由一道圓錐曲線高考題引發的思考

李霞 聊城大學數學科學學院 山東聊城 252000

一、引論

“按照新課標的要求，圓錐曲線部分被編排在人教版選修2-1中的第二章。”【1】圓錐曲線作為平面解析幾何的核心內容，是高考中考查的熱點內容。而且多以大題的形式呈現，還會結合其他知識考點綜合考查。該類型題目是考查學生對問題的綜合分析能力?！啊镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017）》指出，數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，主要包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個方面?！薄?】那么該類型題目對數學核心素養能力也會做出相應考查。文章在2017年全國Ⅰ卷理科數學試題中抽取一道題目對其進行分析，并提出部分教學建議。

二、考題分析

（2017高 考 新 課 標 I， 理 20） 已 知 橢 圓 C：，四點中恰有三點在橢圓C上．

（1）求C的方程；（2）設直線不經過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：過定點．

1.解 法分析

（1）根據橢圓對稱性，必過P3、P4，又P4橫坐標為1，橢圓必不過P1，所以過P2,P3,P4三點，將代入橢圓方程得： ，解得a2=4，b2=1，

（2）當斜率不存在時，設l:x=m，A(m,yA),B(m,-yA),，此時l過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足．

②當斜率存在時，設 l:y=kx+b（b≠ 1），A（x1,y1），B(x2,y2)

存在k使得△〉0成立．∴直線的方程為y=kx-2k-1，當x=2時y=-1，，所以l過定點(2.-1)．

2.數 學核心素養分析

本道題目要求學生根據橢圓上點的坐標，橢圓的一般形狀以及直線與橢圓的位置關系抽象出直線方程與橢圓方程之間的關系，并由此抽象出通過韋達定理來得到交點坐標與斜率和截距間的關系，在這里考查了學生的數學抽象能力；在討論斜率是否存在這個問題上考查了學生的直觀想象能力；數學運算能力是指學生已經明確解題方法的基礎上，依據運算法則來解決數學問題的過程。該題中運用到了大量的運算，充分考查了學生的數學運算能力；學生要熟練掌握橢圓的模型以及橢圓與直線的位置關系的模型才能順利完成這道題目，所以考查了學生的數學建模能力；本題將平面幾何與解析幾何進行結合，考查了學生的邏輯推理能力。通過分析可知，本題除了數據分析這一數學核心素養未考查到外，其他均有所考查。所以培養學生的數學核心素養已成為學生熟練掌握該類型題目的關鍵所在。

三、教學建議

通過對題目的分析，我們認為應激發學生學習圓錐曲線的興趣，可將數學核心素養貫穿于實際教學中，進而提升數學教學質量?！皯嬕阅芰ε囵B為抓手，提升學生數學素養的教學策略”。【3】因此，從數學核心素養角度出發，提出以下建議：

1.滲 透建模思想，培養數學建模能力。

學生對于現實生活聯系較近的數學問題頗感興趣， 從而對學習數學建模思想和方法產生濃厚的興趣。例如，在講解圓錐曲線的應用性題目時，可以建立相對應的模型來講解。因此，在圓錐曲線教學中融入建模思想式教學，以培養學生數學建模能力。

2.由 淺入深，培養數學抽象能力。

數學最大的特點就是抽象性，在圓錐曲線這部分內容表現的更為突出。教師在課堂教學中，可通過由淺入深的講解，循序漸進的提升學生的數學抽象能力。例如：在橢圓定義的教學中，可以先給出標準的橢圓模型，并給出焦點的位置，讓學生在橢圓上任取一點，通過測量和計算得到該點到兩焦點的距離之和，證明同學們得出的結果一樣。在此基礎上去學習橢圓的定義，使學生對其理解更加深刻。這樣在大量的感性材料的基礎上進行抽象思維活動，避免了學生被動的接受知識，從而提高了教學質量，培養了數學抽象能力。

3.利 用信息技術工具，培養學生的直觀想象能力。

利用信息技術工具可以向學生展示不易想象的圖形，擴大他們的空間視野。例如：在講解橢圓的概念時，可以通過幾何畫板直觀的演示動點P到兩個定點F1,F2距離的軌跡，學生就會很快領會是個橢圓。同時，通過幾何畫板的演示，理解要使點P的軌跡是個橢圓的條件是：|PF1|+|PF2|〉|F1F2|。通過幾何畫板畫出圖形，學生也可以非常直觀的理解圓錐曲線的性質。通過直觀展現，培養了學生的直觀洞察力，進而提高了學生的直觀想象能力。

4.多 元模式教學，培養數學邏輯推理能力。

數學有嚴密邏輯性的特點，邏輯推理能力是學生必須具有的基本數學能力之一。在開展數學教學活動時，可運用多元模式，以培養學生的數學推理能力。例如，開展“推導橢圓被已知直線所截的弦長”的教學中，教師要引導學生深入推導?？刹扇⌒〗M教學的方式，讓學生分組、分環節、分步驟進行深入解析，逐步構建自身的知識體系，達到提升學生的數學推理能力的教學目標。

5.強 化練習，培養數學運算能力。

圓錐曲線部分所涉及到的知識點較多，計算量很大，很多學生掌握了解題方法仍然不能得到準確的答案。建議教師放手讓學生練習，使其不斷嘗試錯誤，產生頭腦風暴，從而達到知行合一。還要時刻提醒學生在做題的同時要注意總結方法，形成自己的解題思路，這樣才能達到培養運算能力的效果。