利用構造法證明不等式

■河南省太康縣第一高級中學

利用導數證明不等式是近幾年高考命題的一種熱點題型。解答該題型的關鍵是要找出與待證不等式緊密聯系的函數,然后以導數為工具來研究該函數的單調性、極值、最值(值域),從而達到證明不等式的目的,解題過程中常常需要構造輔助函數來解決。題目本身特點不同,所構造的函數可有多種形式,因此解題的繁簡程度也不同,這里給出幾種常用的構造技巧。

例題(2019年河南考前模擬)已知函數f(x)=ex-2。

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)證明:當x＞0時,f(x)＞lnx。

考點定位：本題第(1)問比較簡單,主要是通過考查導數的幾何意義求過一點的切線方程;第(2)問是利用導數研究函數的單調性、極值和最值,再由單調性來證明不等式。這是函數、導數、不等式綜合中的一個難點,也是近幾年高考的熱點,這類題型大多是通過構造函數證明不等式,第(2)問共涉及四種方法,下面會一一介紹。

解：(1)由f(x)=ex-2,得f'(x)=ex-2。

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為

(2)共四種方法。

方法一：作差法構造函數證明。

解答提示：本題首先根據題意構造出一個函數(可以移項,使右邊為零,將移項后的左式設為函數),利用導數判斷所設函數的單調性,再根據函數單調性的定義,證明要證的不等式。要證f(x)＜lnx,只需證明在區間(0,+∞)上,恒有ex-2＜lnx成立,設g(x),只要證明g(x)在區間(0,+∞)上的最小值大于0即可。讀者也可以設F(x)=f(x)-g(x)做一做,深刻體會其中的思想方法。

證明：當x＞0時,令g(x)=f(x)-lnx,則g(x)=ex-2-lnx,x∈(0,+∞),, 易知g'(x)在(0,+∞)上單調遞增,且,則g'(x)在(1,2)上必存在一個零點,設為x0,則g'(x0)=0,即,則有x0-2=-lnx0。

當x∈(0,x0)時,g'(x)＜0,g(x)在(0,x0)上單調遞減;

當x∈(x0,+∞)時,g'(x)＞0,g(x)在(x0,+∞)上單調遞增。

所以g(x)≥g(x0)＞0,則有f(x)＞lnx。

方法二：尋找關聯函數證明。

解答提示：由(1)可知,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為,且y=f(x)在直線的上方,若能證明y=的圖像在直線的下方,就有,問題得證。

證明：①設,則g'(x)

當x=e時,g'(x)=0;當0＜x＜e時,g'(x)＞0;當x＞e時,g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,e)上是增函數,在(e,+∞)上是減函數。

當x=1時,h'(x)=0;當0＜x＜1時,h'(x)＞0;當x＞1時,h'(x)＜0。

所以h(x)在(0,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數,則h(x)max=h(1)=0,所以成立(當且僅當x=1時取等號)。

綜上,當x＞0時成立。

因為前后兩次取等號的條件不一致,所以lnx＜ex-2,即f(x)＞lnx成立。

方法三：根據常用不等式構造函數。

解答提示：由不等式lnx≤x-1≤ex可知,若能證明y=lnx的圖像在直線y=x-1的下方,y=ex-2的圖像在直線y=x-1的上方,就有f(x)≥x-1≥lnx,問題得證。

證明：①設g(x)=lnx-x+1,則

當x=1時,g'(x)=0;當0＜x＜1時,g'(x)＞0;當x＞1時,g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數,則g(x)max=g(1)=0,所以成立(當且僅當x=1時取等號)。

②設h(x)=x-1-ex-2,則h'(x)=1-ex-2。

當x=2時,h'(x)=0;當0＜x＜2時,h'(x)＞0;當x＞2時,h'(x)＜0。

所以h(x)在(0,2)上是增函數,在(2,+∞)上是減函數,則h(x)max=h(2)=0,所以x-1≤ex-2成立(當且僅當x=2時取等號)。

綜上,當x＞0時,lnx≤x-1≤ex-2成立。

因為前后兩次取等號的條件不一致,所以lnx＜ex-2,即f(x)＞lnx成立。

方法四：“拆分法”構造函數證明不等式。

解答提示：當所要證明的不等式由幾個基本初等函數通過相乘或相加的形式組成時,如果對其直接求導,得到的導函數往往給人一種“撲朔迷離”“不知所措”的感覺。這時可以將原不等式合理拆分為f(x)≤g(x)的形式,進而證明f(x)max≤g(x)min即可,此時注意配合使用導數工具。在拆分的過程中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用導數進行最值分析為拆分標準。

證明：①設,則g'(x)=

當x=e時,g'(x)=0;當0＜x＜e時,g'(x)＞0;當x＞e時,g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,e)上是增函數,在(e,+∞)上是減函數,則

當x=1時,h'(x)=0;當0＜x＜1時,h'(x)＜0;當x＞1時,h'(x)＞0。

所以h(x)在(0,1)上是減函數,在(1,+∞)上是增函數,則

綜上,當x＞0時成立,因為函數值為時兩個自變量不是同一個值,所,即f(x)＞lnx成立。