跨欄中的數(shù)學(xué)模型

楊卓橋

摘要：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，而數(shù)學(xué)模型則是其中的橋梁。運(yùn)動(dòng)軌跡模型是數(shù)學(xué)模型中最常見的模型之一。跨欄屬于田徑運(yùn)動(dòng)，其要求在一定距離內(nèi)，跨過一定高度和數(shù)量的欄桿。研究跨欄中的數(shù)學(xué)模型不僅有助于運(yùn)動(dòng)員取得更好成績(jī)，而且還能發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)世界。文章從跨欄運(yùn)動(dòng)出發(fā)，通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，在考慮空氣阻力和不考慮空氣阻力兩方面，對(duì)起跨距離、起跨角以及后蹬作用時(shí)間等方面進(jìn)行分析，并得出結(jié)論。文章提出的跨欄數(shù)學(xué)模型也可以運(yùn)用于機(jī)器人對(duì)于角度和距離的選擇上，從而讓機(jī)器人能夠更好地對(duì)角度以及距離做出最優(yōu)判斷。

關(guān)鍵詞：空氣阻力;運(yùn)動(dòng)軌跡模型;運(yùn)動(dòng)的分解;力的分解

一、問題背景

18世紀(jì)前后，英國(guó)的畜牧業(yè)相當(dāng)發(fā)達(dá)，牧民跨越畜欄追趕牲畜是基本的生活技能。年輕人把柵欄搬到平地上，設(shè)置若干個(gè)障礙物，誰(shuí)能跑在最前面，誰(shuí)就能贏得獎(jiǎng)勵(lì)，這是跨欄運(yùn)動(dòng)的雛形。

跨欄運(yùn)動(dòng)是速度與技術(shù)的完美結(jié)合，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和訓(xùn)練水平的提高，競(jìng)爭(zhēng)也越來(lái)越激烈，對(duì)運(yùn)動(dòng)員各方面素質(zhì)的要求也越來(lái)越高，為使運(yùn)動(dòng)員能夠更加科學(xué)地運(yùn)用跨欄技巧，現(xiàn)提出以下有待深入探究的問題。

1.如何選擇跨欄時(shí)起跨角;2.起跨距離對(duì)跨欄會(huì)有什么影響;3.后蹬作用時(shí)間對(duì)跨欄會(huì)有什么影響;4.到達(dá)起跨點(diǎn)的瞬時(shí)水平速度對(duì)跨欄會(huì)有什么影響。

二、模型假設(shè)

1.不考慮欄間平均水平速度對(duì)跨欄的影響;2.不考慮風(fēng)速對(duì)跨欄的影響;3.人體重心位置是人體的黃金分割點(diǎn);4.人體在欄桿正上方時(shí)重心位置和欄桿距離不變;5.空氣密度、空氣阻力系數(shù)不變;6.人為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)位置即為重心位置。

三、模型建立與問題分析

跨欄可以看作是質(zhì)點(diǎn)做周期性拋物線運(yùn)動(dòng)，在實(shí)際中有許多影響跨欄的因素，為了探討這些因素，可以通過建立運(yùn)動(dòng)軌跡數(shù)學(xué)模型，利用運(yùn)動(dòng)的分解、力的分解、二次函數(shù)以及物理的其他相關(guān)知識(shí)，得出跨欄與起跨角的初步關(guān)系。

根據(jù)圖1，設(shè)定以下參數(shù)（核心自變量V0、S0、t）。

h：欄桿高度

h0：人體重心高度（取人體的黃金分割點(diǎn)）

h1：人體重心高度與欄桿頂最小距離

g：重力加速度

m：人體質(zhì)量

A0：人體直立時(shí)的正面面積

V0：到達(dá)起跨點(diǎn)的瞬時(shí)水平速度

S0：起跨距離

f：后蹬反作用力

t：后蹬作用時(shí)間

t0：起跳到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間

F′：空氣阻力

c：阻力系數(shù)

