逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

朱鳳文

任何事物都是在矛盾中不斷發(fā)展和變化的，在一定的條件下，矛盾著的雙方還可以互相轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)是初中教學(xué)中的重要科目，它不僅對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)發(fā)展有重大意義，而且對(duì)解決生活中的問(wèn)題也大有益處。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般總是從正面入手進(jìn)行思考，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種基本的常用的思想方法——綜合法.但是有時(shí)會(huì)遇到從正面考慮比較復(fù)雜甚至無(wú)從下手的情況，這時(shí)若能打破思維定勢(shì)從問(wèn)題的反面去思考，或者逆用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，會(huì)使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而找到解決問(wèn)題的捷徑，收到事半功倍的效果.這就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的另一種思想方法——逆向思維。

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維。逆向思維，也叫求異思維，這種解決問(wèn)題的思維方法是通過(guò)打破傳統(tǒng)的思維方式，對(duì)司空見(jiàn)慣的方法或原理進(jìn)行逆向思考，從數(shù)學(xué)方面來(lái)講，逆向思維就是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理、公式以及推理的過(guò)程中，通過(guò)結(jié)論推導(dǎo)出已知條件的思維方法。就是把問(wèn)題倒過(guò)來(lái)或從問(wèn)題的反面思考或逆用某些數(shù)學(xué)公式、法則、運(yùn)算律解決問(wèn)題。逆向思維方法既可以用在代數(shù)中，也可以用在幾何中，“反證法”就是逆向思維在幾何中的重要應(yīng)用之一。加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，使學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)得到有效的遷移，經(jīng)常運(yùn)用逆向思維解題，有利于鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解題能力和發(fā)展智力。

一、在概念教學(xué)中滲透逆向思維

在概念中滲透逆向思維，既能培養(yǎng)學(xué)生雙向思維的習(xí)慣，又能加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解。例如，在學(xué)了數(shù)的平方和絕對(duì)值后，學(xué)生熟悉了（±3）?=9，

二、在定理教學(xué)中滲透逆向思維

對(duì)于定理而言，并不是所有的逆命題都成立.但是在教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理的逆命題是否成立的探討與交流，以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維。

例2，一個(gè)零件的形狀如下圖所示，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如下：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且∠DAB=90°，你能求出這個(gè)零件的面積嗎？

分析：此題若從正面思考，可能無(wú)從下手，因?yàn)樗皇且粋€(gè)特殊的四邊形，要求面積，十分困難，所以若從另一個(gè)角度思考，連接BD，將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，由題中條件應(yīng)用勾股定理及其逆定理即可。

三、在習(xí)題教學(xué)中滲透逆向思維

習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，很多數(shù)學(xué)題在求解過(guò)程中如果運(yùn)用逆向思維的技巧，就會(huì)得心應(yīng)手。

1.從問(wèn)題的反面入手

例3，若方程X?-mX+m+3=0至多有一個(gè)負(fù)根，試求m的取值范圍。

分析：一元二次方程至多有一個(gè)負(fù)根，那么它的反面就是兩個(gè)根都為負(fù)數(shù)，從這個(gè)角度入手，此題便可很快求得結(jié)果。

2.從逆常規(guī)思路入手

例4，解方程（Y?）?+Y?-4Y?-Y+1=0

分析：解分式方程的基本思路就是把分母去掉轉(zhuǎn)化為整式方程，然而本題卻要將整式方程還原到分式方程來(lái)解。

3.逆用公式、法則解題

例5，計(jì)算：⑴（-0.125）?*（8?）?

分析：如果正面思考，按乘方的意義，就要先算乘方，再把結(jié)果相乘，這樣既繁瑣又容易出錯(cuò)，而0.125與8互為倒數(shù)，故逆用“同底數(shù)冪的乘法法則”和“積的乘方法則”，就可以順利解決。

⑵（X+2）?·（X-2）?

分析：如果按順序計(jì)算，就應(yīng)先算乘方，再算乘法，但是這樣就十分復(fù)雜，若逆用“積的乘方公式”，則會(huì)使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單。

⑶（+5）?—（-5）?

分析：如果順序計(jì)算，就要先用完全平方公式展開(kāi)然后再作差，這樣做也很麻煩，若逆用“平方差公式”，不僅計(jì)算量小，而且很簡(jiǎn)單。

分析：仔細(xì)觀察可知，逆用二次根式乘法法則和除法法則，就能簡(jiǎn)便算出。

4.逆序思考解題

有的數(shù)學(xué)問(wèn)題，關(guān)系比較復(fù)雜，直接從已知條件入手去解，有時(shí)會(huì)在中途迷失方向.在這樣的情況下，如果從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)一步一步往上倒推，往往可以找到有效的解題線(xiàn)索。

例9，搶“數(shù)”游戲：搶2009，甲、乙兩人每次搶1，2或3個(gè)數(shù)，誰(shuí)先搶到2009，誰(shuí)就獲勝.現(xiàn)在由甲先搶?zhuān)瑔?wèn)哪個(gè)人先獲勝？他該怎樣去搶?zhuān)?/p>

分析：如果按問(wèn)題原來(lái)的程序考慮，甲第一次搶“數(shù)”就有三種情況，問(wèn)題變得十分復(fù)雜，若逆向反過(guò)來(lái)思考，先從甲最后一次搶“數(shù)”的情況去分析甲的成敗。容易看出，如果還剩1，2或3（記A），甲必獲勝.再往前一步，輪到甲時(shí)，還剩5，6或7時(shí)，甲一定能制造出情況A。

由以上分析可知，輪到甲搶“數(shù)”時(shí)，若搶的“數(shù)”是4m+1，4m+2或4m+3，則甲一定勝，原因是對(duì)4m+1，4m+2或4m+3，甲搶1，2或3，剩下4m，由乙去搶;輪到甲搶時(shí)“數(shù)”總不是4的倍數(shù)，而甲搶后，輪到乙去搶時(shí)，剩下數(shù)總是4的倍數(shù)。

由于2009=4*502+1，甲第一次搶1，以后每次按上述關(guān)系來(lái)?yè)專(zhuān)瑒t甲一定獲勝。

從以上幾例可以看出，應(yīng)用逆向思維巧解數(shù)學(xué)題，方法獨(dú)特，構(gòu)思新穎。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練，幫助學(xué)生從正向思維逐步過(guò)渡到正、逆雙向思維，有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解題的靈活性，大大地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情。