基于GARCH-VAR模型的創業板指數收益率波動特征比較研究

趙鵬舉 海洋 殷燕

摘要：本文使用GARCH-VAR模型分別在正態分布、t分布和GED分布的情況下研究比較創業板和主板的波動特征及市場風險，結果表明GARCH模型在t分布和GED分布能夠更有效的反映收益率的尖峰厚尾特征，正態分布和GED分布下的在險價值度量相對可靠。綜合起來考慮，使用GED分布來刻畫創業板市場的收益率特征及在險價值效果最好。所有檢驗結果均表明創業板比主板具有更大的風險，同時也具有更高的回報率。

Abstract： This paper aims to measure and compare the market volatility and risks between Chinese growth enterprise market and main board market under three different distributions based on GARCH model. The results illustrate that， t-distribution and GED distribution are the most efficient patterns to depict the characteristics of volatility. The results also show that VaRs under normal and GED distributions are more reliable than t-distribution，moreover， all of the tests proved that the risk of the growth enterprise market is far more than that of the main board market， and at the same time has a higher rate of return.

關鍵詞：GARCH模型;在險價值;創業板;價格波動

Key words： GARCH model;VaR;growth enterprise market;volatility

中圖分類號：F830.91? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）25-0005-05

0? 引言

科技型中小企業是我國實現創新型國家戰略的一支重要力量，科技型中小企業的融資需求直接決定了科技型中小企業能否發展壯大。為滿足科技型中小企業的融資需求，我國目前已經逐漸構筑起了多層次的金融市場，對科技型中小企業的支持力度也在逐年加大。其中創業板市場在其中起到了愈來愈重要的作用。

我國創業板市場成立年限較短，市場的廣度和深度，市場流動性、市場穩定性等各方面指標都與發達國家有較大差距。同時，相較我國主板市場，我國創業板市場也存在著交易不夠活躍，市場波動性高等一系列問題。這些問題嚴重影響了創業板市場吸引資金的能力，制約了科技型企業的發展，進而影響到我國創新型國家戰略的實現。

市場波動率和市場風險是衡量市場穩定性的關鍵指標，對我國創業板市場的波動性進行研究有助于提升市場效率、增加市場對投資者的吸引力。本文以我國創業板市場為研究對象，選取科技型中小企業樣本對我國創業板市場的資產收益波動性特征及風險特征進行了研究。比較了不同分布情況下創業板市場和主板市場的波動特征和市場風險，并提出了意見和對策。

1? 文獻綜述

20世紀90年代，由于國際上大范圍爆發金融危機，風險管理受到了前所未有的重視。在此之前，對于風險的度量一直依賴于Markowitz（1952）的均值-方差模型，用期望收益和期望方差之間的平衡來衡量投資的不確定性。Sharp（1964）通過對投資組合理論的衍生研究提出了建立在方差所衡量的系統風險和貝塔系數所衡量的非系統性風險上的CAPM模型。以上建立在方差之上的模型雖然給風險的測度提供了可以量化的指標，但是也具有一定的局限性。Arrow（1965）在研究風險厭惡函數時提到，方差作為風險度量工具來衡量不確定性是不恰當的，因為現實中投資者衡量風險時在效用函數中通常給低于頭寸的投資結果給予更大的風險權重，反之權重較小，所以實際上的收益率一般是偏斜的，而方差所衡量的風險比重是一致的，不符合實際。因此Morgan（1995）提供的VaR（Value at Risk）方法克服了方差的局限性，用投資者的最大可能性損失來衡量風險的大小，結果更為直觀可靠。我們將采用此方法衡量和對比創業板的市場風險。

