基于信息技術視野的數學變式教學研究

摘? 要 合理利用多種信息化技術手段，能有效輔助教學，已經成為很多一線數學教師的普遍共識。然而諸多數學教師在利用信息化教學手段的同時，出現形式化、泛娛樂化等多種多樣的問題，對此從多方面進行探討。

關鍵詞 變式教學;數學;信息技術;信息化教學;幾何概型;幾何畫板

中圖分類號：G658.3? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2019）06-0112-03

Research on Mathematics Variant Teaching based on Informa-tion Technology Perspective//WU Guolei

Abstract Reasonable use of a variety of information technology means， can effectively assit teaching， has become a common con-

sensus of many front-line mathematics teachers， but many mathe-matics teachers in the use of information-based teaching methods， while there are formalization， pan-entertainment and other diverse problems， this paper discusses from many aspects.

Key words variational teaching; mathematics; information techno-logy; informational teaching; geomegtric probability model; geome-tric sketchpad

1 引言

2011版高中數學課程標準中提出，信息技術的發展對學校數學教育的價值與內容乃至教學方式都產生很大影響;數學課程的設計與實施應根據實際情況，將信息技術與課程內容有機整合，注重實效。伴隨著信息技術的飛速發展，越來越多的教師逐漸將信息技術與教學實踐相結合，多種多樣的信息化教學大賽在各級教育部門推動下也如雨后春筍般層出不窮。在這樣全民皆信息化的背景下，諸多教師迷失了方向，拋棄了所有的傳統教學模式，似乎只要和傳統教學相關就是落后，就是低效教學，一味地追求新奇、吸引眼球的信息化手段，全然不顧“以學生為主體”的教學理念，為了達到所謂的“信息化”指標甚至造假，將數學課堂變成展示各種信息化手段的秀場，背離了教育初衷[1]。

另一方面，變式教學經過30多年的實踐驗證，作為一種常見的傳統數學教學方法而經久不衰，早在十多年前的2003年，鮑建生等人就在《數學教學》雜志上分三期連載了《變式教學研究》一文，全文長達兩萬多字，系統地對過去關于變式教學的多項研究工作進行了系統化總結，使得變式教學變得更加科學、系統化，操作性得到進一步提升，成為傳統教學法中的經典之一。

將這兩者更好地結合，讓信息技術手段更好地促進數學課堂教學，成為必然的選擇。

2 幾個概念

現代信息技術? 信息技術，通常指的是對信息進行采集與傳輸、存儲與加工、交流和應用的手段以及方法體系。而現代信息技術主要是指以網絡、多媒體為核心的技術總稱[2]。通常所認為的信息技術，主要包括但不限于多媒體電腦、校園教學網絡、互聯網以及在課堂上所使用的多媒體等，數學教師常使用的多媒體主要有PPT、幾何畫板、GeoGebra動態幾何畫板、Focusky演示和電子白板等。

變式? 變式，在不同的文獻中給出多種不同的定義。在《新課程下變式教學的研究》一文中，認為“變式就是把事物非本質的東西改變，用以突顯事物的本質”[3]。教育家邵瑞珍教授認為，變式就是指在原有數學問題基礎上，使用諸多例子，使得該數學問題原有的本質特征以及屬性不產生變化，發生變化的僅僅是一些無關特征;可以采用的手段，可以從變更數學問題的情境以及解決問題的不同角度出發，加以突出事物的本質屬性。這個定義不僅給出了變式的本質，還給出了具體的操作方式。

數學變式教學? 劉長春認為，只要采用了變式的方式進行的教學，全部都應該稱為變式教學。他認為“變式”包括“非本質屬性”變式和“本質屬性”變式。前者在教學中最為常見，能讓知識的本質在問題變化中不發生任何改變，只對非本質的表象進行改變，如此改變的數學變式，才會使學生透過表象與現象看到本質;而后者卻是在非本質的地方看起來非常相同或者相似，本質完全不一樣。這樣的本質屬性變式，能防止數學知識之間的混淆及不合理擴大概念的外延。

