“化整為零”在概率論教學中的應用

胡平 蔡希文

化整為零思想就是將一個事物作為一個整體，每個整體都是由若干個不同且不可分割的部分構成的，學生要想對這個整體進行了解和探索，就要將整體進行切割，細致了解不同部分的具體情況，從而了解整體問題，由此可見，“化整為零”在概率論教學中的應用，就是將概率論問題的整體進行細化，從多個個體角度出發解決問題，以多個小問題促進概率論問題的解決。本文結合實際教學經驗，分別從引入概率定義、突擊問題本質、解決實際問題的角度出發，深入探究“化整為零”在概率論教學中的應用這一課題。

“化整為零”是一種重要的數學思想，也是數學界學者們探究數學問題的運用方法，在笛卡爾的《方法論》中提出“將復雜的問題看做一個整體，盡可能多的將整體問題分化為若干個小問題，逐個擊破，從而解決復雜問題”，這句話既是“化整為零”思想在數學問題探究中應用的證明，又直接表明了“化整為零”在數學問題中的實際應用技巧與方法。概率論是數學學科的重要組成部分，也是經典的數學思想問題，學生在學習概率論時常常會遇到一些難以分析的問題，教師在概率論的教學過程中引進“化整為零”思想，首先可以結合具體數學課例引入概率定義;然后要認真觀察重點突擊問題本質，逐個突破知識點并進一步探究問題本質，提升學生的數學邏輯思維;最后要著重培養學生解決實際問題的能力。

1 化整為零第一步，結合具體數學課例引入概率定義

數學教師要始終給學生灌輸“發現問題、探究問題、解決問題”的良好數學學習思維，引導學生通過“觀察—探究—解決”等一系列數學學習活動提升學生的數學邏輯思維，促使學生找到科學的數學學習方法。在概率論的教學中，數學教師要引進“化整為零”思想，第一步就是要結合具體的概率論知識點與數學課例，通過講解案例的方法引入概率定義，加深學生對概率論知識點的理解，提高課堂教學效率。教師引進課例可以通過兩種方法，第一種方法是建設課堂教學情境，將概率論知識點的應用場景無限貼合學生的日常生活，從而引進概率論知識點，讓學生對概率論知識的應用產生直觀感受，提升學生對概率論知識的接受程度和理解程度;第二種方法就是利用多個概率論事例進行而對比，引發學生的思想，讓學生積極主動的探究不同案例之間的聯系，最終引出相關知識點，避免學生產生知識點混淆的情況。

以《全概率公式》課堂教學為例，數學教師可以根據全概率知識點的教學目標“了解并掌握全概率公式的適用范圍、基本步驟及其具體運用”及全概率知識點的特性設計教學場景“在我們的日常生活中，很多人都有購買彩票或者是刮刮樂的經歷，那么我們知道無論是先購買彩票還是后購買彩票，其實每個人所購買彩票的中獎概率均等的，那么請同學們思考這是為什么？”、“那么刮刮樂的中獎概率也是如此嗎？他們有什么不同？哪里不同？”，通過這種方式讓學生產生熟悉感，激發學生的學習興趣與探究熱情，引導學生對“彩票與刮刮樂的中獎概率”進行深入探究并思考，促使學生在“彩票”的問題中得出“設實驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，...，Bn為S的一個劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，...，n），則P（A）=P（A|B1）*P（B1）+P（A|B2）*P（B2）+...+P（A|Bn）*P（Bn）”的全概率公式定義。這種結合具體數學課例引入概率定義教學方法，不僅可以幫助學生明確全概率知識點，加深學生對全概率知識點的理解，還能直接告訴學生全概率公式的應用基礎，提高學生對全概率理論的應用能力。

2 化整為零第二步，認真觀察重點突擊問題本質

2.1 化繁為簡，逐個突破知識點

數學教師在概率論的教學中，要重點培養學生“探究問題”的能力，引導學生形成良好的數學思維與邏輯思維能力，將復雜的問題簡單化，分解復雜問題，優先解決分散的小問題，從而解決復雜問題，提高解決問題的效率。教師在教學過程中可以有計劃、有目的的引導學生逐漸樹立“化整為零”的數學思維，讓學生將概率論問題中的小問題單獨抽取并解決，降低概率論問題的難度，樹立概率論問題的解決思路與知識點脈絡。