ρ：空氣密度

θ：起跨角

通過查閱資料可得到以下關(guān)于欄架高度的數(shù)據(jù)：

女子100米欄的欄架標(biāo)準(zhǔn)高度0.840m;

女子400米欄的欄架標(biāo)準(zhǔn)高度0.762m;

男子110米欄的欄架標(biāo)準(zhǔn)高度1.067m;

男子400米欄的欄架標(biāo)準(zhǔn)高度0.914m;

本文選擇男子110米欄進(jìn)行分析，即欄架高度h取1.067m。

（一）在不計(jì)空氣阻力的情況下

首先由f，θ，得到f在水平方向上的分力Fx大小為：

Fx=f*cosθ （1）

f在后蹬作用時(shí)間t內(nèi)，所對(duì)應(yīng)的Fx產(chǎn)生的后蹬水平速度為Fx*t/m，則此時(shí)水平方向速度為：

Vx=V0+Fx*t/m（2）

假設(shè)從起跳離開地面開始計(jì)時(shí)，用t0表示到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間，若當(dāng)最高點(diǎn)在欄桿正上方距離h1處為要到達(dá)的最佳點(diǎn)，則可用以下公式表示t0與高度的關(guān)系：

由公式（3）可知，起跳后到達(dá)最高點(diǎn)的最佳時(shí)間為：

由公式（1）、（2）、（4）可知，起跨距離為：

1. 通過改變S0，得出S0與θ的關(guān)系

假設(shè)到達(dá)起跨點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)水平速度V0=5.0m/s，f為800N為，m為55kg，人體重心高度與欄桿最小距離h1取0.23m，人體的重心高度h0取1.05m，欄架高度h取1.067m，g取9.8/m/s2，后蹬作用時(shí)間t取0.30s。

當(dāng)已知S0，如何控制θ，達(dá)到最佳起跳狀態(tài)。

依據(jù)公式（5）得到如下數(shù)據(jù)：

當(dāng)S0分別為1.35m、1.40m、1.45m、1.50m、1.55m、1.60m時(shí)，

對(duì)應(yīng)θ，分別為76.6°、73.6°、70.5°、67.3°、64.1°、60.8°。

通過對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可得，隨著S0增大，θ不斷減小。

2. 通過改變S0，得出S0與時(shí)間t的關(guān)系

假設(shè)到達(dá)起跨點(diǎn)的瞬時(shí)水平速度V0=5.0m/s，后蹬反作用力f為800N，質(zhì)量m為55kg，人體重心高度與欄桿頂最小距離h1取0.23m，人體的重心高度h0取1.05m，欄架高度h取1.067m，重力加速度g取9.8m/s2，起跨角θ取700。

當(dāng)已知S0，如何控制t后，達(dá)到最佳起跳狀態(tài)。

依據(jù)公式（5）得到如下數(shù)據(jù)：

當(dāng)S0分別為1.35m、1.40m、1.45m、1.50m、1.55m、1.60m時(shí)，

t分別為0.20s、0.25s、0.29s、0.34s、0.38s、0.43s。

隨著S0增大，t不斷增大。

（二）考慮空氣阻力影響的情況下

假設(shè)空氣的阻力在豎直方向上忽略不計(jì)，空氣密度不變、運(yùn)動(dòng)員的人體直立時(shí)的正面面積近似于運(yùn)動(dòng)時(shí)的正面面積，此時(shí)空氣阻力大小為：

由力f，空氣的阻力′，起跨角θ，可以得到力f在水平方向上的分力大小為f*cosθ，水平方向上的合力Fx大小為：

Fx=f*cosθ-F′（7）

由公式（2）、（4）、（6）、（7）可知，跨欄時(shí)的起跨距離為：

1. 通過改變S0，得出S0與θ的關(guān)系

假設(shè)到達(dá)起跨點(diǎn)的瞬時(shí)水平速度V0=5.0m/s，后蹬反作用力f取800N，質(zhì)量m為55kg，人體重心高度與欄桿頂最小距離h1取0.23m，人體的重心高度h0取1.05m，欄架高度h取1.067m，后蹬作用時(shí)間t取0.30s，重力加速度g取9.8m/s2，空氣密度ρ取1/29kg/m3，空氣阻力系數(shù)c取1.0，人體直立時(shí)的正面面積A0取1.0m2。

