“非同尋常”的思考

林凡悅

【中圖分類號】G623.5 ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）28-0124-02

看到的：

有些求長方體（立方體）表面積的題目，在學生學習了長方體（立方體）的表面積后很容易就能解決，但有些題目學生按照常理則無從下手。例如，《義務教育六年制小學數學》第十冊作業本中，有這樣一道題目：

一個立方體的表面積是48平方厘米，把它平均分成兩個長方體，每個長方體的表面積是多少？

這道題目我們如果用常規思維思考，要求出每個長方體的表面積是多少，應該先求出長方體的長、寬和高，可長方體的長、寬和高則應該通過立方體的棱長來求，這個立方體的表面積是48平方厘米，因此每個面的面積就是48÷6=8（平方厘米）。而面積是8平方厘米的正方形在小學階段根本無法求出它的邊長，也就是無法知道這個立方體的棱長，因此這種常規思維根本就無法解決這個問題。

可如果我們換一種角度思考，那么不僅可以化難為易，而且還可以用多種方法來解決這個問題。

例如，方法一：把一個立方體平均分成兩個長方體，可以怎樣分呢？無非就是沿著上下面或前后面或左右面的中線切一刀，一刀下去就會多出2個面的面積（這2個面的面積和原來立方體每個面的面積相等），那么平均每個長方體就多出了一個面的面積，即：48÷6=8（平方厘米），加上原來48平方厘米平均分成兩份后每個長方體有：48÷2=24（平方厘米），因此每個長方體的表面積就是：8+24=32（平方厘米）。

方法二：把立方體平均分成兩個長方體，就會多出2個面的面積（這2個面的面積和原來立方體每個面的面積相等），那么2個長方體總的表面積就是：48+48÷6×2=64（平方厘米），因此每個長方體的表面積就是：64÷2=32（平方厘米）。

方法三：不管怎么分，只要把立方體平均分成兩個長方體，每個長方體中都會有2個面和原來立方體每個面的面積一樣，其余4個面的面積則是原來立方體每個面的面積的一半，也就相當于原來立方體2個面的面積，那么每個長方體的表面積就是原來立方體4個面的面積，即：48÷6×4=32（平方厘米）。

方法四：不管怎么分，只要把立方體平均分成兩個長方體，每個長方體中都會有2個面和原來立方體每個面的面積一樣，即：48÷6=8（平方厘米），其余4個面的面積則是原來立方體每個面的面積的一半，即：48÷6÷2=4（平方厘米）那么每個長方體的表面積就是：8×2+4×4=32（平方厘米）。

想到的：

“司馬光砸缸”眾所周知，多少年來，司馬光也一直被人們當作神童傳頌，并且成為教育兒童、開發智慧的典范，就是因為司馬光有非同一般的表現。如果我們按照常規來救人，想到的肯定是讓落水者“人離水”，而司馬光砸缸救人想的卻是“水離人”。他在解決救人問題中所體現出來的就是一種創新思維。今天，一道用常規思維無法解決的小學數學幾何題，運用創新思維竟然出現了四種（甚至更多）不同的解題方法。

其實，在我們的教學實踐中也常常會發現，絕大多數學生在解題時往往是按常規思維思考，雖然這種思維方式有一定的優勢，但有些數學問題如果按常規思考就會顯得極為繁瑣、復雜，甚至根本無法求解。此時如果能變通一下角度，創新一下我們的思維，便能使問題化難為易，化繁為簡。事實上，“創新潛能人皆有之”，即便是小學生也有無窮的創新潛力。可如何有效地在我們的數學教學中培養學生的創新思維呢？在此，我想從逆向思維和批判性思維兩方面的培養入手，談幾點個人粗淺的看法：

一、培養學生的逆向思維，求“創新”。

`所謂逆向思維，我的理解是站在問題情景的對立面或逆向位置，提出與之相反或相逆的設想，進而產生出新的結論或問題，是一種具有鮮明創新特點的思維方式。因此，我們數學教師應該把它作為創新思維培養的重要內容，從小抓起。

（一）利用數學概念和公式的正、逆關系，培養學生的逆向思維。在平時的學習中，學生經常習慣于從左到右的運用，于是形成了定性思維，對于逆用概念很不習慣。而我們的概念、定義常常是雙向的，例如：“兩腰相等的梯形是等腰梯形” （正向思維），“等腰梯形是兩腰相等的梯形” （逆向思維）;“長、寬、高都相等的長方體叫做正方體”，所以“正方體是長、寬、高都相等的長方體”（逆向思維）;“含有未知數的等式叫做方程”（正向思維），所以“方程是含有未知數的等式” （逆向思維）等等。因此，我認為，在這些概念的教學中，我們除了要讓學生理解概念本身及其常規應用外，還應該要引導啟發學生反過來思考，這樣不但可以加深對概念的理解與拓展，而且可以促進逆向思維的培養。

又例如：長方形的面積=長×寬，如果題目中已知長方形的面積和長，求長方形的寬，我們就可以引導學生依據乘除法的互逆關系學會靈活運用公式，即：長方形的寬=長方形的面積÷長。梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，根據這個公式我們可以知道：梯形的上底=梯形的面積×2÷高-下底;梯形的下底=梯形的面積×2÷高-上底;梯形的高=梯形的面積×2÷（上底+下底），這樣我們就可以簡單地解決求梯形上底、下底和高的問題了。

