函數的圖像和性質復習要點分析

■河南省太康縣第一高級中學

【考點定位】

函數的圖像與性質歷來是高考的重點,也是熱點,對于函數圖像的考查主要體現在兩個方面:一是識圖;二是用圖,即通過函數的圖像,利用數形結合的思想方法解決問題。對于函數的性質,主要考查函數的單調性、奇偶性、周期性;函數的奇偶性、周期性往往與分段函數、函數與方程結合,考查函數的求值與計算;以指數函數、對數函數、二次函數的圖像與性質為主,結合基本初等函數的性質綜合考查分析與解決問題的能力。在近幾年的高考試卷中,選擇題、填空題、解答題三種題型,每年都有函數試題,而且常考常新。以基本函數為背景的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢。在大題中以導數為工具研究討論函數的性質及不等式求解等綜合問題?？v觀近幾年的高考題,函數問題的考查,往往是小題注重基礎知識基本方法,突出重點知識重點考查,大題則注重在知識的交匯點處命題,與不等式、導數、解析幾何等相結合,綜合考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想及數形結合思想的理解運用,考查分析與解決問題的能力、應用意識及創新能力。

【典型例題解析】

例1 (2018屆北京市昌平區臨川育人學校1 2月月考)已知函數f(x)=且a≠1)的最大值為1,則a的取值范圍是( )。

解析：因為當x≤2時,f(x)=x-1,所以f(x)max=f(2)=1。因為函數f(x)=且a1)的最大值為≠1,所以當x＞2時,2+logax≤1,所以解得故選 。A

例2 (2018屆北京師范大學附屬中學上學期期中)已知m∈R,函數f(x)=1。若函數y=f(g(x))-m恰有6個不同的零點,則m的取值范圍是( )。

解析：因為函數f(x)=1,所以當g(x)=(x-1)2+2m-2≤1,即(x-1)2≤3-2m時,則y=f(g(x))=|2g(x)+1|=|2(x-1)2+4m-3|;當g(x)=(x-1)2+2m-2＞1,即(x-1)2＞3-2m時,則y=f(g(x))=log2[(x-1)2+2m-1]。①當3-2m≤0,即時,y=m只與y=f(g(x))=log2[(x-1)2+2m-1]的圖像有2個交點,不滿足題意,應該舍去;②當時,y=m與y=f(g(x))=log2[(x-1)2+2m-3]的圖像有2個交點,需要直線y=m與函數y=f(g(x))=|2(x-1)2+4m-3|的圖像有4個交點時才滿足題意,所以0＜m＜3-4m,又,解得綜上可得,m的取值范圍是0＜故選D。

例3 (2019年全國Ⅰ卷理科5)函數f上的圖像大致為圖1中的( )。

圖1

考查意圖：考查函數的圖像與性質,圖像題往往需要與函數的奇偶性、周期性、單調性相結合,再配合特殊值能達到事半功倍的效果。

解析：首先利用函數的奇偶性可以判斷函數為奇函數,從而排除選項A,再由特殊點代入得f(π)＞0,可排除選項B,C。故選D。

【復習要點】

1.函數三個性質的應用。

(1)奇偶性:具有奇偶性的函數在關于原點對稱的區間上其圖像、函數值、解析式和單調性聯系密切,研究問題時可轉化到只研究部分(一半)區間上。尤其注意偶函數f(x)的性質:f(|x|)=f(x)。

(2)單調性:可以比較大小,求函數最值,解不等式,證明方程根的唯一性。

(3)周期性:利用周期性可以轉化函數的解析式、圖像和性質,把不在已知區間上的問題,轉化到已知區間上求解。

2.函數方程問題求解策略。

(1)判斷函數在某個區間上是否存在零點,要根據具體題目靈活處理。當能直接求出零點時,就直接求出進行判斷;當不能直接求出時,可根據零點存在性定理判斷;當用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖像判斷。

(2)已知函數的零點個數求解參數范圍,可以利用數形結合思想轉化為函數圖像交點個數;也可以利用函數方程思想,構造關于參數的方程或不等式進行求解。

(3)對于給定的函數不能直接求解或畫出圖形,常會通過分解轉化為兩個函數圖像,然后數形結合,看其交點的個數有幾個,其中交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點。

跟蹤練習：

圖2

解析：根據題意,函數則,易得f(x)為非奇非偶函數,排除A、B,當x→+∞時,,排除C。故選D。

2.若f(x)是定義在R上的偶函數,在(-∞,0]上是減函數,且f(2)=0,則使得f(log2x)＜0的x的取值范圍是( )。

解析：f(x)是定義在R上的偶函數,在(-∞,0]上是減函數,所以在[0,+∞)上是增函數,所以f(log2x)=f(|log2x|),則不等式等價于f(|log2x|)＜f(2),所以,所以,所以x＜4。故選D。

3.若函數f(x)=log2(x+1)的圖像與函數y=g(x)的圖像關于原點對稱,則( )。

解析：設Q(x,y)是函數g(x)的圖像上任意一點,其在函數f(x)圖像上關于原點對稱的點是P(-x,-y)。因為點P在函數f(x)=log2(x+1)的圖像上,所以-y=log2(-x+1),即y=g(x)=-log2(1-x)。故選D。