時,f(x)＞a,不等式無解。故a=e2+1時,有且只有3個整數解。又因為,所以a的最小值為e2+1。

類型三、利用導數求函數的極值和最值

例3 若函數-alnx存在唯一的極值,且此極值不小于1,則a的取值范圍為( )。

解析：對函數求導得到f'(x)=x-1+,因為函數存在唯一極值,所以導函數存在唯一的零點,且零點大于0,故得到x=1是唯一的極值,此時

評注：(1)利用導數求函數的極值,先求f'(x)=0的根x0,再和函數的定義域比較,如果落在定義域外或者落在定義域端點,此時函數單調,無極值;當落在定義域內時,將定義域分段,分別考慮x0兩側導數是否異號,從而判斷是否有極值。(2)利用導數求函數的最值,先求f'(x)=0的根x0,如果落在定義域外或者落在定義域端點,此時函數單調,利用單調性求最值;當落在定義域內時,將定義域分段,分別考慮x0兩側導數是否異號,從而判斷函數的大致圖像,進而來求最值。

相關鏈接3.若實數a滿足方程lnx+x-2=0,實數b滿足方程ex+x-2=0,則函數的極值之和為( )。

解析：依題意,a是與y=2-x交點的橫坐標,b是y=ex與y=2-x交點的橫坐標,因y=lnx與y=ex互為反函數,故圖像關于y=x對稱,由解得x=y=1,故a+b=2。由于y=xln|x|為奇函數,故極值點關于原點對稱。當x＞0時令,解得極值為;當x＜0時,同理求得極值為a+b。故兩個極值之和為2(a+b)=2×2=4。

歸納領悟：

1.與導數幾何意義有關問題的常見類型及解題策略。

(1)已知切點求切線方程:①求出函數y=f(x)在點x=x0處的導數,即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率;②由點斜式求得切線方程為y-y0=f'(x0)·(x-x0)。

(2)已知斜率求切點:已知斜率k,求切點(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k。

(3)求切線傾斜角的取值范圍:先求導數的取值范圍,即確定切線斜率的取值范圍,然后利用函數的單調性解決。

2.求解或討論函數單調性問題的解題策略。

討論函數的單調性其實就是討論不等式的解集的情況。大多數情況下,這類問題可以歸結為一個含有參數的一元二次不等式的解集的討論:

(1)在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時,依據根的大小進行分類討論。

(2)在不能通過因式分解求出根的情況時,根據不等式對應方程的判別式進行分類討論(討論函數的單調性是在函數的定義域內進行的,千萬不要忽視定義域的限制)。

3.利用導數研究函數極值、最值的方法。

(1)若求極值,則先求方程f'(x)=0的根,再檢查f'(x)在方程根的左右兩側函數值的符號。

(2)若已知極值大小或存在情況,則轉化為已知方程f'(x)=0根的大小或存在情況來求解。

(3)求函數f(x)在閉區間[a,b]上的最值時,在得到極值的基礎上,結合區間端點的函數值f(a),f(b),然后與f(x)的各極值進行比較得到函數的最值。