核心素養視角下“推理思想”的教學思考與實踐

邵陳標

（寧波大學附屬學校，浙江 寧波 315021）

推理是數學的基本思維方式，也是數學學科的核心素養之一。史寧中教授認為，“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型”[1]。這三個基本數學思想是“讓學生學會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界”的基礎和具體體現。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）把“推理能力”作為核心概念之一，確立了推理思想的重要地位。在小學數學教學中所涉及的“推理思想”內容十分豐富，筆者對“推理思想”的內涵與具體體現做了分析梳理，并提出相應的教學策略。

一、“推理思想”的內涵

（一）推理思想的概念

推理是從一個或幾個已有的命題得出另一個新命題的思維形式[2]。廣義地說，一切數學公式、定理和法則等都是推理的結果。狹義地看，推理是從事實和命題出發，依據規則推出一個命題的思維過程。《課標》指出“推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)和確定的規則(包括運算的定義、法則、順序等)出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論”[3]。由此可見，合情推理與演繹推理在數學學習中都很重要，不能厚此薄彼。

（二）小學數學的合情推理和演繹推理

1.小學數學的合情推理

合情推理包括歸納推理和類比推理。歸納推理是一種從特殊到一般的推理，是一種基于推斷的推理。它包括歸納法、簡單枚舉法、類比法、數據分析法等，通過歸納推理得到的結論是或然的。很多數學結論都是先通過歸納推理得到結論，再以演繹推理加以證明。如費馬達定理幾百年前就被發現了，到20世紀末才被數學界證明。類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的推理方法，也叫類比法。

研究表明，體會并逐步掌握合情推理對于培養學生的發現能力和創新意識具有重要意義。如果說歸納更多地依賴于規律的發現，那么類比則更多地依賴于跳躍的聯想。

2.小學數學的演繹推理

演繹推理是一種由一般到特殊的推理方法[4]。最基本的形式是三段論，它包含大前提、小前提和結論的論證形式。在小學數學教學中，很少涉及數學證明這樣嚴格規范的演繹推理，但演繹推理的思想處處可見。平行四邊形面積公式的推導是運用演繹的方式得到的：通過剪拼不難發現拼成后的平行四邊形的面積等于長方形的面積，平行四邊形的底等于長方形的長，平行四邊形的高等于長方形的寬，因為長方形的面積等于長乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘高。學生對演繹思想的體悟和感受，不僅有助于建立對數學結論確定性的信念，培養合乎邏輯的表達能力，同時也有助于對數學知識的理解，提高分析和解決問題的能力。

二、小學數學教材中“推理思想”的具體體現

借鑒人教社小學數學編輯室王永春老師在《小學數學與數學思想方法》一書中對推理思想的闡述，筆者對人教版教材的推理思想進一步梳理和歸納。

（一）合情推理的具體應用

合情推理在小學數學教學中應用比較廣泛。很多運算法則、公式、定律等的推導與應用，都是在列舉幾個特殊例子的基礎上歸納、類比得出的。

1.法則的歸納和類比

整數四則運算的法則，都是通過幾個有限的由易到難的例子，讓學生在理解算理和口算方法的基礎上探索計算方法，最后進行算法的總結，這種法則的得出就是運用歸納法，如多位數乘一位數法則的歸納總結，多位數乘多位數的類比。

2.性質的歸納和類比

商不變的性質、小數的性質、分數的性質、比和比例性質、等式的性質等，都是通過幾個例子，讓學生進行探索、交流，最后歸納總結而得到的。如商不變的性質，讓學生計算并觀察一組算式，探索并歸納規律。分數、比的基本性質則是在此基礎上的類比。

3.公式的歸納和類比

小學數學的數量關系式與計算公式，主要是圖形的周長、面積和體積公式，及比、正比例、反比例、比例尺、百分數等的應用和計算，是在學生探索、交流的基礎上歸納得到的，如長方形面積的計算公式推導。而三角形、梯形和圓面積公式推導都是在類比平行四邊形面積基礎上產生的。

4.定律的歸納和類比

小學生最早學習的運算律是關于整數加法和乘法的運算定律，引導學生通過計算幾組算式來猜想并歸納規律，由整數運算定律類比推廣到小數、分數運算中。

5.規律的歸納和類比

小學數學中的規律主要有圖形、數列、算式的規律，乘法和除法的變化規律，排列組合的規律，這些規律的發現主要是通過對一些例子的觀察、比較、聯想，再提出猜想，這是歸納法的典型應用。

