空間觀念的內涵、特征及建立要點

王強國

（寶應縣實驗小學，江蘇 寶應縣 225800）

在小學數學的核心詞中，“空間觀念”自誕生以來名稱從未變更，是教師十分熟悉的核心詞之一。但一線的教師似乎更擅長能力的培養，如運算能力等，一旦定位為“觀念”，不少教師覺得有些玄乎，從內涵的解讀到策略的探尋，因而“空間觀念”也成為教師“最熟悉的陌生人”！盡管提出多年，但實際教學效果不容樂觀，有必要引起重視，更好地落實相關課程目標。

一、“空間觀念”的內涵解讀

（一）課標的詮釋

教育部《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》認為：“空間觀念主要表現在：能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉換；能根據條件做出立體模型或畫出圖形；能從復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系；能描述實物或幾何圖形的運動與變化；能采用適當的方式描述物體間的位置關系；能運用圖形形象地描繪問題，利用直觀進行思考。”[1]

教育部《義務教育數學課程標準（2011 年版）》修改為：“空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描繪的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描繪圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。”[2]

兩種表述均從行為表現的角度陳述“空間觀念”。“課標實驗稿”的內容很豐富，涉及空間想象方面的表現，包括兩種轉換；動手操作方面的表現：制作與畫圖；空間分析方面的表現：復雜圖形的分解、分析；空間描述方面的表現：描述運動變化、位置關系；用圖形描述問題和直觀思考，相當于課標的另一個核心詞“幾何直觀”。相比而言，“課標2011 年版”的解釋更為精煉、概括，意在突出重點、削枝強干。在空間想象方面，增加了想象方位和位置關系，補充根據特征抽象出幾何圖形。這里的特征顯然是指幾何特征，“幾何圖形”應該包括平面圖形、立體圖形及其三視圖與展開圖。兩種表述中的“想象”，都是以空間表象水平的再認、再現及聯想為主，也都體現出這樣的過程：從形象到表象，從表象到抽象，從抽象到形象，引領學生經歷完整的“數學化”的過程。

（二）相關的解讀

美國新澤西州的數學課程框架認為：空間觀念是對于圖形和空間的直觀感覺，它涉及傳統的幾何概念，例如對于幾何圖形的識別、想象、表征、變換的能力；也包含其他的一些非正式的方式去看待二維和三維的空間，例如折紙、變換、鑲嵌、對稱、投影等[3]。全美數學教師理事會（NCTM）在《學校數學的課程與評價標準》中指出：空間觀念是對一個人周圍環境和實物的直接感知；對于二維、三維圖形及其性質的領會和感知，圖形之間的相互關系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面[4]。

國內，一些專家學者圍繞“課標”中的解釋，給出更為學術化的描述。王林全認為，學生的空間觀念包含圖形的識別與理解能力、圖形的分解與組合能力、圖形的建構與探索能力、對圖形的運動與變換的欣賞和利用幾何直觀解決問題能力五個基本成分。其中，圖形的識別與理解能力是空間觀念的基礎，圖形的分解與組合能力是空間觀念得以健康發展的基本條件，良好的圖形的建構與探索能力是空間觀念發展的標志，對圖形的運動與變換的欣賞是空間觀念逐步成熟的前提，利用幾何直觀解決問題的能力是空間觀念成熟的標志[5]。劉曉玫認為，小學生的空間觀念的成分與要素主要包含軸對稱、旋轉、方向與位置、視圖四個方面，并將小學生的空間觀念的發展劃分為直觀想象階段、直觀想象與簡單分析抽象階段、直觀想象與復雜分析階段三個水平[6]。

二、“空間觀念”的基本特征

對“空間觀念”的認知，除了對其內涵的深刻理解，還應當關注兒童形成與發展“空間觀念”的特征，體現主體與客體的雙重推進。實踐中，對“空間觀念”特征的把握，有助于我們理性地面對教學中的得與失，繼而尋找出更為豐富有效的教學對策。

