基于偽譜法的平臺靠泊軌跡規劃*

王海圓 李建禎 蘇 貞

（江蘇科技大學 鎮江 212003）

1 引言

深水半潛式支持平臺主要是用于海洋油氣資源開發相關的海上支持作業，可為海上生產平臺提供物資補給、存儲和轉運，同時為海上生產平臺作業提供支持，減少生產平臺負荷。同時為數百名海上生產平臺作業人員提供服務，保障良好的人員休整效果。平臺靠泊即為深水半潛式支持平臺向海上生產平臺靠泊的過程。為提高靠泊的效率，縮短靠泊的時間，在規劃靠泊的路線時，需要充分利用已知的條件，使支持平臺盡可能地沿著最短時間軌跡進行航行并避開海上設施所在的區域［1]。這一實際問題可以轉化成具有約束的非線性最優控制問題，進而采用求解最優控制問題的方法去求解，得到在滿足給定約束條件下的最短時間路徑。

求解航跡規劃的最優控制問題的數值方法可分為直接法和間接法，間接法基于Pontryagin極小值原理推導最優控制的一階必要條件將原問題轉換為哈密頓邊值問題［2]求解，間接法的缺點為存在收斂域小，難以估計協態變量初值等不足，且對于多路徑約束，間接法的推導過程十分復雜。直接法則是采用參數化方法將連續的空間的最優控制問題轉換為非線性規劃（Nonlinear Programming，NLP）問題求解，其避免了間接法在優化過程中遇到的求解兩點邊值問題，使得軌跡優化問題的求解更適用于數字計算機的特點，更加易于實現［3]。近些年來，偽譜法由于具有全局特性、高精度和高效率，在軌跡優化領域得到廣泛的應用。

鑒于以上原因，以半潛式支持平臺為研究對象，利用偽譜法對支持平臺靠泊海上生產平臺進行軌跡優化，得到支持平臺在避開障礙物以及一些約束條件下，以最短時間到達靠泊位置的優化軌跡。常見的偽譜法有 Legendre偽譜法［4]、Radau偽譜法［5]、高斯偽譜法［6]以及Chehyshev偽譜法。

2 問題描述

2.1 半潛式支持平臺動力學模型

在靠泊的過程中，支持平臺在低速狀態下運行。忽略平臺的高頻運動，船舶在橫蕩、縱蕩、艏搖三個方向上的低頻運動數學模型如下［7]：

式中，x，y，φ分別表示支持平臺在大地坐標系下的縱蕩上的位移、橫蕩上的位移和艏搖角度。u，v，r分別表示支持平臺的縱蕩、橫蕩和艏搖速度。V為支持平臺速度矢量V=[uvr]T，M是包含附加質量的系統慣性矩陣，D是水動力阻尼矩陣。

式中：m表示半潛式支持平臺的總質量，Xv?、Yv?、Yr?、Nv?、Nr?為附加質量系數；Iz表示轉動慣性矩陣；xg表示支持平臺中心和重心間的距離，一般取為0；Xu、Yv、Yr、Nv、Nr表示為水動力系數，τenv表示外界環境載荷，其包括風平均載荷、二階波浪漂移力和流平均載荷；τthr表示推進器的推力［8]。

2.2 環境擾動力的數學模型

在支持平臺靠泊的過程中會受到海洋環境（主要包括海風、海浪和海流）的影響。平臺所受到的環境力表示為

式中，τwind，τwave和τcurrent分別表示風力、浪力和流力。它們的數學模型一般采用經驗公式或數值方法來進行估算［9]。

2.3 推力的數學模型

支持平臺的推力系統產生三自由度方向上的縱向合力、橫向合力和回轉力矩可以表示為

式中，(lxilyi)為第i個推進器在水平面的位置，為n個推進器的推力大小的向量表示；α=[α1α2...αn]表示n個推進器推力角度的向量表示［10～11]。

2.4 約束限制

支持平臺在航行的過程中，要避開在航跡過程中的海上設施才能到達目標點。航跡的約束可以表示為

2.5 目標函數

為了縮短支持平臺的靠泊時間，提高靠泊效率，在滿足約束的條件下，以時間最短為性能指標函數，規劃出最優軌跡。因此性能指標可以表示為

式中，t0和tf分別為起始時間和最終時間。

3 偽譜法求解最優控制問題

偽譜法將一個連續的最優控制問題轉化為一個含有若干未知參數的非線性規劃問題，再通過非線性規劃算法進行求解。

Radau偽譜法將支持平臺航跡最優控制問題的狀態變量和控制變量在一系列LGR（Legendre-Gauss-Radau）點上離散，并以離散點為節點構造拉格朗日插值多項式來逼近狀態變量和控制變量。接著通過對全局插值多項式求導來近似狀態變量對時間的導數，從而將微分方程約束轉換為一組代數約束。經過上述變換后，可將最優控制問題轉化為具有一系列代數約束的NLP問題［12～14]。

3.1 最優控制問題

一般的最優控制問題可描述為：尋找最優控制變量u（t），最小化Bolza型目標函數：

3.2 時域變換

設最優控制問題的時間區間為t=[t0，tf]，采用Radau偽譜法則需要將時間區間轉換到［-1，1]。因此對時間變量t作變換：

3.3 離散化

Radau偽譜法選取N階LGR點τn（n=1，2，…，N），即多項式的根，以及τ0=-1為節點，構造N+1個拉格朗日插值多項式Li(τ)（i=0，1，…，N）為基函數近似狀態變量：

