集合創新題追根溯源

■河南省太康縣第一高級中學

編者提醒：河南省太康縣第一高級中學是全國中學名校,本刊本期特約該校的多位一線名師,詳細講解集合、函數、導數、微積分專題的考點、題型,精心命制核心考點演練試卷,盼讀者認真讀一讀,練一練,能收獲滿滿喲!

集合是高中數學首先接觸的內容,也是高考中的必考內容。集合是一個基本的數學概念,集合看似是非常簡單的數學問題,但是其中也需要一定的數學基礎,尤其是函數方面的數學基礎。集合有人理解為一堆數字的集合,但是集合中的內容也被稱為元素,是需要數學思想進行劃分的。近幾年,與集合有關的創新問題已成為高考的熱點。此類題目以考查學生的探究能力和創新能力為目的,它要求考生在新的情景中使用已知的數學知識去分析問題、解決問題。本文精選近幾年高考中以集合為背景的創新題型并解析,以供參考。

關于集合知識的新定義型信息題是試題改革的一個亮點,它能有效地考查學生獨立獲取信息、加工信息及繼續學習的能力。基于此,筆者在數學學習的基礎上,對高中數學中集合的子集個數創新題進行全面的分析和創新性探究。

例1 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則集合A中的元素個數為( )。

A.9 B.8 C.5 D.4

分析：分別令x=-1,0,1,進行求解即可。

解法一：當x=-1時,y2≤2,得y=-1,0,1;

當x=0時,y2≤3,得y=-1,0,1;

當x=1時,y2≤2,得y=-1,0,1。

所以集合A中的元素有

解法二：根據集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中的圖形,如圖1所示,易知在圓x2+y2=3中有9個整點,即集合A中的元素個數為9個。

點評：本題主要考查集合元素個數的判斷,利用分類討論思想是解決本題的關鍵。

解題方法點撥：(1)按照子集包含元素個數從少到多排列。(2)注意觀察兩個集合的公共元素,以及各自的特殊元素。(3)可以利用集合的特征性質來判斷兩個集合之間的關系。(4)有時借助數軸、平面直角坐標系、韋恩圖等數形結合方法。

圖1

例2 已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意(x1,y1)∈M,都存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M為“垂直對點集”。給出下列四個集合:①;②M={(x,y)|y=log2x};③M={(x,y)|y=ex-2};④M={(x,y)|y=sinx+1}。其中是“垂直對點集”的序號是____。

解析：由題意得,若集合M是“垂直對點集”,則設集合內的任意一點與原點的連線為l1,則過原點與直線l1垂直的直線l2與集合M有交點。

對于①,點(1,1)∈M=,此時直線l1的方程為y=x,則直線l2的方程為y=-x,易知y=-x與沒有交點,所以集合M=不是“垂直對點集”;

對于②,點(1,0)∈M={(x,y)|y=log2x},此時直線l1的方程為y=0,則直線l2的方程為x=0,易知x=0和y=log2x沒有交點,所以集合M={(x,y)|y=log2x}不是“垂直對點集”;

對于③,在平面直角坐標系內畫出函數y=ex-2的圖像,如圖2所示,由圖易得,任意過原點且相互垂直的兩條直線都與函數y=ex-2的圖像相交,所以集合M={(x,y)y=ex-2}是“垂直對點集”;

綜上所述,其中是“垂直對點集”的序號是③④。

圖2

圖3

跟蹤訓練：

1.若一個集合是另一個集合的子集,稱兩個集合構成“全食”;若兩個集合有公共元素,但互不為對方子集,則稱兩個集合構成“偏食”。對于集合,若兩個集合構成“全食”或“偏食”,則a的值為____。

分析：討論a=0和a＞0,求得集合B,再由新定義得到a的方程,解出a的值即可。

解：集合1,a≥0}。

若a=0,則B=?,即有B?A;

若a＞0,可得,解得a=1;

若A,B兩個集合有公共元素,但互不為對方子集,可得,解得a=4。

綜上可得,a=0或1或4。

點評：本題考查集合的運算及包含關系,考查同學們對新定義的理解和運用能力,運用分類討論思想方法是解題的關鍵,屬于中檔題。

2.對于給定的非空集合A,定義集合A+={|x+y||x∈A,y∈A},A-={|x-y||x∈A,y∈A},若A+∩A-=?,則稱集合A滿足性質P。

(1)判斷下列集合是否滿足性質P,并說明理由。

①S={3,4};②T={0,1,7}。

(2)集合A={1,2,a}?N,滿足性質P,求a的最小值。

(3)若非空集合A?{x|x∈N,0≤x≤100},且集合A滿足性質P,求集合A中元素個數的最大值。

分析：第一問利用新概念檢驗所給集合是否滿足性質P,后兩問則是在滿足性質P的前提下,探究條件,較好地運用了歸納、分析的解題思想。

解：(1)①由S={3,4},可知S+={6,7,8},S-={0,1},此時,S+∩S-=?,故S滿足性質P。

②由T={0,1,7},可知T+={0,1,2,7,8,1 4},T-={0,1,6,7},此時T+∩T-={0,1,7}≠?,故T不滿足性質P。

(2)由A={1,2,a},可知A+={2,3,4,a+1,a+2,2a},A-={0,1,a-2,a-1},欲使A+∩A-=?,須使a-2＞4,即a＞6,故a的最小值為7。

(3)設A={m,m+1,m+2,…,100},m∈N,則A+={2m,2m+1,2m+2,…,2 0 0},A-={0,1,2,…,100-m},欲使A+∩A-=?,須使100-m＜2m,即,故m的最小值為3 4,此時,A中元素個數最多,為100-3 3=6 7(個)。

點評：本題考查的知識點是對新定義的理解和運用,正確理解集合A+,A-的定義是解題的關鍵。

解題方法點撥：求集合中元素個數的最大(小)值問題的方法通常有:類分法、構造法、反證法、一般問題特殊化、特殊問題一般化等。需要注意的是,有時一道題需要綜合運用幾種方法才能解決。