VaR是金融產品在a%的置信度水平下的最大可能性損失。每日的在險價值其中N-1為累計正態分布函數的反函數，σ為收益率的標準差，μ是收益率的均值。為了更加便于和資產收益率進行直接對比，我們在下文計算VaR時，將上述公式轉化為：此時該在險價值可以理解為：在a%的置信水平下所預測的最小可能性收益率。由于VaR方法依賴樣本的分布函數，因此我們必須在使用此方法時必須首先確定股票收益率的分布函數。對資產收益的分布假設是研究金融市場和分析市場風險的前提和基礎。多年來的一系列研究（Fama，1965;Cont和Bouchaud，2000;吳沖鋒等，2000;趙鵬舉，2009）表明，股票收益率的分布比正態分布的鐘型分布尾部更厚，峰度更高。此外，股價的波動還具有聚集性，Engle（1982）提出了刻畫股價波動聚集性的模型。Bollerslev （1986）在Engle提出的ARCH模型的基礎上，在均值方程中加入了方差本身，從而可以用來更加方便精簡的刻畫高階的ARCH現象，即GARCH模型族的起源。近年來，運用GARCH模型解決資產收益的波動問題得到了普遍的認可（Glosten，et al，1993;Herwartz，2017）。

前面所說的GARCH族模型都是用來衡量收益率的波動性特征的，也就是方差的特征。我們就在GARCH族模型均值方程和條件方差方程的基礎上預測出時間序列的均值和方差，然后代入上述在險價值VaR的方程即可得每日的在險價值。

VaR方法假定，在市場正常波動的基礎上計算金融市場所面臨的最大風險，是在假定正態分布的市場環境中計算出來的，這意味著不考慮其他極端條件發生的概率，假定收益率服從正態分布。但系列研究表明正態分布假定并不符合現實。吳俊（2015）通過構建ARMA-GARCH族模型，對比發現GED（廣義誤差分布， Generalized error distribution）分布較t分布更好擬合拆放利差序列尖峰厚尾特征。本文計算GARCH模型時的分別將正態分布，t分布和GED分布的情況都加以考慮，計算出不同分布下的條件方差，然后在計算VaR時將修改后的適應新分布的分位點代入模型中去計算在不同分布下的在險價值。隨后對不同的分布假定進行對比分析，尋找最優的分布假定。

2? 實證分析

2.1 數據說明

本文數據來源于CSMAR數據庫，選取深圳證券交易所2010年6月1日至2018年4月11日創業板股票收益指數日數據，共計1910個交易日數據，用R表示。收益率定義為連續復利收益率： ，計算后共計得到1909個對數日收益率數值。同時，為進行對比分析，我們選取相同日期的深成指作為主板收益率的代表，將中小板收益率和深成指收益率做相同的檢驗，深成指主板收益率用Rshen表示，定義為： 。

圖1和圖2分別描繪了中小板市場和主板的指數收益率波動狀況。

從創業板市場和主板市場指數的收益率時間序列圖中，可觀察到二者均存在波動“集聚”現象，因而使用ARCH族模型刻畫。除波動集聚現象外，兩市指數收益率分布還表現出明顯的尖峰厚尾現象，而且偏度為負。表1匯總了兩市收益率的基本統計特征。

表1中尾指數的計算使用的是改進的Hill估計方法，由Huisman（2001）等人提出，具體計算方法參見趙鵬舉（2009）的論文。

從表1中可以看出，主板市場收益率較低，同時風險較小，兩市指數日收益率都具有明顯的尖峰厚尾現象，Jarque-Bera統計量分別為461.9和1426.6，P值均接近0，拒絕服從正態分布的原假設。而創業板市場的厚尾現象更顯著，表明創業板市場極端收益發生的概率更大。兩市收益率偏度均為負值，表明低收益率發生的概率較大，這一點主板市場表現的更為明顯。

下面我們在GARCH族模型的基礎上更符合收益率波動尖峰后尾特征的t分布以及GED分布下的兩個板塊指數日收益率的在險價值VaR。

2.2 數據模型

模型的基本思路是首先選取恰當的GARCH模型來刻畫市場收益時間序列的均值和方差特征，隨后用GARCH模型計算出指數收益率的條件方差，其后開方求出標準差，使用該標準差使用VaR模型對中小板市場和主板市場的市場風險進行對比分析。

