用線性規(guī)劃方法巧解一道競賽題

貴州省畢節(jié)市梁才學校(551700)

張玉彬

文[1]根據(jù)文[2]方程思想探究指出：尋求t=G(x,y)限制在F(x,y)≥0上的最值問題，總是將自變量(x,y)約束在條件F(x,y)≥0(區(qū)域)的邊界F(x,y)=0(曲線)上，從而尋求t=G(x,y)(F(x,y)≥0)的最值與尋求問題t=G(x,y)(F(x,y)=0)的最值完全類似，就可把約束條件是不等式(組)轉化為約束條件是方程來解決，線性規(guī)劃(目標函數(shù)和約束條件全是二元一次方程﹑不等式)取得最值的點一定是區(qū)域的頂點，非線性規(guī)劃(目標函數(shù)和約束條件不全是二元一次方程﹑不等式)，取得最值的點一定是區(qū)域的頂點或目標函數(shù)圖像與區(qū)域的邊界相切的切點，本文根據(jù)這結論解自然解答一道奧林匹克競賽題.

題目(2019年西班牙數(shù)學奧林匹克第5題)對所有滿足0≤x≤y≤1，的實數(shù)對(x,y)且，設M(x,y)=max{xy,xy-x-y+1,x+y-2xy}，求M(x,y)可能取到的最小值.

題目參考解法很難想，且比較繁，下面用線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃給出另一自然解答.

解：由題意得可分三種情形

圖1 圖2 圖3

從題目的解答可知，凡是求M(x,y)=max{f(x,y),g(x,y),h(x,y)}的最小值，或求M(x,y)=min{f(x,y),g(x,y),h(x,y)}的最大值問題，都可化為線性規(guī)劃問題或非線性規(guī)劃問題自然解答.