6.平面與立體、數與形的類比等

小學數學教材中涉及類比思想的內容還包括數與形的類比、特殊與一般的類比、平面與立體的類比、有限與無限的類比等。學習立體圖形有關知識時，可把立體與平面進行類比。如體積與面積進行類比，面積是求一個平面圖形所占平面的大小，即含有多少個單位面積；體積是求一個立體圖形所占空間的大小，即含有多少個單位體積，本質上都是用單位1 去度量。面積公式和體積公式的探索、推導過程和方法是類似的。

（二）演繹推理的具體應用

演繹推理作為數學的一種重要證明方法，在小學數學中雖然沒有初中類似于數學證明等嚴密規范的演繹推理，但是很多結論的推導過程中應用了演繹推理的省略形式。小學生在解題時經常不自覺地運用演繹推理，這時，教師經常問學生“為什么”，訓練學生敘述推理的依據，養成推理有據的好習慣。小學數學演繹推理的應用見表1[5]。

表1 小學數學演繹推理的應用

三、小學數學“推理思想”滲透的教學策略

（一）把握總原則，明確階段性目標

《課標》指出“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。……推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。”[6]因此，教師應把握滲透推理思想的基本原則：適時適當、貫穿始終。“適時適當”指在合適的時機做合適的事，數學思想方法該露臉時就露臉，根據需要，對數學思想方法進行提煉、歸納和概括。“貫穿始終”首先指推理思想的滲透應該是一個長期的動態發展過程；其次指推理思想滲透融合在整個教學過程中，落實到“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個領域的內容之中。

例如，平面圖形面積計算公式的推導中，推理思想貫穿始終，逐級上升。在“長方形和正方形的面積計算”教學時，作為學習平面圖形面積計算的起始課，突出對面積計算的意義理解，建立計算公式與乘法意義的聯系，初步體驗歸納思想。在推導“平行四邊形的面積計算公式”中著重突出“轉化（即化歸）”思想；在探索“三角形面積”時，通過對三角形分類研究，突出歸納推理；而當學習“梯形面積”時，放手讓學生自主探索梯形面積計算公式，自覺運用歸納和類比推理。到學習“圓的面積”時，通過“類比”將圓“轉化”為學過的圖形，感受化曲為直過程中的類比、極限等思想。并在解決組合圖形面積問題時，強化歸納、類比等思想，從而提升對推理思想的認識。

因此，教師應根據學生與教材實際，準確把握教學要求和滲透推理思想的“度”與“量”，進行合理準確的目標定位，做到有意識、有目的地凸現推理思想。

根據《課標》關于“數學思考”分階段的目標要求，以及不同年齡學生推理能力的發展水平，建構分層次、分階段的目標體系（參見表2、表3）。

（二）設計有效活動，經歷推理全過程

推理思想滲透要求學生自己“悟”，不應強行灌輸，這種“悟”只有在親歷數學活動中才能進行。因此，教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比等“做數學”活動探索發現，經歷生動直觀的數學活動過程，發展合情推理和演繹推理能力。

1.經歷合情推理到演繹推理的過程

著名心理學家朱智賢說過：“小學生思維是以形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。”因此，在小學數學推理教學中，教師既要允許學生“大膽猜測”，又要引導學生“小心求證”，逐步意識到結論的正確性需要演繹推理的確認，從而由合情推理過渡到演繹推理，感悟推理思想。

表2 小學合情推理教學目標

表3 小學演繹推理教學目標

案例1：“三角形內角和”教學中的推理片段

第一環節：游戲導入，引發猜想

（1）課件出示三角形的一個角，猜猜是什么三角形？復習三角形的分類，認識三角形的“內角”。

（2）演示拉動三角形頂點，使高慢慢增長或縮短，觀察：拉動過程中，三角形的三個內角會有什么變化？想象一下：不斷上拉或下拉，內角會怎么樣？在討論中形成猜想：內角和可能是固定的，可能180度等。