2.2.1 數據平穩性檢驗

我們對創業板和主板的指數收益率時間序列分別進行單位根檢驗，ADF檢驗結果的t統計量分別為-40.4159和-41.4995，P值為0，結果顯著，創業板市場和主板市場的指數收益率均為平穩序列。

2.2.2 收益率序列的自相關性檢驗

分別對主板和創業板收益率進行自相關性檢驗，結果如表2所示。

從表2中可以看出，創業板幾乎各階的滯后項超出誤差邊界，P值顯示統計結果非常顯著，均在99%的置信水平下存在自相關;主板在滯后一階、二階和三存在自相關，而第三至七階自相關性不顯著。因此，創業板和主板均能顯著拒絕序列不存在自相關的原假設，序列存在自相關。

2.2.3 檢驗殘差ARCH效應

為了初步斷定殘差序列是否存在ARCH效應，我們提取擾動項，并分別對創業板和主板收益率建立一個只包含常數和擾動項的簡單方程， 和 ，利用簡單OLS法進行回歸，回歸結果中常數項的t值分別為0.71和0.09，p值0.48和0.92，不能拒絕參數為0原假設。回歸方程擬合為 和 。我們可以初步認為對數收益率符合隨機游走。提取誤差項，進行關于殘差平方 和 的自相關和偏自相關檢驗，結果如表3所示。

從檢驗結果看，創業板和主板市場指數收益率的殘差平方的自相關系數滯后各階均顯著不同于0，且Ljung-Box 統計量的P值全部趨近于0，檢驗結果顯著，拒絕殘差平方自相關系數為零的原假設，即兩市殘差平方中均存在自相關。

為了檢驗殘差序列是否存在自相關的條件異方差，我們通過更正式的拉埃格朗日原理（LM）來檢驗ARCH效應。建立以殘差滯后項為殘差平方的函數的輔助方程：檢驗結果見表4。

從表中可以看出，直至殘差滯后項5期，我們可以觀測到兩個序列的TR2值都很大，而且隨著滯后項增多而逐漸增大，P值趨向于0，表明因變量被自變量解釋的比例很大，且原假設出現概率極低，因此拒絕殘差序列中不存在ARCH效應的原假設，兩市指數收益率序列的殘差序列均存在ARCH效應。

2.2.4 建立GARCH模型

由于上述檢驗證明序列R存在序列自相關，且通過回歸殘差自相關圖判斷采取AR模型較為適合。所以我們采取AR模型來描述均值方程。根據擬合結果的AR滯后項z統計量和p值來看，創業板序列的AR（3）、AR（4）、AR（5）以及常數項均不顯著，所以將這四項從均值方程中剔除。主板序列除AR（1）之外的項均不顯著，我們在均值方程中保留AR（1）其他部分剔除后進行下一輪擬合，結果如表5。

對兩市的殘差平方序列檢驗結果發現，殘差平方中存在高階的自相關的條件異方差。總結上述檢驗發現，AR（2），GARCH（1，1）模型能夠較好的描述創業板收益率的波動性特征;AR（1），GARCH（1，1）模型能夠較好的描述主板收益率的波動性特征。最終選定的模型如下：

創業板市場的GARCH模型：

主板市場的GARCH模型：

兩市指數收益率的GARCH模型在不同的分布假定下分別進行擬合，其相關參數見表7。在上述檢驗結果的基礎上，我們對模型擬合的優良性進行最小信息準則檢驗。不同分布下的GARCH模型擬合檢驗結果如表6所示。

從檢驗結果可以看出，三種分布假定下模型擬合的優良性質相差微乎其微，相對而言，無論是對于創業板還是主板來說，t分布和GED分布都比正態分布下的AIC和SC值要小，其中t分布下的值最小。說明t分布和GED分布相比正態分布更能準確刻畫收益率的波動性特征。

