函數的零點問題的錯解歸類剖析

■河南省太康縣第一高級中學

函數是高中數學中最重要最核心的內容之一,此部分內容特別豐富,而且知識點眾多,但是由于函數的概念比較抽象,學習起來讓人十分頭疼。下面就函數的零點問題的解決方法和思路與大家分享探究。

要想解決函數的零點問題,首先,熟知函數零點的定義,其次,掌握求函數零點的常用方法:①解方程法;②零點存在性定理;③數形結合法。

例1 若函數y=a x2-2x+1只有一個零點,求實數a的取值范圍。

錯解：由題意可得,實數a滿足的條件為Δ=4-4a=0,所以a=1。

錯因分析：忽略了對x2的系數a進行分類討論,單從表象而誤認為已知函數為二次函數。

正解：(1)當a=0時,y=-2x+1,易知該函數只有一個零點;

(2)當a≠0時,由題意可得,Δ=4-4a=0,解得a=1。

綜上,實數a的取值范圍為{a|a=0或a=1}。

例2 已知函數f(x)=3m x-4,若在[-2,0]上存在x0,使得f(x0)=0,求實數m的取值范圍。

錯解：因為在[-2,0]上存在x0,使得f(x0)=0,則f(-2)·f(0)＜0,所以(-6m-4)·(-4)＜0,解得。故實數m的取值范圍為

錯因分析：錯解中只考慮到在(-2,0)內部存在x0,使得f(x0)=0,而忽略了所給區間是閉區間,x0也可存在于區間的端點處,即f(-2)·f(0)≤0。

正解：依題意,由f(-2)·f(0)≤0,解得所以實數m的取值范圍為

例3 若函數f(x)=x2-2a x+2在(0,4)上至少有一個零點,求實數a的取值范圍。

錯解：因為函數f(x)=x2-2a x+2在(0,4)上至少有一個零點,所以f(0)·f(4)＜0,即2(1 8-8a)＜0,解得所以實數a的取值范圍為

錯因分析：錯解是因為對至少有一個零點理解不透徹所致,至少有一個零點即有一個零點或兩個零點,結合二次函數的對稱軸及判別式即可求解。也可分離參數2a=x+,轉化為求函數x＜4)的值域。

正解1：因為函數f(x)=x2-2a x+2在(0,4)上至少有一個零點,又f(0)=2＞0,所以f(4)＜0或解得或,即所以實數a的取值范圍為

正解2：因為函數f(x)=x2-2a x+2在(0,4)上至少有一個零點,等價于方程至少有一個根,令y=,根據對勾函數的圖像與性質,知y≥2 2,當且僅當x=2∈(0,4)時,取等號,所以2a≥2 2,即a≥ 2。故實數a的取值范圍為[2,+∞)。

例4 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x2-3x,則函數g(x)=f(x)-x+3的零點的集合為( )。

錯解：因為函數g(x)=f(x)-x+3的零點為方程f(x)=x-3的解,所以當x≥0時,x2-3x=x-3,解得x1=1,x2=3;又f(x)是定義在R上的奇函數,所以當x＜0時,對應的零點為-1,-3。故選B。

錯因分析：錯解中把f(x)是定義在R上的奇函數這一性質用到g(x)上了,說明審題不到位。

正解1：設x＜0,則-x＞0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x。求函數g(x)=f(x)-x+3的零點等價于求方程f(x)=x-3的解。

當x≥0時,x2-3x=x-3,解得x1=1,x2=3;當x＜0時,-x2-3x=x-3,解得故選D。

正解2：數形結合,如圖1,由圖知點A的橫坐標xA＜-3,只有選項D中-2,易知選項D正確。在高考中,數形結合及特殊值代入更顯簡單快捷。

圖1

知識點撥：

(1)判斷函數在某區間(a,b)上是否有零點。

①判斷函數在某區間(a,b)上是否有零點,關鍵有兩點:一是曲線是否是連續不斷的;二是f(a)與f(b)是否異號。

②當函數y=f(x)的圖像在閉區間[a,b]上不是連續曲線或不滿足f(a)·f(b)＜0時,函數在區間(a,b)內可能存在零點,也可能不存在零點。

③當f(a)·f(b)＜0時,f(x)在(a,b)上一定有零點,反之不一定成立。當f(a)·f(b)＞0時,f(x)在(a,b)上不一定沒有零點。(請同學們認真思考)

(2)判斷函數零點個數的常用方法。

①解方程f(x)=0,則方程f(x)=0的解的個數就是函數f(x)零點的個數。

②數形結合,直接作出函數f(x)的圖像,圖像與x軸交點的個數就是函數f(x)零點的個數。

③化函數的零點個數問題為方程g(x)=h(x)的解的個數問題,在同一坐標系下作出函數y=g(x)和y=h(x)的圖像,利用圖像交點判定方程根的個數。

④若證明一個函數的零點唯一,首先證明函數在所給區間上單調,再由零點存在性定理判斷函數有零點。

跟蹤訓練：

1.已知函數f(x)=2a x-a+3,若?x0∈(-1,1),有f(x0)=0,則實數a的取值范圍是( )。

解析：當a=0時,顯然不成立;當a≠0時,依題意知f(-1)·f(1)＜0,即(-3a+3)·(a+3)＜0,解得a＜-3或a＞1。故選A。

解析：因為所以若x≠3,由,解得或;若x=3,則a-4=0,即a=4。所以當a=4時滿足函數y=f(x)-4有三個零點。故選D。

3.已知函數f(x)=x(lnx-a x)有兩個極值點,則實數a的取值范圍是( )。

解析：函數f(x)的定義域為(0,+∞),已知函數f(x)=有兩個極值點,等價于lnx+1-2a x=0在(0,+∞)上有兩個不相等的實數根,等價于函數h(x)=lnx的圖像與函數g(x)=2a x-1的圖像在(0,+∞)上有兩個不同的交點。設函數h(x)=lnx與函數g(x)=2a x-1的圖像相切于點A(m,lnm),其中m＞0,函數g(x)的圖像在點A處的切線的斜率為k1=2a,函數h(x)的圖像在點A處的切線的斜率為,所以。又直線g(x)=2a x-1過點(0,-1),所以k=,所以,解得m=1。所以當函數h(x)與g(x)的圖像相切時故所求a的取值范圍為故選B。

4.已知函數f(x)=|x2+3x|,x∈R。若方程f(x)-a|x-1|=0恰有四個互異的實數根,求實數a的取值范圍。

解析：令g(x)=a|x-1|,則方程f(x)-a|x-1|=0恰有四個互異的實數根等價于f(x)與g(x)的圖像有四個不同的交點,故a＞0。分以下三種情況:

②三個交點的橫坐標小于1,一個交點的橫坐標大于1。則直線y=a(1-x)與曲線y=-x2-3x(-3＜x＜0)相切,且直線y=a(x-1)與曲線y=x2+3x(x＞1)也相切,解得a=1且a=9,顯然不可能。

綜上所述,所求a的取值范圍為(0,1)∪(9,+∞)。

總之,新課標下的高考越來越注重對學生的綜合素質的考查,函數的零點問題便是一個考查學生綜合素質的很好途徑,它主要涉及基本初等函數的圖像,滲透著轉化、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法,在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。近幾年的數學高考中頻頻出現函數的零點問題,既有小題又有大題,其形式也越來越多樣化,但與函數、導數知識密不可分。