其實，在我們數學中，概念和公式的正、逆關系比比皆是。數學公式的從左到右和從右到左，這樣的轉換也正是由正向思維轉到逆向思維的體現，是創新思維的體現。雖然這種思維習慣和方式在很大程度上與一個人先天的個性品質有關，但只要我們引起足夠的重視，在平常教學實踐中多提供一些合適、有效的素材，堅持不斷地進行訓練，我想肯定可以達到比較理想的效果。

（二）重視編排逆向訓練的習題，培養學生的逆向思維。逆向思維的訓練是一個持久的過程。因此，在教學中我們要精心設計好練習，有意識地編排順、逆雙向配對的練習題，為學生提供逆向思維的材料，并且想方設法通過不同層次的練習題對學生進行逆向思維訓練。另外，還要多鼓勵學生突破常規的思維方式，敢于想象，敢于標新立異。

例如，五年級數學競賽中就出現了這樣一道題：“某池塘的睡蓮每天長大一倍，50天就把整個池塘遮住，問睡蓮遮住半個池塘，需要多少時間？”這道題如果用一般的方法思考好象條件不夠，但用分析法“倒過來想”求解卻非常簡單。因為睡蓮長滿整個池塘是半個池塘的兩倍，也就是長滿整個池塘比半個池塘大一倍，所以從半個池塘長滿到整個池塘只需要一天，因此睡蓮遮住半個池塘需要：50-1=49（天）。

總之，有效地培養學生的逆向思維能力，不僅對學生提高解題能力有益，更重要的是可以改善學生學習數學的思維方式，有助于學生形成良好的思維習慣，培養學生良好的思維品質，提高他們的學習效果、學習興趣，以致于提高全體學生的思維能力和整體素質。

二、培養學生的批判性思維，“促”創新。

所謂批判性思維，我的理解就是對所看到的東西的性質、價值、精確性和真實性等方面作出個人的判斷，以及對做什么和相信什么作出合理決策的能力。如果說創造性思維是所謂的多謀，那么批判性思維就是所謂的善斷。批判性思維者要具有批判精神，要時刻用批判的眼光看待問題。因此，我認為培養學生的批判性思維品質，對學生思維能力的培養和數學知識的學習都有重要的作用。

（一）創設問題情境，鼓勵學生敢于懷疑。創設問題情境并非一般的提出問題，更重要的在于創造質疑誘思之境，讓學生在比較熟悉的主題中，獲得批判性思維最容易的技能。當然，問題情境可以是獨立的，也可以融于其他的問題情境之中。我們要把學生從狹窄的課堂港灣，引向校園外浩瀚的知識海洋，讓學生知道人類生活的一切時間和空間都是他們學習的課堂;我們要告訴學生怎樣去思考問題，教給學生面對陌生領域尋找答案的方法，訓練學生綜合運用知識進行創新的能力;我們更要引導學生各抒己見，形成批判性思維的習慣：要不畏權威，不迷信書本和權威的結論，敢于發表自己不同的見解。

（二）展開問題討論，給足學生思維的展示空間。目前，在探究性學習中，學生的思維必然要遇到各種問題、疑難和錯誤。我認為，要培養學生的批判性思維，討論是一種良好的學習方法，學生通過對問題的討論可辨明是非、正誤，提高學生分析問題的能力和應用知識的能力，使學生的思維批判性品質得到培養。

因此，在教學中，我們應舍得花時間與精力，給足學生思維的展示空間，通過教師的點撥與引導，讓學生把批判性思維充分展示出來，使學生敢于追求以往不曾有的觀念，有時甚至可以借助反方角色的扮演來促進智慧勇氣。當然，在討論中，我們要公平對待一切觀點。要為學生提供彼此堅持各自立場、修正對方誤解的機會，進而讓學生說明伙伴之間為什么會有不同見解，同時從自己不同意的立場來揭示理由。

另外，對于課本上的練習題，教師也可發動學生展開討論，拓寬思路，各抒己見。對于學生的問答，教師也不能以簡單的“對”或“不對”來做結論，可引導學生通過實驗驗證、理論分析等進行評判對錯。這樣做，既能使學生從正反兩方面加深對問題的認識，又能使學生從錯誤中吸取教訓，避免再次犯類似的錯誤，還能培養學生思維的批判性，在互相啟發與爭辯中共同提高。不過教師在幫助學生解決思維活動中的問題時，應該慎重、冷靜、機智，最好讓學生自悟、自得。

（三）不斷完善自我，敢于帶頭自我批判。學生批判性思維的培養，對教師也提出了更高的要求，我們教師不僅要擴展知識面，而且必須具有批判性思維的品質。對于我們來說，能發現自己教學的不足或知識上某些方面的缺陷，不斷加以改進和完善，也體現著批判性思維。

葉圣陶老先生說過：“人人即是創造之才，時時即是創造之機，處處即是創造之地”。其實創造并不神秘，創新是人之本能。只要我們善于發現，適時適度地引導學生進行創造性學習，有意識地進行這方面的訓練。那么，學生的創新精神和創新能力就會得到良好地培養和發展。