1.直觀性

直觀性是“空間觀念”最基本的特征，也是學生形成與發展空間觀念的起點與支撐。“空間觀念主要是指根據物體特征……”從其內涵中可見：“形象的建立”與“適度地抽象”是“空間觀念”培養的關鍵。首先，直觀性體現于認識圖形屬性時的選擇性層面。對直觀性較強的屬性學生容易感知，而那些不太明顯的屬性特征往往會被忽略。如長方形、正方形的各部分名稱以及周長與面積的計算容易理解，而對圓的相關概念的理解困難許多，因為前者都是顯現的，后者有些則是隱現的，以半徑為例，在正式畫出前，學生是看不見的，也是難以想象的。其次，直觀性表現為解決相關實際問題的思維層面，學生更擅長圖文結合類的題型，對于純文字表述的問題理解困難。最后，“空間觀念”的直觀性還表現在學生對概念或性質的描述層面。低年級的兒童對圖形的描述通常會用日常生活的語言表述，如三角形學生會說成“三角”，正方形會表述為“方塊”等。

2.過程性

過程性首先體現于學生的空間表象的建立，研究表明：學生的空間表象不是以他們的空間環境感覺讀出的，而是從早些那些環境的活動操作中構造的，他們是依靠經驗開始幾何學習并逐步形成空間觀念的[7]。學生相關經驗的積累是一個不斷重建的過程。其次，“空間觀念”相關內容的編排體現出過程性。以蘇教版小學數學教材中的“平面圖形”為例，教材分多次教學，低年級重點是從實物中抽象出圖形，中高年級完成圖形特征的認知以及面積與周長的計算，中間穿插圖形的位置轉換等知識點，時間維度幾乎跨越了整個小學階段。類似的學生從二維空間進入到三維空間，從平面圖到三維圖也有一個過程。最后，課程目標的表述方式也體現出“過程性”的特征。“課標2011年版”在空間與圖形課程目標的表述中，多使用“經歷”“體驗”“探索”等詞匯，而這些都是描述過程性目標的詞匯。

3.遷移性

數學知識的環環相扣與螺旋上升，使得遷移學習普遍存在。“空間觀念”的建立中也是如此。一方面體現在幾何概念的理解。如長方形、正方形、三角形、圓的周長，雖然在具體敘述時有一定的差異，計算公式有所區別，但本質都是指圍成一個圖形的所有邊長的總和，這為學生后續的理解認知提供正向指引。另一方面，還體現在對幾何圖形的研究方式上。比如對一個圖形的研究我們通常從它的邊和角開始。當然，在實際的教學中，由于學生對“直觀性”的偏重以及“標準樣式”的依賴，我們也要注意“負遷移”的影響，小學數學中主要是二維圖對三維圖的影響。如“6 根一樣長的小棒擺同樣的三角形，最多能擺出幾個？”學生往往想到的是二維圖（圖1），想不到三維圖（圖2）。

圖1

圖2

三、“空間觀念”的教學要點

（一）加強兩種直觀

1.動作直觀

動作直觀通過實際的動作達到直觀的效果。在小學圖形與幾何內容中主要包括實驗活動（如圖形的拼擺、折疊、測量等）與畫圖兩種。實驗活動豐富了數學課程的教學資源，關注了小學生的年齡特征與認知特征，是一種行之有效的教學對策，備受追捧。而作為學習幾何的常規的直觀手段，畫圖至今沒有受到應有的重視。一方面，在小學階段，“課標2011 年版”關于畫圖的目標設置比較單一，僅在第二學段提出：在方格紙上簡單畫圖，會用圓規畫圓、能畫指定度數的角等；另一方面，在教學實踐中，畫圖處于可有可無的地位，“平時用不著、用時想不到”。與實驗活動相比，畫圖是對客觀條件要求最低，能夠“隨身攜帶”的直觀手段。教學中，需要注意以下三點：一是加強畫法指導。教者應該將作圖方法的講解納入教學的流程之中，適時、適度地講解畫法，可結合具體的題型，采用教師的板畫的方式，呈現完整的作圖過程。二是簡化畫圖的過程。淡化一些形式化的東西，如畫圖一定要用直尺等，允許學生“畫草圖”，只要能表達出題意，反映出數量關系即可。三是感悟畫圖的價值。要精選合適的題型，讓學生在問題解決中充分感受畫圖的價值，注重畫圖解題的習慣與意識的培養。