（3）聚焦問題：如何來驗證我們的猜想？

第二環節：操作實驗，推理驗證

（1）討論用什么樣的材料驗證。三角形有無數個，對哪些三角形驗證才能說明問題？得出按角分類的三角形作為研究材料，分類驗證。

（2）討論驗證方法，學生先說說打算用哪些方法。

（3）小組合作探究。提供各種類型的三角形和幾張長方形、正方形紙片。

（4）全班交流匯報。①測量的方法，展示各種三角形測得的度數，討論這種方法有什么問題？如何避免誤差？

②剪拼的方法。分別剪下三角形三個角拼成平角；折拼成平角的。

③初步推理。通過沿長方形對角線對折得到兩個三角形，推理得到每個直角三角形的內角和。質疑：你怎么知道兩個直角三角形完全相同？這樣做證明了什么？銳角和鈍角三角形不能像這樣正好拼成長方形，它們的內角和是180°怎么來說明呢？學生結合圖示驗證：在三角形內作高，分成兩個直角三角形驗證。

（5）課件演示剪拼、推理過程，介紹發現這一規律的科學家帕斯卡。再用幾何畫板動態演示不同形狀三角形內角度數，使學生感受到三角形內角和與三角形大小形狀無關。

以上過程，提供充足的探究時間和材料，引導學生經歷“猜想——操作——驗證——再操作——再驗證”的推理過程。第一環節的演示觀察、形成猜想是合情推理的過程，第二環節的剪拼法則是演繹推理的過程。這樣教學，學生不再停留于表面現象，而通過抓住轉化為平角的本質，探索各類三角形的內角和規律。不僅呈現了知識發現與形成過程，更加關注由合情推理過渡到演繹推理，兩者有機融合，促進和諧發展。

2.經歷歸納推理到類比推理的過程

數學中歸納和類比往往相輔相成，經過歸納推理得到的結論需要進一步通過類比拓展運用。因此，教師既要注重新舊知識間的聯系轉化，又要讓學生經歷歸納到類比推理的過程，運用類比推理解決新問題，發現新規律，提高推理能力。

案例2：“多邊形的內角和”教學片段

第一環節：探索四邊形的內角和

（1）出示一個三角形，如果剪掉一個角，剩下的是什么圖形？大膽猜想一下四邊形的內角和是多少度？

（2）驗證猜想，解決問題

①思考：我們學過的四邊形有哪些？出示長方形、正方形、平行四邊形、梯形等。你準備用什么方法驗證你的猜想？（生：用量角器量；剪拼法；分割法。）

②小組合作，選擇你喜歡的方式來驗證。

③交流反饋：你們組是怎么研究的？得出什么結論？

（3）回顧與反思：剛才證明了四邊形的內角和是360°，最好的辦法是怎樣的？把這個四邊形分割成兩個三角形，兩個三角形的內角和為什么就是四邊形的內角和呢？

第二環節：類推多邊形內角和

（1）思考：如何求五邊形、六邊形的內角和？

（2）分析：多邊形內角和與三角形個數有什么關系呢？是否存在規律？學生小組討論，通過列表觀察、推理，發現多邊形邊數與分割成的三角形個數之間的關系：多邊形邊數比三角形個數多2，即n邊形可分為（n-2）個三角形，最終得出公式：n 邊形的內角和=180°×（n-2）。

上述過程中，探究四邊形內角和環節，學生自主猜想、用不同方法驗證不同的四邊形內角和，由特殊四邊形到一般四邊形，經歷不完全歸納推理的過程，同時感悟轉化思想，經歷“再創造”。

在此基礎上，借助探究四邊形內角和的經驗，運用“轉化”策略，將多邊形分割成若干個三角形，類比推理多邊形的內角和，體驗內角和公式的猜想與歸納過程，從而體會感悟歸納思想，實現思維能力的提升。

（三）以問題解決為核心，把握推理的層次性和差異性

由于數學思想方法具有概括性和層次性，為避免數學思想方法教學在同一水平上反復，有必要根據學習內容的特點，圍繞問題解決，理清內在的邏輯層次，把握好推理思想教學的層次性和差異性，經歷自主探索問題、解決問題的過程，不斷激發學生的創造潛能，鍛煉學生邏輯思維能力。

