微積分創新題例析

■河南省太康縣第一高級中學

本專題在近五年的全國卷中未考查,但卻是自主命題地區的命題熱點,常考查定積分的求解及定積分的應用,多以選擇題、填空題的形式出現,屬于中低檔題,其試題難度相對較小,重點考查定積分的幾何意義、基本性質和微積分基本定理。

類型一、利用微積分基本定理求定積分

例1

考點：定積分的應用。

解析：由題意得故選A。

點評：一個函數的導函數是唯一的,而其原函數則有無窮多個,這些原函數之間都相差一個常數,在利用微積分基本定理求定積分時,只要找到被積函數的一個原函數即可,并且一般使用不含常數的原函數,這樣有利于計算,微積分基本定理也是求定積分最基本的方法。

類型二、巧選積分變量求定積分

例2求拋物線y2=2x與直線y=x-4圍成的平面圖形的面積。

圖1

解析：如圖1,解方程組得直線與拋物線的交點為(2,-2),(8,4)。

方法一:選取橫坐標x為積分變量,則圖中陰影部分的面積應該是兩部分之和,即S

方法二:選取縱坐標y為積分變量,則圖中陰影部分的面積可按公式求得,即S

點評：從上述兩種解法可以看出,對y積分比對x積分計算要簡捷。因此,應用定積分求平面圖形面積時,積分變量的選取是至關重要的。但同時也要注意對y積分時,積分函數應是x=φ(y),本題需將條件中的曲線方程、直線方程化為和x=y+4的形式,然后求得積分。另外還要注意的是對面積而言,不管選用哪種積分變量去積分,面積是不會變的,即定積分的值不會改變。

類型三、巧用對稱性求定積分

例3 求由三條曲線y=x2,4y=x2,y=1所圍圖形的面積。

圖2

解析：如圖2,因為y=x2,4y=x2是偶函數,根據對稱性,只算出y軸右邊的圖形的面積再兩倍即可。

方法一:選擇x為積分變量,則S=2·

方法二:可以選擇y為積分變量,則

點評：利用函數的奇偶性及所對應曲線的對稱性解題,也是簡化計算過程的常用手段,對稱性的應用和積分變量的選取都影響著計算過程的繁簡程度。

類型四、分割計算求定積分

例4 求由拋物線y=-x2+4x-3及其在點M(0,-3)和N(3,0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積。

解析：由y=-x2+4x-3,得y'=-2x+4,所以y'|x=0=4,過M點的切線方程為y=4x-3;y'|x=3=-2,過N點的切線方程為y=-2x+6。

又可求得兩切線交點的橫坐標為x=,故所求面積

點評：本題求圖形的面積,適當的分割是關鍵,求出兩切線交點,過交點作x軸垂線,將圖形分割成兩部分,分別用定積分求解。同學們應注意掌握這種分割的處理方法。

跟蹤訓練：

解析：因為,所以,所以a=1。

2.在同一坐標系中作出曲線x y=1、直線y=x及直線y=3的圖像,如圖3所示,則曲線x y=1與直線y=x和y=3所圍成的平面圖形的面積為____。

圖3

解法一：選取橫坐標x為積分變量,則圖中陰影部分的面積應該是兩部分之和,即所求區域面積

解法二：選取縱坐標y為積分變量,則圖中陰影部分的面積可按公式求得,即所求區域面積

解析：根據題意,設函數f(x)=,則f(-x)=),故函數f(x)為奇函數,g(x)為偶函數,則有的幾何意義為圓x2+y2=4的上半部分與x=±1、x軸所圍成區域的面積,易得

解析：故選D。

解析：令