2.視覺直觀

觀察是智力活動的門戶，是一種有思維參與的積極的感知活動。對于小學生而言，其觀察能力的發展與空間觀念的發展幾乎一致，主要表現為：從感知強刺激成分到感知弱刺激成分；從認識單一要素到認識要素關系；從熟悉標準圖形到熟悉變式圖形。[8]視覺直觀的呈現方式主要有靜態和動態兩種：靜態的視覺直觀價值主要在于提供參照、建立表象；動態的視覺直觀則有揭示規律、建立聯系等功能。在空間觀念培養的教學中，一線教師存在偏靜態輕動態的傾向，原因一是過高估計了學生的認知能力，二是動態呈現的前期準備相對繁瑣，應該給予糾正。這里的“動態”應該是廣義的，可以分為兩類：一是多個元素的相互比照。如“長方形與正方形的認識”，教學中，借助方格紙出示兩個完全一樣的長方形，然后將其中的一個演變為正方形，觀察比較兩者的異同。二是同一元素的前后變化。如“圓的面積”教學，將一個圓若干等分，拼成一個近似的長方形，推導其計算公式。值得注意的是，無論是靜態或動態，在視覺直觀的基礎上，一定要引導學生比較與歸納，體會其中的變與不變。當然，動作直觀中必然有視覺的直觀，視覺直觀中也常常包含動作直觀的成分。實踐中，應該緊扣實質：通過直觀，豐富學生的幾何認知，促進空間觀念的形成。

（二）注重兩個結合

1.語言與形象的結合

在學生空間觀念的培養中，語言是僅次于直觀的重要手段。實質上語言是一種用符號表示的有一定法則的形象系統。形象與語言在某種程度上是糾結在一起的，處于一種互補的關系之中。兩者的結合，能夠促進學生對表象的建立。實踐中，一方面要突出口頭語言對形象的表征。如“認識三角形”，出示一組圖形，讓學生判斷哪些是三角形。在這個過程中，可以引導學生說說這樣判斷的理由，以突顯三角形的本質特征。值得注意的是，在學生表述的過程中，教師應該恰當指導，適時引入幾何語言同化、矯正日常用語。以“平移和旋轉”為例，在描述位置關系時，學生的說法可能較多，教者要引導學生表述為：“繞（）點，（）時針方向，旋轉（ ）度。”另一方面，要注重書面語言對形象的定性。即出示圖形時，要配以適當的文字說明。如“長方形的面積”，出示一組長方形，習慣用語是“求下列圖形的面積”，其理由是小學幾何是直觀幾何，允許學生“看出像什么，就是什么”，理所當然但值得商榷，應該準確地表述為“求下列長方形的面積”，有意識地語言介入，會幫助學生逐步擺脫單純的直觀依賴。

2.數值與圖形的結合

“數形結合”包含兩方面的轉化：一是從數量的解讀到圖形的解讀，以形助數；二是從圖形的解讀到數量的解讀，以數解形。小學數學的教學中，前者運用較多，即在圖形的輔助下，化抽象為直觀，實現規律的尋覓與解法的探究。但在圖形與幾何領域的教學中，我們既需要對圖形以及位置關系等進行定性的刻畫，又離不開定量的刻畫。在空間觀念的培養中，數與形的結合其價值主要表現在以下兩個方面：一是降低空間想象的難度。如“面積單位”總復習，有這樣的習題：一間舞蹈房的地面面積大約40（ ）。要求在括號里填入合適的面積單位，教學中有一定的難度，個別學生正確填空后，仍然無法確定，因為學生腦中有1平方米的表象，40平方米有多大，即使成年人也不一定能夠想象。這時，我們可以進一步豐富數值，根據長方形面積=長×寬，將“40”拆分為兩個數的積：40×1，20×2，10×4，8×5，然后引導學生展開想象。二是提升空間推理能力。如“用12 個邊長1 厘米的小正方形，拼成一個長方形，有幾種拼法？拼成的長方形周長、面積各是多少？”由于數值的參與，題目的內涵深刻許多，在拼組與計算的過程中，學生會發現：面積一定，當長、寬越接近時，周長越小，反之也成立。同樣的邏輯在立方體的相關題型中一樣具備。事實上，在小學數學的教學中，“數形結合”既是一種數學思想，同時也表現出一定的教學法的意義。

