微積分易錯(cuò)題歸類剖析

■河南省太康縣第一高級(jí)中學(xué)

本文通過對(duì)幾個(gè)易錯(cuò)題型的分析,強(qiáng)調(diào)說明在利用微積分基本定理求定積分的問題上應(yīng)注意的事項(xiàng),以及運(yùn)用牛頓—萊布尼茨公式和做變換時(shí)應(yīng)注意哪些問題。

在一元函數(shù)的微積分學(xué)中,微積分基本定理是一個(gè)非常重要的定理,一般地,如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F(a)這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理,又叫作牛頓—萊布尼茨公式。它的主要意義在于描述了定積分與原函數(shù)即不定積分之間的聯(lián)系,給出了計(jì)算定積分的一種統(tǒng)一的、簡(jiǎn)便的方法,極大地簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算過程。

微積分基本定理指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法,把定積分的問題,轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題,是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁,揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分的內(nèi)在聯(lián)系,同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法。

教材中微積分的課時(shí)少,同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)如果對(duì)其重視不夠,對(duì)微積分基本定理及其運(yùn)用的理解不夠透徹,對(duì)微積分定理的應(yīng)用不夠熟練,對(duì)公式的記憶不準(zhǔn)確、不熟練,就會(huì)導(dǎo)致在解題中出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。下面通過具體例題,對(duì)微積分中的易錯(cuò)題型作些分析。

易錯(cuò)題型一：忽視公式成立的條件

例1 求

錯(cuò)解：

錯(cuò)因分析：本題解法的錯(cuò)因是忽略了牛頓—萊布尼茨公式成立的條件,因?yàn)樵趨^(qū)間[- 1,1]上,函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義,不滿足可積條件,因此不能使用牛頓—萊布尼茨公式。

正解：

例2 求

錯(cuò)解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù),積分區(qū)間(-∞,+∞)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,所以

錯(cuò)因分析：這里的積分區(qū)間(-∞,+∞)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,積分區(qū)間是無(wú)窮區(qū)間,它的性質(zhì)與定積分不同,做法不能按照微積分基本定理和定積分的性質(zhì)來進(jìn)行做題。

正解：,因 為,所以是發(fā)散的。

點(diǎn)評(píng)：很多學(xué)生把公式、法則都記住了,錯(cuò)題集也看了,但是往往做題時(shí)還是會(huì)出錯(cuò),且不知道自己錯(cuò)在哪了,為什么錯(cuò),所以僅僅死記公式、法則是不行的,錯(cuò)解中忽略了公式、法則的意義和成立的條件。

易錯(cuò)題型二：忽視被積函數(shù)的化簡(jiǎn)

例3 求

錯(cuò)解：

錯(cuò)因分析：其一是絕對(duì)值在沒有去掉的前提下就開始求解,其二是三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記得不準(zhǔn)確;使用微積分基本定理需要注意:(1)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù),要根據(jù)定義域先去掉絕對(duì)值再求積分;(2)對(duì)被積函數(shù)要先化簡(jiǎn),再求積分;(3)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí),利用定積分的性質(zhì)先分段,轉(zhuǎn)化為各區(qū)間上定積分的和。

正解：

易錯(cuò)題型三：對(duì)于原函數(shù)的理解不清晰

例4 定義在R上的函數(shù)f(x)過點(diǎn)(0,2),且f'(x)=4x,求

錯(cuò)解：因?yàn)閒'(x)=4x,所以f(x)=2x2,所以

錯(cuò)因分析：對(duì)原函數(shù)的理解不透徹,誤認(rèn)為f(x)=2x2,在運(yùn)用微積分基本定理求解定積分時(shí)經(jīng)常會(huì)把原函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)忽略掉,從而錯(cuò)誤地認(rèn)為一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)只有一個(gè),實(shí)際上,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)。

正解：因?yàn)閒'(x)=4x,所以f(x)=2x2+c。

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)過點(diǎn)(0,2),則f(0)=2·02+c=2,c=2,所以f(x)=2x2+2。

易錯(cuò)題型四：利用微積分計(jì)算含有參數(shù)的定積分問題時(shí)易混淆概念

例5 已知,求函數(shù)F(a)的最小值。

錯(cuò)解

錯(cuò)因分析：積分變量與被積函數(shù)f(x)、積分上限與積分下限、積分區(qū)間與函數(shù)F(x)這些概念混淆一起,弄不清楚誰(shuí)是被積函數(shù),誰(shuí)是積分變量。

正解：

所以F(a)min=1。

點(diǎn)評(píng)：含有參數(shù)的定積分問題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)含有參數(shù)的定積分可以與方程、函數(shù)或不等式綜合起來考查,利用微積分基本定理計(jì)算定積分是解決此類問題的前提;(2)計(jì)算含有參數(shù)的定積分,必須分清積分變量與被積函數(shù)f(x)、積分上限與積分下限、積分區(qū)間與函數(shù)F(x)等概念。

跟蹤練習(xí)：

1.若f(x)在R上可導(dǎo),f(x)=x2+2f'(2)x+3,求

答案：1.-1 8