空集問題知多少

■河南省太康縣第一高級中學

近幾年高考加大了對集合運算的考查,考查學生的抽象思維能力,以及數形結合和分類討論思想的運用,而分類討論是解決集合問題的常用方法。由于分類討論的步驟比較煩瑣,且容易重復或遺漏,空集就是一個很容易忽視的地方,所以本文從多個方面來介紹遺漏空集的情形,希望能引起同學們的注意。

一、應用空集的定義解題

例1 已知N={(x,y)|a x+2y+a=0},若M∩N=?,則a=( )。

考查意圖：本題主要考查集合的含義,空集的含義,將集合問題轉化為平面直角坐標系中兩條直線的位置關系問題。

分析：集合M表示直線y=3x-3(x≠2)上的點集,而集合N表示直線a x+2y+a=0上的點集,分析已知條件,則兩條直線沒有公共點即可,有兩種情況,分別求解。

解：由(x≠2),若M∩N=?,則:

①點(2,3)在直線a x+2y+a=0上,即2a+6+a=0?a=-2;

②直線y=3x-3與直線a x+2y+a=0平行,所以

綜上可得,a=-2或-6。

二、應用空集的性質解題

例2 已知集合A={x|x2=1},集合B={x|a x=1},若B?A,求實數a的值。

考查意圖：本題以方程的解為載體,考查了集合的子集概念。

分析：本題條件為方程的解所構成的集合,由條件B?A,可對集合B的情況進行分類,從而求出a的值。解題時一定要注意空集的性質,空集是一個不含任何元素的集合,是任何集合的子集,是任意非空集合的非空子集。

解：由題知A={1,-1},因為B?A,當B=?時,則a=0;當B={1}時,則a=1;當B={-1}時,則a=-1。綜上可得,a∈{0,1,-1}。

三、應用空集的實質解題

例3 已知B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求實數m的范圍。

分析：由A∪B=A,得B?A。而B是由參數m所確定的集合,m在不同的范圍內,可能使得B為非空數集,也可能使得B為空集。

解：A={x|x2-3x-1 0≤0}={x|-2≤x≤5}。

①若m+1＞2m-1,即m＜2時,B=?,適合題意。

②若m+1=2m-1,即m=2時,B={3},適合題意。

③若m+1＜2m-1,即m＞2時,要使B?A成立,只需解得-3≤m≤3,從而可得2＜m≤3,適合題意。

綜上可得,實數m的范圍為(-∞,3]。

綜上可得,滿足條件的a組成的集合為,故其子集共有23=8(個)。

跟蹤訓練：

1.設A={x|x2-8x+1 5=0},B={x|a x-1=0},若A∩B=B,求實數a組成的集合的子集的個數。

解析：集合A化簡得A={3,5},由A∩B=B,知B?A。

(1)當B=?,即方程a x-1=0無解時,得a=0,符合已知條件;

(2)當B≠?,即方程a x-1=0的解為3或5時,代入得

2.已知集合A={x|a x2+2x+1=0,x∈R},a為實數。

(1)若A是空集,求a的取值范圍;

(2)若A是單元素集,求a的值。

解析：(1)若A是空集,則只需a x2+2x+1=0無實數解,當a=0時,顯然方程有解,故a≠0,所以只需Δ=4-4a＜0,即a＞1。

(2)當a=0時,原方程化為2x+1=0,解得

當a≠0時,只需Δ=4-4a=0,即a=1。

綜上可得,a的值為0或1。

3.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|a x-1=0},且N?M,則實數a的值為

解析：M={x|x2+x-6=0}={-3,2}。

當a=0時,N=?,則N?M;

當a≠0時,要使N?M,則需或2,解得

4.已知集合A={x|-2＜x＜3},B={x|x2+2x-8＞0},C={x|x2-4a x+3a2＜0},若C?(A∩?RB),求實數a的取值范圍。

解析：由x2+2x-8＞0?x＞2或x＜-4,所以B={x|x＞2或x＜-4},所以A∩?RB={x|-2＜x≤2}。

由x2-4a x+3a2＜0可化為(x-a)·(x-3a)＜0。

當a=0時,C=?,符合要求;

當a＞0時,C={x|a＜x＜3a},由C?

當a＜0時,C={x|3a＜x＜a},由C?

綜上可得,實數a的取值范圍為

解析：由已知得,直線y=k(x-b)過點(b,0),故當b∈[-3,3]時,?k∈R,M∩N≠?,則當b∈(-∞,-3)∪(3,+∞)時,?k∈R,使得M∩N=?成立。所以符合條件的實數b的取值范圍是(-∞,-3)∪(3,+∞)。

復習建議：空集在集合中占有重要地位,當題目中隱含空集時,很容易忽視,這需要我們弄清題目的含義,搞清空集的實質,在平時學習中,要養成反思、檢驗的解題習慣,尤其要反思是否有忽視的地方。

與集合有關的小故事：悖論

悖論就是自相矛盾的命題,如果承認它是正確的,則可以推出它是錯誤的。而如果它是錯誤的,又能推出它是正確的。

也許你會說,哪里會有這樣的事呀!如果真是這樣,世界還不鬧得一團糟!讓我們看一看下面這個小問題,你就會明白了。在一個村子里,只有一位理發師,他為自己定下了這樣一條規矩：“我只為那些不給自己刮胡子的人刮胡子。”那么理發師是否能給自己刮胡子呢?現在我們假設理發師可以給自己刮胡子,那么他就成為“給自己刮胡子的人”。而按照他的規矩是不能給“自己刮胡子的人”刮胡子的,所以他不能給自己刮胡子。反之,如果理發師不給自己刮胡子,他就成為“不給自己刮胡子的人”。而按照規矩他應該給“不給自己刮胡子的人”刮胡子,因此他又應該給自己刮胡子。自作聰明的理發師為自己制定了一個進退兩難的規矩。也許你會問,這是怎么回事?事實上,這個問題是由1 9世紀數學家希爾伯特提出的著名的“理發師悖論”。這一悖論的提出,指出康托爾集合論的理論基礎的不足之處,促進了集合論的發展。所以悖論的提出并不可怕,它只是表明數學理論的基礎缺乏完備性。只要完善理論基礎,就可以避免悖論的產生。