一道橢圓的離心率問題引發(fā)的探究與思考

摘?要：橢圓的離心率是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，因此，在高考復(fù)習(xí)備考的過程中備受教師、學(xué)生的關(guān)注。筆者所在學(xué)校近期舉行了高三年級第六次月考，試卷中有一道求橢圓離心率的填空題。筆者在試卷講評過程中圍繞這一問題，組織學(xué)生開展了激烈的討論，也在集體備課的過程中和本組教師做了深入的交流，精彩紛呈。筆者利用這節(jié)課的內(nèi)容重新對橢圓離心率的解法做了一個歸納、整理，整理成文，與讀者分享。

關(guān)鍵詞：橢圓;離心率;歸納;方法;變式訓(xùn)練

一、 月考試題

橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y=bcx的對稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是????。

解析：令Q的坐標(biāo)為（x0，y0），F(xiàn)Q的中點(diǎn)為Mx0+c2，y02，由點(diǎn)M在直線y=bcx上得bx0-cy0+bc=0?①。

又因?yàn)橹本€FQ垂直于直線y=bcx，所以y0x0-c=-cb，即cx0+by0-c2=0?②，聯(lián)立①②得點(diǎn)Q2c3-a2ca2，2bc2a2，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入x2a2+y2b2=1中并化簡得a6=4c6+a4c2，兩邊同除以a6得4e6+e2—1=0，令t=e2，則0

學(xué)生答題時存在的問題：

1.

解題策略不明。沒有基本的解決橢圓離心率的方法，直接利用離心率的公式完成，也沒有想到齊次式，還浪費(fèi)了很多的時間。

2.

數(shù)形結(jié)合的思想不強(qiáng)。部分學(xué)生雖然畫了圖，求出了Q的坐標(biāo)，但由于本題出現(xiàn)了六次方，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為這是高次方程，一下子亂了思路，沒有找到化高次為低次的一般思路和方法，導(dǎo)致求解沒有進(jìn)行到底。

3.

心理準(zhǔn)備不足。橢圓離心率是高考的常考點(diǎn)，一般是有兩種解決的方法，近幾年的高考試題難度在下降，但是學(xué)生平時的學(xué)習(xí)中沒有總結(jié)方法，看到離心率的問題就緊張，大腦一片空白，沒有辦法只能放棄。

二、 橢圓離心率的幾何意義

橢圓的離心率e是反映橢圓的扁平程度的一個幾何量，當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，b越接近于0，橢圓越扁;當(dāng)e越接近于0時，c就越接近于0，b越接近于a，橢圓越圓;當(dāng)e為0，即c=0時，橢圓就變?yōu)閳A（即e越小，橢圓越圓）。

三、 求橢圓離心率的常用方法

方法一：用定義求離心率

例1?（2016·全國Ⅲ，11）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸。過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E。若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為

（??）

A. 13B. 12C. 23D.

34??分析：設(shè)M（-c，m），則E0，ama-c，OE的中點(diǎn)為D，則D0，am2（a-c），又B，D，M三點(diǎn)共線，所以m2（a-c）=ma+c，a=3c，e=13。故選擇A。

變式訓(xùn)練：F1，F(xiàn)2為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)P，且∠PF1F2=30°，則橢圓的離心率為

（??）

A. 33B. 22C. 12D. 32

反思：求橢圓的離心率，關(guān)鍵是尋找一個關(guān)于橢圓的三個基本量a，b，c間的關(guān)系式，再結(jié)合a2=b2+c2，消去b2從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的方程求解。

方法二：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次式求解

一般思路：ma2+nmac+pc2=0m+nm·ca+pca2=0

例2?設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若三角形F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為????。

[解法一]

由于ΔF1PF2為等腰直角三角形，故有F1F2=PF2，得2ac=b2=a2-c2即e2+2e-1=0，解得，e1=-1-2（舍去），e2=-1+2。

[解法二]

e=離心率的定義ca=2c2a=橢圓的定義2c|PF1|+|PF2|=2c22c+2c=12+1=2-1。

反思：通過一題多解，讓學(xué)生學(xué)會從多角度分析解決問題，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，利用數(shù)形結(jié)合的幾何特征列式計(jì)算。另外在平時的教學(xué)過程中一定要發(fā)揮好總結(jié)題型思想方法的好習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生多思考、多總結(jié)，從而提升自己的解題能力。

四、 結(jié)束語

通過總結(jié)一類問題的方法，使學(xué)生知一法而通一類，提高學(xué)生的思維深度和廣度，同時也是培養(yǎng)學(xué)生“把書讀薄”的重要途徑。通過這樣的教學(xué)，使教材中的難點(diǎn)分散，結(jié)合圖形，給學(xué)生直觀感受，使學(xué)生較好地接受和掌握橢圓的離心率的性質(zhì)，也能進(jìn)一步掌握橢圓離心率的應(yīng)用，增強(qiáng)教學(xué)效果，提高數(shù)學(xué)教學(xué)成績，真正讓學(xué)生被動接受數(shù)學(xué)知識變主動學(xué)習(xí)。

作者簡介：

胡彥紅，甘肅省白銀市，甘肅省會寧縣第一中學(xué)。