導數測試題B 卷參考答案

一、選擇題

1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A

7.D 8.D 9.D 1 0.A 1 1.B 1 2.C

二、填空題

三、解答題

17.(1)因為s=8-3t2,所以 Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6 Δt-3(Δt)2,所以質點在[1,1+Δt]這段時間內的平均速度為

(2)定義法:質點在t=1時的瞬時速度為

求導法:質點在t時刻的瞬時速度v=s'(t)=(8-3t2)'=-6t,所以當t=1時,v=-6×1=-6。

可得當0＜x＜1時,f'(x)＜0,當x＞1時,f'(x)＞0。

所以f(x)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增,所以f(x)的最小值為f(1)=1。

當n=1時,a1=0,ln(n+1)-lnn=ln2,所以

當a=1時,f'(x)≥0,函數f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增。

當a＜1時,函數f(x)在(-∞,a),(1,+∞)上單調遞增,在(a,1)上單調遞減。

當a＞1時,函數f(x)在(a,+∞)上單調遞增,在(1,a)上單調遞減。

(2)要證?x∈[0,+∞),f(x)≥-1,即證x∈[0,+∞),f(x)min≥-1。

①由(1)可知,當a＞1,x∈[0,+∞)時,f(x)min=m i n{f(0),f(a)}。f(0)=-1,

②當a=1時,函數f(x)在[0,+∞)上單調遞增,f(x)min=f(0)=-1。

③當3-e≤a＜1時,由(1)可知,x∈[0,+∞)時,f(x)min=m i n{f(0),f(1)}。

綜上,當a≥3-e時,?x∈[0,+∞),f(x)≥-1。

(2)欲證x-6≤f(x)≤x,只需證-6≤f(x)-x≤0。

(3)由(2)可得,F(x)=|f(x)-(x+a)|=|f(x)-x-a|=|g(x)-a|。

因為在[-2,4]上,-6≤g(x)≤0,令t=g(x),h(t)=|t-a|,則問題轉化為:當t∈[-6,0]時,求h(t)的最大值M(a)的問題了。畫出函數h(t)的圖像,如圖1所示。

圖1

①當a≤-3時,M(a)=h(0)=|a|=-a,此時-a≥3,當a=-3時,M(a)取得最小值3;

②當a≥-3時,M(a)=h(-6)=|-6-a|=|6+a|,因為6+a≥3,所以M(a)=6+a,即當a=-3時,M(a)的最小值為3。

綜上,當M(a)取最小值時a的值為-3。