對于不同類別的知識，華東師范大學的鮑建生和顧泠沅教授認為，變式教學中的變式，既包括概念性變式，也包括過程性變式。概念性變式能讓學生從不同維度掌握概念，進而確定數學概念的內涵和外延。過程性變式是指為了認識新知識而采取的系列方法與步驟，可以讓學生掌握不同概念之間的關系，是獲得概念的一種方式。

3 變式教學的要素構成

變式教學，作為經過長期實踐檢驗的成熟教育方法，得益于大量教育理論的指導，構建起來穩定的教育活動框架結構，本質目的在于幫助教師更好地完成教育任務，開展更高效的教學。為廣大教師較為廣泛接受的變式教學，構成要素主要包括理論依據、教學目標、操作程序、實現條件以及教學評價[4]。正如辯證唯物主義所認為的那樣，世間所有事物都是內容以及形式的矛盾和統一。如果形式與內容相適配，信息技術將對課程教育的發展起到積極的促進作用。如果將變式看作外因，學生的學習行為就是內部因素，變式教學本質上是教師給學生提供了自主發展的機會與空間，啟發引導學生自主地完成知識的內化任務。

從心理學的角度看，奧蘇泊爾主張“有意義的學習”，認為學習行為與學習動機相輔相成。通俗地說，就是動機能夠促進學生自主學習，而學生所掌握的知識反過來又會調動他的學習動機。變式教學恰好注重從多角度、多維度對問題展開分析，學生能自主反思問題，全方位揭示知識的本質，與新課改下的理念要求不謀而合。

4 信息技術背景下數學變式教學策略舉例

毫無疑問，不管是什么樣的課堂，都有教學任務，與此同時，教師必須保證所設定的教學任務是有積極意義的，這是數學課堂教學的前提所在。假若教學任務沒有任何實際意義，那么整個數學課堂教學對學生來說毫無價值。因此，在不論何種形式的變式教學課堂中，教學任務的設定都是非常重要的。教師應根據學生的實際身心發展特點，有效地設置合理而又恰當的教學任務，唯有如此，才能讓學生更積極主動地參與整個教學過程，促進每個學生的學習與發展。

在多樣的信息技術維度下，有效地使得數學變式和變式訓練相結合，通過層層遞進的漸進式變式，結合學生合作交流，能使學生對知識的理解達到更高的層次，如圖1所示。

眾所周知，幾何概型是普高數學課程標準新添加的內容，課標認為“統計與概率的基礎知識”應該成為將來所有公民必備的常識。然而在具體實際教學中，要求僅僅是能“初步體會”幾何意義，學會簡單的幾何概型計算即可。顯然，該實驗課程標準對幾何概型的教學要求并不高。眾所周知的是，掌握好幾何概型的教與學，在培養學生的問題意識、問題解決方法、邏輯思維推理等方面，都具有顯而易見的教育作用。那么，對于這類知識難度很小但教育意義不小的教學內容，該如何展開有效教學？

【問題1】從區間（0，9]中任取一個整數，則此整數不大于3的概率是幾？

鑒于學生已經完整學習過古典概型知識，他們會很容易就得到答案：

可以將上述問題略作改動，得到第一個變式：

從區間（0，9]中任取一個實數，求該實數不大于3的概率。

學生經過比較該變式與問題1的異同，會發現已經有本質的不同，問題所述的事件所包含的基本事件不再是有限的，不滿足“有限性”要求，不可以使用古典概率模型;但只需要簡單比較兩個區間，就可以發現它們在數軸上所占的長度之比，從而迅速地得出概率：

為更深入地解釋上述問題，教師在實際教學中應充分利用現代化教學手段，可以利用課件動態地呈現問題以及相對應的圖形，如數軸、區間段等，并啟發引導學生主動探索問題與變式間的異同，充分理解幾何概型公式的使用前提。