當(dāng)已知S0，如何控制θ，達(dá)到最佳起跳狀態(tài)。

可依據(jù)公式（8）得到如下數(shù)據(jù)：

當(dāng)S0分別為1.35m、1.40m、1.45m、1.50m、1.55m、1.60m時(shí)，

θ分別為75.4°、72.3°、69.2°、66.1°、62.8°、59.5°。

隨著S0增大，θ不斷減小。

2. 通過不斷改變，得出與時(shí)間的關(guān)系

假設(shè)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)起跨點(diǎn)的瞬時(shí)水平速度V0=5.0m/s，力f大小800N，質(zhì)量m為55kg，人體重心高度與欄桿頂最小距離h1取0.23m，人體高度取1.05m，欄桿高度h取1.067m，起跨角θ取70°，重力加速度g取9.8m/s2，空氣密度ρ取1.29kg/m3，空氣阻力系數(shù)c取1.0，人體直立時(shí)的正面面積A0取1.0m2。

當(dāng)已知S0，如何控制時(shí)間t，達(dá)到最佳起跳狀態(tài)。

依據(jù)公式（8）得到如下數(shù)據(jù)：

當(dāng)S0分別為1.35m、1.40m、1.45m、1.50m、1.55m、1.60m時(shí)，

t分別為0.22s、0.26s、0.31s、0.36s、0.40s、0.45s。

隨著S0增大，時(shí)間t不斷增大。

（三）研究最優(yōu)起跨角θ0的取值

1. 假設(shè)不考慮空氣阻力的影響，后蹬反作用力f是已知的，設(shè)f=1000N，研究θ0的取值，變量有V0，S0，t

由公式（1）、（2）、（4）、（5），可知起跨角的最佳取值為：

存在θ0=θ（V0，S0，t）。

2. 假設(shè)不考慮自然風(fēng)的影響，空氣阻力F′，后蹬反作用力f是已知的，假設(shè)f=1000N，研究θ0的取值，變量有V0，S0，t

由公式（2）、（4）、（6）、（7）、（8）可知，起跨角的最佳取值為：

存在θ0=（V0，S0，t）。

分析表1數(shù)據(jù)，可得到θ0與其他變量之間的關(guān)系為：

（1）在其他參數(shù)不變時(shí)，隨著V0的增大，θ0逐漸增大;

（2）在其他參數(shù)不變時(shí)，隨著S0的增大，θ0逐漸減小;

（3）在其他參數(shù)不變時(shí)，隨著t的增大，θ0逐漸增大;

（4）在相同參數(shù)下，由于存在空氣阻力，需要將水平方向上的分力略微增大，此時(shí)選擇的θ0比不考慮空氣阻力時(shí)略微減小。

四、總結(jié)

通過建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型并逐步進(jìn)行分析，提出的問題基本得到解決，具有一定的實(shí)用性。而且通過研究跨欄的數(shù)學(xué)模型不僅可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，還能加深對(duì)高中數(shù)學(xué)與物理中有關(guān)運(yùn)動(dòng)問題的理解。根據(jù)跨欄的實(shí)際情況（如：后蹬反作用力、后蹬作用時(shí)間、起跨距離、人體重心位置等因素）來(lái)確定起跨角。在跨欄的過程中，自然風(fēng)對(duì)于運(yùn)動(dòng)員跨欄的影響，在本文中沒有深入討論，是此數(shù)學(xué)模型的局限之一。另外，此數(shù)學(xué)模型理念也可以運(yùn)用于機(jī)器人對(duì)于角度和距離的選擇問題上。希望此文對(duì)跨欄運(yùn)動(dòng)員能有所幫助。