導數測試題A 卷參考答案

一、選擇題

1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B

7.C 8.C 9.C 1 0.D 1 1.A 1 2.D

二、填空題

15.(2,+∞)

16.(-∞,-2)∪(2,+∞)

三、解答題

17.(1)當k=2時,f(x)=e2x(2-x)。

因為f'(x)=2 e2x(2-x)-e2x=e2x(3-2x),所以f'(1)=e2。

又因為f(1)=e2,所以所求的切線方程為y-e2=e2(x-1),即y=e2x。

設g(x)=e-k x+k x-k2,則g'(x)=-ke-k x+k=k(1-e-k x)。

當x＜0時,g'(x)＜0,當x＞0時,g'(x)＞0,所以g(x)在(-∞,0)上是減函數,在(0,+∞)上是增函數,所以g(x)min=g(0)=1-k2≥0,得-1≤k≤1。又k＞0,所以0＜k≤1。

綜上可得,實數k的取值范圍是(0,1]。

18.(1)因為函數f(x)=-x3+a x2+b x+c(a,b,c∈R),所以f'(x)=-3x2+2a x+b。

因為f'(-1)=f'(3)=0,所以f'(-1)=-3-2a+b=0,f'(3)=-2 7+6a+b=0,解得a=3,b=9。

(2)由(1)可知f'(x)=-3x2+6x+9。

當x∈(-∞,-1)時,f'(x)＜0,函數f(x)單調遞減;

當x∈(-1,3)時,f'(x)＞0,函數f(x)單調遞增;

當x∈(3,+∞)時,f'(x)＜0,函數f(x)單調遞減。

已知函數f(x)在區間[-2,2]上的最大值為2 0,f(x)=-x3+a x2+b x+c=-x3+3x2+9x+c,f(-2)=2+c,f(2)=2 2+c,f(-1)=c-5為最小值。

若f(-2)=2+c=2 0,即c=1 8時,則f(-1)=c-5=1 8-5=1 3為最小值;

若f(2)=2 2+c=2 0,即c=-2時,則f(-1)=c-5=-2-5=-7為最小值。

19.(1)當a=1時,f(x)=ex-sinx+1,則f'(x)=ex-cosx≥0,且當x=0時,f'(x)=0,所以f(x)在[0,+∞)上單調遞增,所以f(x)min=f(0)=2,所以對于任意x∈[0,+∞),有f(x)≥2恒成立。

(2)令f(x)=0,則,令g(x),函數f(x)在[0,π]上存在兩個零點,即函數y=a與函數g(x)=在[0,π]上有兩個不同的交點。

令g'(x)=0,則

因為x∈[0,π],所以或x=π。

所以g(x)在上單調遞增,在上單調遞減,所以

20.(1)函數f(x)=(1+a)x2-lnxa+1的定義域為(0,+∞),且f'(x)=

當a≤-1時,f'(x)＜0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增;

當a＞-1時,令f'(x)=0,解得x=,此時f(x)在上單調遞減,在上單調遞增。

(2)若a＜1,則當x＞0,時,問題轉化為不等式x f(x)＞lnx+(1+a)x3-x2在(0,+∞)上恒成立。

只需要證明x[(1+a)x-lnx-a+1]＞lnx+(1+a)x3-x2在(0,+∞)上恒成立,即證+1在(0,+∞)上恒成立。

因為a＜1時,即,所以-a+1在(0,+∞)上恒成立。

所以當x＞0時,函數y=x f(x)的圖像恒在函數y=lnx+(1+a)x3-x2的圖像上方。