基于UKF-GM-PHD濾波算法的非線性多目標跟蹤方法研究*

齊海明 張安清

（1.海軍91648部隊 葫蘆島 125004）（2.海軍大連艦艇學院信息系統系 大連 116018）

1 引言

目前，基于PHD濾波的多目標跟蹤方法研究已成為目標跟蹤領域的熱點。PHD濾波［1]可以更好地反映出目標跟蹤問題的本質，以集合形式描述多目標跟蹤問題，同時可以描述跟蹤過程中目標的新生、消失和衍生等情況，即可完成目標的狀態估計，也可以實現目標的數目估計，避免了數據關聯的難題，受到國內外眾多學者的關注。

PHD 濾波算法［2～5]是一種基于有限集統計學（Finite Set Statistics，FISST）的次最優多目標Bayes濾波器，但該方法在進行迭代運算時存在多重積分，仍需要采取數值計算的方法來實現近似。Vo基于線性高斯假設條件，利用高斯混合技術提出了高斯混合PHD（GM-PHD）濾波器［6]，同時在理論上證明該濾波器存在閉合解。GM-PHD濾波器計算量較小，并且狀態估計峰值提取相對容易，工程易實現。而現實情況中目標跟蹤問題很多是非線性的，因此，如何實現GM-PHD濾波器的非線性目標跟蹤問題一直是研究的重點和難點。本文基于GM-PHD濾波算法在進行預測和更新過程中，是基于Kalman濾波原理，提出將傳統非線性處理方法UKF與GM-PHD濾波算法相結合，提出UKF-GM-PHD算法，實現GM-PHD算法在非線性系統的應用。

2 PHD濾波器

PHD濾波器［7]實際是Bayes濾波器在隨機有限集理論的推廣，與傳統Bayes濾波一樣，分為預測步和更新步。

1）預測方程：

其中，Dk|k-1(x)代表多目標狀態后驗密度pk|k-1(Xk|Z1:k-1)的PHD函數，x和x′分別是k時刻和k-1時刻單目標狀態。

2）更新方程：

Lz(·)代表單目標量測似然函數，κk(·)為雜波量測的PHD。

與Bayes濾波算法遞推公式一樣，目標數目估計為［8]

Dk|k(x)的N?k|k個峰值對應的狀態x即為目標集的狀態估計x?。由此可知，PHD濾波算法與傳統目標跟蹤算法不同，避免了復雜的數據關聯過程，可同時實現對多個目標狀態和目標數目的雙重估計。

3 GM-PHD濾波器

GM-PHD濾波器為了得到閉合解，除了PHD濾波器的假設條件外，還需要以下假設［9～10]：

1）每個目標的Markov狀態轉移密度函數和目標量測似然函數均是線性高斯的；

2）目標存活概率PD，k()x和目標檢測概率相互獨立；

3）新生目標隨機集Γk(·)PHD和衍生目標隨機集Bk(·)PHD均是高斯混合的。

GM-PHD濾波器為了得到閉合解，在進行高斯分量迭代時是基于Kalman濾波原理，下面給出GM-PHD濾波算法的濾波流程：

預測過程：

k-1時刻的后驗分布PHD高斯混合形式為

在文獻［7]中Mahler已推導證明GM-PHD預測公式是三部分求和形式，公式表示為

其中，DS，k|k-1(x)，bk|k-1和γk(x)分別代表存活目標預測，衍生目標預測和新生目標預測PHD。

那么，k時刻的預測PHDDk|k-1(x)的高斯混合形式為

更新過程：

其中，第一部分是對漏檢目標進行PHD更新；第二部分是對已檢測目標進行PHD更新。

4 UKF-GM-PHD濾波器

在非線性目標跟蹤系統中，系統的離線狀態方程和量測方程為［11]

其中，fk和gk是非線性系統函數，uk為輸入控制矩陣，vk-1是服從均值為零，協方差陣為Qk的正態分布過程噪聲，wk是服從均值為零，協方差陣為Rk的正態分布量測噪聲，且vk-1和wk相互獨立。

4.1 UKF基本原理

UKF［12]是以Unscented變換（U變換）為基礎，采用Kalman濾波原理，利用采樣粒子逼近非線性函數。

U變換的原理：設x和y均為n維隨機變量，滿足非線性關系y=f(x)，xˉ、yˉ和Px、Py分別是x和y的均值和協方差。選取一組采樣點，確保采樣點的均值與協方差不變，得到N個附帶權值wi的sigma點χi，利用非線性函數關系獲得每個采樣sigma點對應的yˉ和Py。下面給出UKF的具體過程：

