五種方法巧解函數零點問題

■河南省太康縣第一高級中學

例題已知函數f(x)=a x3-3x2+1,若f(x)存在兩個零點,則a的值為( )。

A.2或0 B.-2或0

C.0 D.±2或0

考查意圖：本題主要考查函數與方程思想、數形結合思想、等價轉化思想。將函數零點、方程的解等知識結合在一起,考查同學們的運算能力、動手作圖能力及觀察能力。

解法1：直接法。

當a=0時,f(x)=-3x2+1,恰有兩個零點。

當a≠0時,f'(x)=3a x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或

(1)若a＞0,當x∈(-∞,0)時,f'(x)＞0;當時,f'(x)＜0;當x∈時,f'(x)＞0。所以函數f(x)在(-∞,0)和上單調遞增,在上單調遞減,且f(0)=1＞0,故f(x)有1個小于零的零點,只需令,即a2=4,解得a=2。

(2)若a＜0,當時,f'(x)＜0;當時,f'(x)＞0;當x∈(0,和(0,+∞)上單調遞減,在+∞)時,f'(x)＜0。所以函數f(x)在上單調遞增,且f(0)=1＞0,故f(x)有1個大于零的零點,只需令,即a2=4,解得a=-2。

綜上可知,a=±2或0。

解法2：轉化為直線與曲線的交點問題。

由a x3-3x2+1=0可知x≠0,所以,作出的圖像,如圖1所示,轉動直線y=a x,顯然a=0時成立。

圖1

當a＜0,直線y=a x與左邊的曲線相切時,設切點為,其中t＜0,則切線方程為又切線過原點,則有,解得t=-1或t=1,此時切線的斜率為-2或2。

綜上可知,a=±2或a=0。

解法3：轉化為兩曲線的交點問題。

令f(x)=0,得a x3=3x2-1。

問題轉化為g(x)=a x3的圖像與h(x)=3x2-1的圖像存在兩個交點。

當a=0時,函數g(x)的圖像與h(x)的圖像存在兩個的交點。

圖2

當a＞0時,如圖2所示,可先求出函數g(x)=a x3與h(x)=3x2-1的圖像有公切線時a的值。由g'(x)=h'(x),g(x)=h(x),得a=2。由圖形可知,當a=2時,滿足題意。

當a＜0時,如圖3所示,可先求出函數g(x)=a x3與h(x)=3x2-1的圖像有公切線時a的值。由g'(x)=h'(x),g(x)=h(x),得a=-2。由圖形可知,當a=-2時,滿足題意。

綜上可知,a=±2或a=0。

解法4：分離參數。

易知x≠0,令f(x)=0,則

圖3

可知g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調遞減,在(-1,0)和(0,1)上單調遞增,且g(-1)=-2,g(1)=2,畫出函數g(x)的圖像,如圖4所示,平移直線y=a,結合圖像,可知a=±2或a=0。

在輸送臂的運動過程中，可以實時觀察到變量的變化情況，對于發現問題及時對參數或者函數進行修改，直到合理為止。試驗證明，利用ADAMS技術建立輸送臂的虛擬樣機，并進行運動仿真，大大提高了生產率，為輸送臂的控制提供了有力依據。

圖4

解法5：特例法。

取a=2,則f(x)=2x3-3x2+1。由于f(0)=1,f(-1)＜0,從而f(x)在(-∞,0)上存在零點,又f(1)=0,所以排除B、C。

取a=-2,則f(x)=-2x3-3x2+1。由于f(0)=1,f(1)＜0,從而f(x)在(0,+∞)上存在零點,又f(-1)=0,所以排除A。故選D。

復習建議：函數零點的求解與判斷方法包括:

(1)直接求零點:令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點。

(2)零點存在性定理:利用定理不僅需要函數在區間[a,b]上是連續不斷的曲線,且f(a)·f(b)＜0,還必須結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點。

(3)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數值域問題再加以解決。

(4)利用圖像交點的個數:將函數變形為兩個函數的差,畫出兩個函數的圖像,看其交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點。

(5)特殊值法:取選項中的特殊值代入驗證,逐個排除,最終找出正確答案。

1.已知當x∈[0,1]時,函數y=(m x-1)2的圖像與y=x+m的圖像有且只有一個交點,則正實數m的取值范圍是( )。

解析：當1)2單調遞減,且y=(m x-1)2∈[(m-1)2,單調遞增,且[m,1+m],此時有且僅有一個交點;

當m＞1時在上單調遞增,所以要有且僅有一個交點,需(m-1)2≥1+m?m≥3。故選B。

解析：由題意可知,問題等價于方程x3=b(x≤a)與方程x2=b(x＞a)的根的個數和為2。

若兩個方程各有一個根,則可知關于b的不等式組有解,所以a2＜b＜a3,從而a＞1;

若方程x3=b(x≤a)無解,方程x2=b(x＞a)有兩個根,則可知關于b的不等式有解,從而 。a＜0

綜上,實數a的取值范圍是(-∞,0)∪(1,+∞)。