分析高中數學數形結合的解題技巧

■張宇輝

引言：在高中數學中,存在很多的思想方法,而數形結合思想的運用非常廣泛,數和形的充分結合,可以使一些復雜數學問題變得簡單明了,簡化解題過程,達到快速解答問題的目的。如在高中數學中,集合是非常重要的內容,同學們在解答過程中往往會因為理解不到位,而出現這樣或那樣的錯誤。再如函數問題,也充分體現了數形結合的思想。下面就從兩個方面來闡述一下數形結合思想的好處。

一、借助數形結合思想，解決集合類型問題

在高中數學中,集合主要是用圖形的形式呈現出來的,可以借助圖形解決相關問題。

例如:已知在對農戶的某一抽樣調查中,擁有電冰箱的占49%,擁有電視機的占85%,擁有洗衣機的占44%,擁有兩種電器以上的有63%,三種電器齊全的有25%,那么一種電器也沒有的所占的比例為多少?

分析：在這道題目的解答過程中,就可以充分利用集合與韋恩圖的知識,快速實現問題的解答。如圖1所示,假設調查了100戶,全集U={被調查的100戶農戶},A={100戶中擁有電冰箱的農戶},B={100戶中擁有電視機的農戶},C={100戶中擁有洗衣機的農戶},就可以得到三者都沒有的農戶所占的比例為10%,從而準確地求出答案。

圖1

二、運用數形結合思想解決函數問題

函數是高中數學中非常重要的內容,是學習的重點,也是同學們面臨的難點。在具體解答的過程中,需要考慮函數的相關性質,根據具體的情況開展相應的討論。

例如:求拋物線y2=4x上到焦點F的距離與到點A(3,2)的距離之和最小的點P的坐標,并求這個最小值。

分析：猛一看題目,很多同學并不能一下子找到解題思路,這就需要仔細觀察,想想拋物線的定義,借助數形結合思想來解決。P是拋物線y2=4x上的點,這是我們所知道的條件,利用學過的相關知識,可以過P作拋物線的準線l的垂線,垂足為D,連接PF(F為拋物線的焦點),由拋物線的定義可知:｜PF｜=｜PD｜,｜PA｜+｜PF｜=｜PA｜+｜PD｜。這時候,我們可以過點A作準線l的垂線,垂足為Q,我們可以很直觀地看到,直線的長度明顯小于折線的長度,這就和傳統題目聯系上了,直線必定過拋物線,拋物線上的點就是我們所求的點。直線AQ平行于x軸,且過A(3,2),所以其方程為y=2,代入y2=4x,得x=1。點P(1,2)與F、A的距離之和最小,最小距離為4。同學們先在草稿紙上畫出草圖,然后應用數形結合的思想進行分析,可以找到最佳的解決方法。

三、總結

數形結合的思想在高中數學中的運用是十分普遍的,可以充分鍛煉同學們的發散思維能力和數形結合能力,所以同學們在學習的過程中,要充分拓展解題思路,不斷探索,靈活運用好數形結合的思想。