（三）化解兩種障礙

1.前概念障礙

生活中，學生對于線、體、面的大小、長短以及位置關系等有著廣泛的接觸，前概念的影響明顯。一方面來源于先入為主的日常生活經驗。以“線段、射線、直線”的認識為例，在生活中，線段是學生接觸最多的，如物體的邊沿等，而射線、直線很少見（尤其是直線幾乎見不到），學生很難想象，直線、射線可以無限延伸、無限長，在學生的認知中，只要是直的線就是直線。即使對于線段，所見到的也沒有端點，因此，學生經常忘記標記線段的兩個端點，無法確信直線和射線的長度無法比較等。另一方面來源于語詞帶來的曲解。如“角的認識”，在學習這一幾何概念前，學生已有的經驗是語文學科教學中的“墻角”“桌角”“牛角”“羊角”等，并且學生知道，牛角比羊角大。因而，在教學角的大小與邊的長短的關系時，學生困難重重。此外，教學中，標準圖形的過渡強化也容易產生干擾，比如“等腰三角形”，教材給出的多為頂角在上、底邊水平放置的圖形，這樣的圖示，有利于結合生活經驗理解概念（腰、頂角、底角），但過渡的強化，往往使得學生在面對倒立或者斜放的等腰三角形時，無法判斷相關概念。面對學生的前概念，教學中，教者應該適時地引入相關幾何概念的生活原型，注重變式（形體位置等）練習，在對比中強化概念的教學。

2.知覺障礙

從知覺層面看，以下兩種障礙影響著學生空間觀念的形成：一是空間識別障礙，是指對物體的形狀、長度、高度、大小以及位置關系等的識別障礙。這一障礙也體現出學生空間識別能力發展的階段性，如小學低年級學生對于比較近的對象有一定的識別能力，而對于比較遠的對象識別困難。再如兩個大小不同的正方體，起初學生只能進行定量的判斷，誰大誰小，隨著認知能力與水平的積累，學生逐漸可以進行定量的刻畫，大一點還是大得多？兩者大約是幾倍的關系等。當然，空間識別能力在學生個體發展中具有差異性，有的學生發展得比較快，稍加練習即可，有的學生則需要多次訓練、不斷強化。二是視覺知覺障礙。主要表現為：不能積極而有效地運用視覺知覺符號與大腦中儲存的圖式與概念建立聯系[9]。如觀察長方體，學生會習慣性地猜摩它的原型（是一個什么物品的包裝盒）、大小、顏色等。而不能聯結“長”“寬”“高”“棱”等概念，無法建立“表面積”“體積”等表象。在面對具體的問題情境時，熟知表面積、體積的計算公式，可能還會十分困難。事實上，知覺障礙不僅存在于學生的學習中，成年人同樣具有。教學時，一方面要基于直觀也要超越直觀，及時地抽象；另一方面，要引導學生經歷完整的“數學化”的過程，學會用數學的方式觀察思考等，從而巧妙化解上述障礙。

綜上所述，“空間觀念”的建立有其自身的特征。小學生“空間觀念”的培養需要立足生活的原型，也需要一定的想象能力。教學中，應該直面學生的認知障礙，引領學生多種感官的參與，注重教學方式的豐富性，以促進學生“空間觀念”的發展與提升！▲