在上述教學設計中，無須選擇常見的情境創設方式，比如學生的生活實際經驗，又或是高大上的科學經典問題等，只需將兩道難度不大、形式上簡單又直觀的問題，直接用課件呈現即可。從教學實際看，教學所需時間短，起到承上啟下的作用，展示了新知識，讓學生明白了學習幾何概型的必要性，而且為后續概率問題幾何化度量做好了鋪墊。

【問題2】如圖2所示，已知木板上陰影部分的面積占整個木板總面積的四分之一。在只能落在木板上的前提下，小球隨機落下，問：小球落在陰影部分的概率是多少？

展示該問題后，教師可以結合動畫，動態演示小球自由落下的畫面，學生會很快得到結論：小球落在指定區域的概率是1/4，這是由該陰影部分的面積占整個木板總面積的1/4所決定的。

在肯定學生答案的基礎上應進一步提問：為什么陰影部分面積占木板總面積的1/4，就能肯定答案一定是1/4呢？在給予學生充分獨立思考時間后，師生、生生間交流，作如下分析：

小球隨機落下的每一次，都對應著木板上某一點;小球落下的無數次，在木板上一定也有無數個點與它對應。將陰影部分上所有的點放在一起時，也就組成了陰影部分;相應的，木板上所有的點也會組成木板的總面積。

這樣就將上述概率問題轉化成幾何度量的問題，向著幾何概型邁進一大步。進一步地，該概率的大小由哪些因素決定？此時，教師只需稍作引導，學生就可以得到：該事件發生的概率，僅和陰影部分的面積大小以及整個模板的面積有關，與陰影部分的形狀沒有關系。

通過上述系列變式問題的解答，可以從本質上讓學生認識上述概率問題是怎樣逐步向幾何度量轉化的，為后續學習幾何概型做好準備;緊接著，可以借助Excel或幾何畫板制作的模擬實驗，進行更為直觀的實驗，讓學生在實驗中定量地發現：隨著落下的次數增多，小球落在陰影部分的頻率就會越來越趨近于1/4。

對于上述問題2，經過實驗模擬驗證，可以在較短的時間內完成探究過程，增強教學過程的趣味性，對于培養學生探究思維也有積極作用。

【問題3】問題1的變式與問題2有什么共同點？

教師利用教學課件將兩道問題及對應圖形在一個頁面同時呈現，引導讓學生思考。通過討論與交流，學生能得出關于幾何概型的結論：

1）幾何概型的基本事件個數是無限的;

2）每個基本事件發生的可能性相等，也就是說是等可能發生的;

3）某事件發生的概率，與構成這個事件的幾何測度有關，且僅與此有關。

有了上述逐層遞進的變式問題，在教師的引導下，學生應該通常能夠大致給出不夠全面、完善的幾何概型的定義;接下來，教師引導學生完善定義。如此設計，瓜熟蒂落，水到渠成。

教師用表格的形式對比古典概型的特點，找出幾何概型與前者在特點上的異同：無限性與等可能性。進一步類比古典概型，得到幾何概型的計算公式：

最后，將古典概型與幾何概型的異同用表格形式逐步展示。

5 結語

顯然，信息技術廣泛應用于數學課堂教學，有力地提高了課堂教學的效率，改變了教師與學生的認知活動。信息技術儼然已經成為教學的一部分，隨著越來越多的智能化設備進入課堂，需要人和智能設備協同思考，對教師利用信息化手段結合傳統教學方法——變式教學的水平也提出新要求?！?/p>

參考文獻

[1]吳國磊.對變式教學再思考[J].高中數學教與學，2014（24）：11-13.

[2]張莉.基于信息技術的數學問題解決教學探究[D].遼寧：遼寧師范大學，2007.

[3]蔣玉蘭，徐璋.新課程下變式教學的研究[J].管理學家，2014（16）：37-40.

[4]紀宏偉.例習題教學中的變式教學：以涂色問題為例[J].數學教學研究，2014（5）：61-64.