3? 基于多分布下GARCH-VaR的比較實證研究

在前文檢驗的基礎上，我們分別使用三種分布假設（正態分布，t分布，GED分布）來對比討論創業板及主板在GARCH模型下的在險價值。

3.1 三種分布下的波動性特征分析

在前文所述檢驗結果的基礎上，對創業板和主板市場指數收益率的GARCH模型分別進行回歸，結果如表7。

從上述檢驗結果可以看出，創業板方差方程中的所有ARCH項和GARCH項都是顯著異于0的，且參數之和小于1，滿足參數的約束條件。由于系數之和接近于1，表明條件方差的收斂速度較慢，所受到的沖擊σ具有持久性。另外模型回歸的對數似然值較高，模型具有可信度。

主板數據在三種分布下的GARCH模型方差方程中的所有ARCH項和GARCH項也都是顯著異于0的，且參數之和小于1，但是小于創業板的參數之和，證明主板條件方差收斂速度比創業板快，一個方差所受到的到沖擊不如創業板的持久。

3.2 三種分布下的在險價值比較

GARCH模型在三種分布假設下的95%置信水平和99%置信水平的創業板股市的在險價值VaR，基本統計量分別如表8。

相對于主板市場，在三種分布的兩種置信度水平下，創業板的在險價值最大值和最小值都比創業板要高，均值和標準差也都更高，說明創業板的波動幅度比主板要大，創業板的最大可能性損失高于主板，投資風險比主板要大。

相對于正態分布假定，在t分布下，GARCH族模型所衡量創業板的收益率的在險價值覆蓋范圍均有所擴大，最大可能性損失的值域更加寬泛，均值和標準差都有所提升。這意味著在t分布下，我們所捕捉到的創業板的市場收益率波動比正態分布下預測到的波動劇烈，捕捉到的極端情況相對要多，估測到的風險較正態分布下的風險要大。

GED分布下捕捉到的收益率波動風險在三種分布中處于居中，比正態分布下估測到的風險高，但是低于t分布下估測的風險值。

3.3 三種分布下的失敗頻率對比分析

為了檢測創業板每日的價格波動是否在期望風險范圍內，驗證三種分布情況下的GARCH模型所衡量的在險價值能否精確有效反映創業板投資風險，我們在GARCH模型的基礎上對創業板日收益率、主板日收益率的在險價值分別在兩個置信度水平下進行了計算并對比分析，結果如表9。

檢驗結果表明，在正態分布的95%和99%置信水平下，創業板的實際失敗天數均高于期望失敗天數，實際失敗頻率均高于設定的顯著性水平。這一方面證明我們對于創業板投資風險的技術估計過于樂觀，VaR值，也就是最大可能性損失值被低估了;另外實際失敗頻率高于期望失敗頻率，也證明了創業板的實際投資風險，比技術估計的要高。

對比兩個市場發現，創業板收益率的波動風險在正態分布下被嚴重低估，市場不穩定，風險較大。而在95%置信水平下，主板相對穩定，VaR方法能夠相對較好的估測主板的波動風險。總的來說，無論是創業板還是主板，在正態分布假設下的風險都是被低估的。低估股市風險可能是由于我們的正態假定，忽略了分布的尾部特征。

當改變了收益率的分布假設后，實際的失敗頻率明顯降低，創業板和主板在t-分布下均高估了風險，主板的風險被高估的更嚴重一些。說明雖然t分布能夠較好的模擬股票收益率序列的波動聚集性，且t分布下序列的尖峰后尾性能夠更好的體現出來，但是對于衡量在險價值VaR，t分布下的GARCH族模型估測的最大可能性風險值過于謹慎，不是最合理的選擇。