其中：

采用N階拉格朗日插值多項式為基函數近似控制變量：

狀態變量的一階微分可通過對式求導來近似，將動力學微分方程約束轉換為代數約束。

式中，Dni由式（19）確定：

其中：

所以動力學方程滿足：

式中，n=1，…，N。

終端狀態Xf可以通過拉格朗日積分得到：

目標函數中的積分項用Gauss積分近似：

其中：

通過上述離散，Radau偽譜法將連續最優控制問題轉換為非線性規劃問題，利用序列二次規劃算法進行尋優，可得到需要的最優軌跡。其設計變量可以包括狀態變量( )X0，X1，…，XN、控 制 變 量初始時刻t0、終端時刻tf，其約束條件為動力學微分方程約束 (R1，R2，...，RN)=0 ，邊界條件和路徑約束分別為

3.4 SQP法求解非線性規劃問題

SQP的基本思想是：在每一次迭代通過求解一個二次規劃子問題（QP）來確定一個下降方向，以減少價值函數來取得步長，重復這些步驟直到求得原問題的解。SQP算法具有整體收斂和局部一次收斂的特性，被認為是目前求解NLP問題最有效的算法之一。

4 仿真結果與分析

支持平臺的靠泊分為三個階段，本文研究的第一階段從距離支持平臺2海里到1千米的過程中，考慮航跡過程中的避障問題，取狀態變量為控制變量為使用偽譜法去規劃最短時間最優軌跡。如圖2所示，在大地坐標系下，OX指向正北方向，OY指向正東方向，運用偽譜法規劃的階段為支持平臺從起點S出發到達終點E的階段。在這個階段內存在兩個障礙物A和B，它們的安全距離范圍為以其外輪廓延伸500m為半徑所確定的范圍［15]。在此情況下去規劃出支持平臺到達終點的最短時間軌跡。

圖1 偽譜法規劃流程圖

圖2 規劃示意圖

4.1 仿真條件

取支持平臺的M和D的參數分別為［16]

支持平臺的裝有6個全回轉推進器，功率為400KW。支持平臺在航行的過程中的速度不超過2kn。取墨西哥灣的海況條件：平均風速為20節；波浪的波長為60m，平均波幅為2.5m，水的密度為1025kg/m3；流速大小為 0.75m/s。

1）初始狀態

2）末端狀態

終端艏向角自由。

3）路徑的約束為

如圖2所示，規劃區域存在兩個障礙物A（2105.37，-1020.66）和B（967.57，-113.12），則在存在障礙物的情況下，路徑約束為

偽譜法仿真是在MATLAB 2012a的仿真環境下運行的，其中通過編寫函數，并調用GPOPS-II軟件算法包來進行優化。

4.2 仿真結果與分析

將偽譜法的節點數分別取為70，80，90，120進行求解，運用Matalba進行仿真，其仿真的結果如表1所示。

表1 節點數不同時的仿真結果

由表1可以看出，運用radau偽譜法對支持平臺的靠泊航跡進行優化時，隨著節點數的增多，計算機進行運算求解所耗的時間也隨之增加，從而計算的代價增大。另一方面，從表中的數據可以看出，節點數不相同時，目標函數優化的結果間的差異較小，從這一對比中可以看出，偽譜法能以較小的代價計算出較高的精度。

取其中節點數為120時進行仿真，仿真結果如圖3所示。

圖3 軌跡圖

圖4 艏向變化圖

圖5 縱蕩速度、橫蕩速度和艏搖角速度變化圖

圖6 f1、α1、f2和 α2變化圖

圖7 軌跡規劃總體圖

圖3、圖4和圖5為支持平臺的狀態變量的變化曲線，從中可以看出圖形的變化較為平滑，滿足相應的約束條件且到達了目標點；圖6為控制變量的變化圖，由于控制變量較多，取其中兩個推進器的推力和方位角的變化圖，可以看出它們滿足相應的約束條件下，其變化曲線相對比較平滑，從而可以實現對支持平臺較好的控制。

圖7給出了節點數為120時，規劃出以時間最短為性能指標的支持平臺的軌跡規劃總體圖。在求解支持平臺最優軌跡時，從軌跡圖中可以看出，在滿足約束條件下，支持平臺能夠與障礙物保持安全距離即避過障礙物，經過約3137s后到達終點。其中航行中控制變量變化曲線較平滑，對于支持平臺的航行具有較好的可實現性。

5 結語

針對半潛式支持平臺靠泊鉆井平臺的軌跡優化問題展開研究，建立了適合于支持平臺的運動模型。采用Radau偽譜法對支持平臺進行軌跡優化，考慮了支持平臺的模型，狀態量約束，控制量約束以及避碰約束，使得設計的最短時間軌跡能夠滿足工程實際的需要。通過仿真結果表明，偽譜法能夠以較小的計算代價獲得較高的求解精度，得到的一些控制量有較好的可實現性，具有以最短時間到達靠泊點的可能，為平臺避碰航行規劃提供了一種較為良好優化效果的方法。在下一步的研究中，將會根據需求添加約束以及研究平臺后續的靠泊路徑規劃。