首先選取 2n+1個帶有權值wi，i=0，1，…，2n的采樣sigma點χi，根據非線性函數y=f(x)，得到對應2n+1個yi，即：

則yi對應的均值yˉ、協方差Py和互相關陣Pxy為

利用權值為wi的采樣點χi對系統方程進行近似，將U變換原理用于非線性系統模型中，其中wi和采樣點χi取值分別為

其中，κ為調整尺度參數，用于調整采樣點與xˉ的距離，同時n+κ≠0，一般令為均方根矩陣(n+κ)Px的第i行。

由式（11）可得到狀態預測值xk-1|k-1和協方差陣Pk|k-1，然后根據式（10）和（9），可得到量測值zk|k-1，新息協方差矩陣Pzz、互相關矩陣Pxz、狀態估計值xk|k和協方差矩陣Pk|k。UKF濾波的遞推過程為

4.2 UKF-GM-PHD濾波器

下面給出UKF-GM-PHD濾波器的預測和更新方程。

1）UKF-GM-PHD預測方程

假定k-1時刻，多目標PHD函數為

選取2n+1個加權sigma采樣點{χl，wl} ，l=0，1，…，2n其選取形式與式（11）相同。

通過UKF進行線性化得到目標轉移函數fk(·)的特征參數為

根據GM-PHD預測方程，得到UKF-GM-PHD算法的預測方程為

由此可得到UKF-GM-PHD濾波器的預測方程GM形式為

2）UKF-GM-PHD更新方程

通過U變換得到非線性量測方程gk()·的預測為

根據GM-PHD更新方程，可得到UKF-GM-PHD濾波器的更新方程為

其中：

5 仿真分析

為更好驗證提出的UKF-GM-PHD算法的濾波精度，將EKF-GM-PHD濾波算法與提出算法進行對比。

5.1 仿真參數設定

監控時間40s，采樣間隔時間T=1s。3個目標的初始狀態分量x0，P0，w0分別為

表1是3個目標的出現時刻、存活時間、消失時刻，以及目標做CV、CT和CA運動模型時刻表。

表1 3個目標的運動模型時刻表

5.2 仿真結果分析

圖1是目標在非線性系統的真實軌跡和量測圖。圖2為GM-PHD算法的位置估計圖。圖3為EKF-GM-PHD算法的位置估計圖。圖4為UKF-GM-PHD算法的位置估計圖。從三種算法的位置估計圖可以明顯看出，GM-PHD濾波算法在非線性系統中已失效，而其他兩種算法可以實現較好的目標跟蹤，驗證了兩種非線性處理方法在GM-PHD濾波算法上應用是有效的。

圖1 目標的真實航跡和量測圖

圖2GM-PHD位置估計

圖5和圖6分別是三種算法在目標數目估計和OSPA距離的對比圖。在圖5中可以看到，在40s的監控時間內，GM-PHD、EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法丟失目標次數分別是14次、5次、1次。因此，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法在監控時間段內完成了較好的跟蹤濾波，但后者目標丟失率更低。從圖5可以明顯看出，在OSPA距離誤差方面，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法較GM-PHD算法很大程度上減小了誤差，同時UKF-GM-PHD算法的誤差比EKF-GM-PHD算法的誤差小，濾波效果更好。

圖3EKF-GM-PHD位置估計

圖4UKF-GM-PHD位置估計

圖5 目標數目估計

圖6 OSPA距離

表2為三種算法在運行時間、目標丟失率和OSPA距離均值三方面的對比數據。表3為三種算法100次Monte Carlo仿真實驗，在算法運行時間、目標丟失率和OSPA距離均值三方面的對比數據。

表2 三種算法數據對比

表3 100次Monte Carlo實驗數據對比

從表2和表3數據對比來看，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法在運行時間上相差不大，與GM-PHD算法相比，算法運行時間有了一定的增加，但在目標丟失率和OSPA距離誤差上，都有了顯著的提高。UKF-GM-PHD算法相對EKF-GM-PHD算法，算法運行時間相差并不大，而目標丟失率相對較低，同時OSPA距離誤差也相對較小，濾波效果更好。

6 結語

本文開展基于GM-PHD濾波器在非線性目標跟蹤系統中的方法研究，基于GM-PHD濾波算法在進行預測和更新過程中是基于Kalman濾波原理，將傳統非線性處理方法UKF與GM-PHD濾波算法相結合，提出了UKF-GM-PHD濾波算法，通過驗證提出算法的有效性，仿真多機動目標運動情形，將提出算法與EKF-GM-PHD濾波算法進行分析對比，驗證了提出算法具有更高的濾波精度。