4? 結論

本文使用GARCH-VAR模型分別在正態分布、t分布和GED分布的假定下比較分析了創業板和主板的波動特征及市場風險，總體結果如下：

①創業板市場波動性比主板要大，我們通過建立GARCH-VaR模型來衡量創業板和主板的在險價值，發現創業板面臨的風險大于主板。

②通過在險價值的失敗頻率檢測，發現創業板的實際失敗頻率比主板要高，在正態分布和GED分布下，創業板的在險價值VaR被明顯的低估了，創業板市場的實質風險要高于技術分析得出的市場風險。

③t分布和GED分布下的模型擬合結果最好，且在t分布和GED分布下估測出的VaR值相比正態分布下估測的VaR值值域更加寬泛，覆蓋范圍更廣，說明t-分布和GED分布相比正態分布更能捕捉到股市收益率分布的尖峰厚尾特征。

④雖然建立在t分布和GED分布之上的GARCH族模型更能捕捉股票收益率波動的尖峰厚尾特征，體現波動的集聚性，但是在t分布下，創業板和主板的市場風險都被高估了，其中主板更加明顯一些，說明t分布下的最大市場風險度量過于保守。

⑤GED分布假定下的主板在險價值度量效果較好，實際失敗頻率明顯降低。說明考慮尖峰厚尾分布對于在險價值度量影響較大，t分布下的技術分析容易過于謹慎，從而高估風險，GED分布對在險價值的影響沒有t分布下的大，在較高的風險水平下，預測相對準確。

綜合上述分析，t分布和GED分布更能描述創業板和主板的波動特征，GED分布假定下的GARCH模型對于衡量波動特征和度量在險價值是最為恰當有效的。

參考文獻：

[1]Markowitz H.. Portfolio Selection [J].The Journal of Finance，1952（2）： 77-91.

[2]Sharp W.. Capital Asset Prices： A Theory of Market Equilibrium under conditions of risk [J].The Journal of Finance，1964（3）： 425-442.

[3]Sharp W.. A Simplified Model for Portfolio Analysis[J]. Management Science， 1963（2）： 277-293.

[4]Arrow， K.. The Theory of Risk Aversion， the Theory of Risk-bearing[M]. Chicago： Markham， 1971： 90-120.

[5]Fama E.. The Behavior of Stock Market Prices[J]. Journal of Business， 1975，38（1）： 34-105.

[6]Cont R， Bouchaud J.. Head Behavior and Aggregate Fluctuations in Financial Markets [J]. Macroeconomic Dynamics，2000，4（2）： 170-196.

[7]吳文峰，吳沖鋒.股票價格波動模型探討[J].系統工程理論與實踐，2000，20（4）：63-69.

[8]趙鵬舉.反饋交易與證券市場收益的尖峰厚尾特征[J].系統工程，2009，27（2）：7-13.

[9]Bollerslev T，Engle R.F， and Wooldridge J. M. A Capital Asset Pricing Model with Time Varying Covariances [J]. Journal of Political Economy， 1988，96： 116-131.

[10]Bollerslev T，Engle R.F.. Common Persistence in Conditional Variances[J]. Econometrica，1993，61（1）： 167-186.

[11]Bollerslev T.. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity [J]. Journal of Econometrics， 1986，31： 307-327.

[12]Bollerslev T.. A Conditional Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return [J]， Review of Economics and Statistics， 1987，69： 542-547.

[13]Glosten L. R， Jaganna T.. On the Relation Between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks[J].Journal of Finance，1993，8（5）： 1779-1801.

[14]Herwartz H.. Stock Return Prediction Under GARCH-An Empirical Assessment [J]. International Journal of Forecasting，2017（33）： 569-580.

[15]吳俊.上海銀行間同業拆放市場杠桿效應——基于GARCH族模型的比較研究[J].管理現代化，2015，2015（1）：4-6.

[16]Huisman R， koedijk KG， Kool C J M. Tail-index estimates in small samples[J]. Journal of Business and Economic Statistics， 2001， 19： 2008-216.