1.經歷“猜想——驗證”過程，體現層次性

學生對數學思想的認識是在反復理解和運用中形成的，是一個低級到高級螺旋上升過程。因此，對同一種數學思想的體悟，應注意不同階段的再現，甚至在一節課的不同階段，呈現不同的層次與形式，強化對數學思想的理解。

案例3 人教版四下“三角形的三邊關系”

第一環節：提出猜想，生成問題

通過“倒過來說”的游戲，引出一個挑戰性問題——三條線段一定能圍成一個三角形嗎？

生1：能圍成一個三角形。

生2：不一定能，當兩條很短的線段和一條長的線段圍起來時，不能圍成。

生3：有的能，有的不能，要看線段的長度。

師：三條線段到底能不能圍成一個三角形呢？我們可以動手做一做來驗證。

第二環節：操作感悟，發現規律

首先只提供兩根吸管，讓學生獨立思考、操作，通過小組合作，展示交流兩種圍不成的情況。著重討論“兩條線段的和等于第三條”時，提供4、6、10 厘米的線段，讓學生展開想象，通過課件演示來驗證，發現“較短兩條線段的和等于第三條時，圍不成一個三角形”。

在此基礎上，發現“較短的兩條線段小于或等于第三條時，不能圍成三角形”，“較短的兩條線段大于第三條時，能圍成三角形”，歸納得出：任意兩條線段的和大于第三條，能圍成一個三角形。

最后，“反過來說”得出“要圍成一個三角形，必須任意兩條線段的和大于第三條”的新猜想。

第三環節：再次猜想，驗證結論

追問：是不是任意一個三角形的三條邊之間，都具有這樣的關系呢？你可以想什么辦法來驗證？ 讓學生通過畫任意三角形、算一算等方法自主收集例證，進一步理解、驗證規律。

上述過程，經歷兩次“猜想——驗證——結論”的豐富而完整的不完全歸納的問題解決過程。在發現問題、研究問題、解決問題的過程中積累推理經驗，鍛煉邏輯推理的嚴謹性，促進學生思維水平的不斷提升。

2.體驗多種表征方式，體現差異性

學生之間的差異是客觀存在的，教師應根據不同學生的認知特點，提供展示交流的機會，引導學生用多種方式表達問題解決的過程，展示各自的推理與思考過程，鍛煉初步的推理能力。

案例4 人教版二下“數學廣角——推理”例1教學片段

例1 猜書游戲中有3個條件——每人各拿一本書（共3 本），小紅拿了語文書，小麗拿的不是數學書。為了幫助學生順利梳理信息間的相互關系，可以用課件動態呈現“有語文、數學和品德三本書，下面三人各拿一本”，再分別出示小紅和小麗所說的話，最后出示問題，引導學生分析題目的已知條件和問題。學生獨立思考后，引導他們用自己喜歡的方式記錄解決問題的過程。學生交流反饋：

生1：我是根據“小紅拿的是語文書”先確定小紅拿了語文書；根據“小麗拿的不是數學書”確定小麗拿了品德書，最后小剛拿的是數學書。

生2：我用的是連線方法得到的（參見圖1）。

圖1

生3：我是列表解決的（參見表4）。

表4

教師引導學生總結比較三種表征方法，學生發現用列表方法輔助推理，不但能把情境圖中復雜的信息簡潔、有序地呈現出來，而且能簡化解決問題的思路，過程清晰，一目了然。三種表征方法都要抓住關鍵信息，有序分析，直到推出結論。

在鞏固練習環節，為幫助學生學會不同策略解決問題，最后設計“接力比賽順序”一題：明明、丁丁、小杰和小松代表班級參加接力比賽。明明說“我不是第一棒。”丁丁說“我不是第一棒，但是我也不是最后一棒。”小杰說：“我是第3棒。”你知道他們是怎么排的？

由于信息的增加，引發學生列表整理信息的內在需求，引導學生在比較中體會列表方法的價值，從而自覺地應用列表策略解決問題，為后續學習復雜推理問題奠定了基礎，積累推理經驗。

總之，推理思想的滲透與各領域知識的學習是一個有機結合的過程，這種滲透不是一朝一夕之事，需要“隨風潛入夜，潤物細無聲”。教師要充分挖掘教材中蘊含推理思想的素材，讓學生在掌握知識與技能的同時，感悟推理思想，發展思維能力，形成終生受用的數學思想方法，促進數學素養的不斷提升。▲