巧用向量投影解題 滲透數學核心素養

安徽省合肥市第一中學 (230601)

谷留明

學生對投影大多只停留在知道概念的層面，縱觀近幾年高考和模考題,很多幾何方面的最值或范圍問題,都可以巧妙地運用投影解決.這個過程,很好地滲透了數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.

1.投影在向量中的應用

圖1

2.投影在解析幾何中的應用

圖2

3.投影在解三角形中的應用

分析:根據條件分析出BC⊥AC后,用數量積的定義或坐標法都可以,但巧妙運用投影,更加簡潔、直觀.

4.投影在立體幾何中的應用

例4 (2009年江西高考卷理科第20題)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4，AB=2.以AC的中點O為球心,AC為直徑的球面交PD于點M,交PC于點N.(后兩問是追加的變式)

(1)求證:平面ABM⊥平面PCD;

(2)求直線CD與平面ACM所成角的大小;

圖3

(3)求點N到平面ACM的距離;

(4)求點N到直線AM的距離;

(5)求直線BP到直線AM的距離.

分析:對于后三問,若用傳統幾何法,則每一問都要獨立分析,需要很強的空間想象能力.而用投影,有較為統一的解題模式,整體上比較高效,能提高學生的數學抽象、直觀想象與數學運算的素養.

解:(1)、(2)略.

5.投影在線性規劃中的應用

圖4

分析:用線性規劃的方法,當然可以.但從目標函數的結構,可聯想到坐標形式的數量積,再用投影來解決,這是一種巧妙的方式,滲透著數學抽象、直觀想象的核心素養.

由上可知,很多司空見慣的題目可以用投影巧妙地解決,并滲透著多種數學核心素養.因此平時的教學中,應回歸定義,吃透概念的內涵與外延,并與其他章節的知識有機整合,已達到“隨風潛入夜,潤物細無聲”的境界.