分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步

王東曉

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，鄭州450046）

近年來，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題引起了廣大科研工作者的興趣，并取得了許多成果[1-6].文獻(xiàn)[6]研究了具有新型趨近律的分?jǐn)?shù)階Duffing 系統(tǒng)的同步問題，其同步方案能夠使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)快速趨于同步.滑模方法是研究控制和同步問題的一種有效工具.文獻(xiàn)[7]基于滑模方法研究了分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的同步控制問題，設(shè)計(jì)了控制器和滑模函數(shù)，使主從系統(tǒng)達(dá)到滑模同步.文獻(xiàn)[8]基于滑模同步方法研究了具有死區(qū)輸入的混沌系統(tǒng)的同步問題.文獻(xiàn)[9]基于非線性滑模方法研究了一類系統(tǒng)的控制問題.比例積分控制方法在控制論領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[10]基于比例積分控制，研究了一種精確的追蹤制導(dǎo)方法.滑?？刂品椒ㄔ诳刂品矫嬉灿袕V泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[11]研究了一類混沌系統(tǒng)的滑?？刂茊栴}.本研究利用比例積分滑模方法研究大氣混沌系統(tǒng)的同步問題，通過設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模函數(shù)和控制律，使系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)比例積分滑模同步.

1 主要結(jié)果

Stenflo 大氣熱對(duì)流的混沌模型[12]為

其中：α、β、γ、c 為正參數(shù)；x、y、z、ω為狀態(tài)變量；ω 表示氣流的旋轉(zhuǎn)，γ 為與 ω 對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)數(shù)；α、β、c 分別為 Prandtl 數(shù)、幾何參數(shù)和 Rayleigh 數(shù).當(dāng) α = 1、 β =0.7、γ=1.5、c=26 時(shí)，系統(tǒng)（1）的吸引子見圖1，在yoz平面上的吸引子見圖2.

圖1 系統(tǒng)（1）在三維空間中軌線的吸引子Fig.1 Chaotic attractor of system（1）in three-dimensional space

圖2 系統(tǒng)（1）在yoz 平面上軌線的吸引子Fig.2 Chaotic attractor of system（1）in yoz plane

以系統(tǒng)（1）為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)如下

其中：u 為控制輸入；x1、y1、z1、ω1為從系統(tǒng)的狀態(tài)變量.

定義系統(tǒng)誤差 e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，e4=ω1-ω，由主系統(tǒng)（1）和從系統(tǒng)（2）可得誤差系統(tǒng)

本研究做如下假設(shè)：（H1）存在λ ＞α，使得‖αe1+γe4‖＜‖λe1‖.（H2）由于混沌系統(tǒng)的軌跡有界，假設(shè)x、z1均為非零有界變量.

引理1[13]（Barbalat 引理）若函數(shù)f（t）在[0，+∞）上一致連續(xù)，并且廣義積分存在，則有

定理1在條件（H1）和（H2）下，若滑模函數(shù)為

設(shè)計(jì)控制輸入

u（t） =-（λ - α）e1- ηsgn s（t）

其中η ＞0.則整數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)（1）與（2）是滑模同步的.

證明當(dāng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，必有s（t）=0，（t）=0，對(duì)滑模函數(shù) s（t）求導(dǎo)得

所以u(píng)eq（t）=-（λ-α）e1，其中λ ＞α.設(shè)計(jì)滑模趨近律為等速趨近律，即

則有usw（t）=-η sgn s（t），實(shí)際控制器為

u（t）=ueq+usw=-（λ-α）e1（t）-η sgn s（t）

由于滑模面 s=0，將 u（t）代入系統(tǒng)（3）的第 1 個(gè)方程可得構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù) V（t） =根據(jù)條件（H1），對(duì)其求導(dǎo)可得

從而 e1→0.由于 e1→0，則系統(tǒng)（3）的第 4 個(gè)方程變?yōu)閺亩?e4→0.根據(jù)條件（H1），由 e4→0 和 e1→0 可得 e2→0.而 e2→0 必有從而由系統(tǒng)（3）的第2 個(gè)方程可得xz-x1z1→0.另一方面，因?yàn)?/p>

xz-x1z1=（xz-xz1） +（xz1-x1z1） =-xe3-z1e1

而x、z1均為有界變量，所以e3→0.

上式兩邊積分并整理可得

所以 s（t）是可積且有界的，由引理 1 可知 s（t）→0.證畢.

定義[14]函數(shù)x（t）的Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

考慮分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)

其對(duì)應(yīng)從系統(tǒng)為

由系統(tǒng)（4）和（5）可得誤差系統(tǒng)為

引理2[15]若x（t）為連續(xù)可微函數(shù)，則存在t0，使得?t≥t0，有

定理2在條件（H1）和（H2）下，若滑模函數(shù)為

設(shè)計(jì)控制輸入 u（t）=-（λ - α）e1- η sgn s（t），η ＞ 0，則分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)（4）與（5）是滑模同步的.

證明當(dāng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，s（t）=（t）=0，對(duì)滑模函數(shù)求導(dǎo)得

所以u(píng)eq（t）=-（λ-α）e1，其中λ ＞α，設(shè)計(jì)等速趨近律則usw（t）=-η sgn s（t），實(shí)際控制器u（t）= ueq+usw=-（λ-α）e1（t）-η sgn s（t）.將u（t）代入系統(tǒng)（6）的第 1 個(gè)方程，得到γe4.構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)由條件（H1）及引理2，可得

由文獻(xiàn)[15]可得e1→0.由于e1→0，所以系統(tǒng)（6）的第4個(gè)方程變?yōu)閺亩?e4→0.由 e4→0，e1→0可得 e2→0，因此再根據(jù)系統(tǒng)（6）的第 2 個(gè)方程可得

基于此由條件（H2）易得e3→0.

2 數(shù)值仿真

以Matlab 為工具，采用預(yù)估校正算法，對(duì)設(shè)計(jì)的同步方案進(jìn)行數(shù)值仿真.系統(tǒng)參數(shù)分別取值為α=1，β=0.7，γ=1.5，c=26，控制器中取參數(shù) η =2，分?jǐn)?shù)階階數(shù) q=0.947，系統(tǒng)初始值設(shè)為（x（0），y（0），z（0），ω（0）） =（1，1，20，1），（x1（0），y1（0），z1（0），ω1（0）） =（2，2，2，2）.定理 1 和定理 2 中系統(tǒng)的誤差曲線分別如圖3 和圖4 所示，由圖3 和圖4 可以看出，在初始時(shí)刻，2 個(gè)系統(tǒng)的誤差均較大，而隨著時(shí)間的延長，誤差漸趨于0.定理1 中當(dāng)時(shí)間t ＞0.15 s 時(shí)整數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得滑模同步；定理2 中當(dāng)時(shí)間t ＞0.20 s 時(shí)分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)取得滑模同步.

圖3 定理1 中的系統(tǒng)誤差曲線Fig.3 Error curves of system in Theorem 1

圖4 定理2 中的系統(tǒng)誤差曲線Fig.4 Error curves of system in Theorem 2