以《全概率公式》的實際教學為例，教師要明確運用“化整為零”的第二步，引導學生認真觀察全概率公式中的問題，將復雜問題中的小知識點分別提煉出來，如：隨機試驗A的樣本空間為Ω，若B1、B2、B3、···Bn···為A的一組事件，并且分別滿足以下條件“具備完全性、具備非負性、具備互不相容性”，則對于A的任意事件C，有P（C）=P（B）P（C|B）。在這組課題中，“P（C）=P（B）P（C|B）”就是我們課本教材中的P（B）=P（A）P（B|A），就是正在學習的全概率公式，教師引導學生將全概率公式設立為樣本Ω，將Ω劃分為B1、B2、B3、···Bn···，就是將復雜事件A劃分成若干個小時間，然后在通過概率的加法公式給出結果，優先解決這些小問題的計算，從而解決復雜問題。

2.2 探究問題本質，提升數學邏輯思維

數學教師將“化整為零”思想引進概率論教學中，在引導學生探究問題本質時，除了要幫助學生樹立“逐個擊破”的思維，還要帶領學生探析概率論的問題本質，培養學生的數學邏輯思維，從而提升學生的數學綜合能力，提高課堂效率。

以全概率公式以及分布函數的課堂教學為例，在全概率定義中，很多知識點的形式接復雜，但是基本是較為簡單，教師在教學的過程中可以引導學生認真觀察其復雜的表面形式，如：“設T是一個隨機變量，稱F（t）=P{T≤t}”，讓學生通過表面形式分析問題的本質，從而找到更好的問題解決方法，比如：在離散型的變量計算中，教師可以引導學生在計算隨機變量的分布函數時引進“化整為零”數學思維，尋找能夠滿足特定條件的pij，先求和，然后在給出分布函數的表達公式。

3 化整為零第三步，培養學生解決實際問題的能力

概率論不僅僅是數學領域的重要問題，也是我們日常生活中的常見問題，數學教師可以在概率論的課堂教學中引進日常工作、生活中的一些小問題，讓學生通過解決實際生活問題的方式練習概率論的具體應用方法，提升學生對概率論知識點的掌握與理解，循序漸進的培養學生運用概率論知識解決實際問題的能力。

在我們的日常生活中，有很多場景應用到了概率論問題，如上述提到的彩票中獎問題、超市排隊結賬速度問題、醫院體檢問題，等等。以《貝葉斯公式及其應用》的課堂教學為例，教師可以根據貝葉斯公式的特性及課堂教學目標引進生活實際問題“血液化驗問題”，“在學校某項血液化驗中，帶病菌的學生檢出陽性（概率為0.95），但會存在1%的誤診概率”，設定這種病菌的發病率是0.5%，那么問在已知體檢結果為陽性的情況下，此學生的患病概率是多少？在這個生活問題中，結果是“陽性屬性病人”，而能夠被確診為陽性有兩種可能，一種是確實患病的學生，另一種是被誤診的健康學生，教師要讓學生明確這兩種可能，引發學生進一步思考“帶菌學生的發生概率是P（帶菌︱陽性），誤診病人的發生概率是P（不帶菌︱陽性）”，進一步確定B={陽性}，A1={不帶菌}、A2={帶菌}，由此讓學生根據這個思路對此問題進行解決。

這種生活中的小問題能夠在很大程度上激發學生的學習興趣，誘使學生積極主動的與教師保持思維同步，按照教師設定的路線解決生活問題，加深對概率論定義、使用方法、基本理論等知識點的理解。

4 結語

總而言之，概率論問題是數學學科的重要問題，也是學生數學學習生涯中的重點與難點，教師要結合實際情況，根據概率論中不同知識點的內容適當引進“化整為零”思想，引導學生先了解問題整體，再將整體分成若干個小重點，逐一解決，從而解決整體問題，提高數學學習效率。教師在概率論教學過程中引進“化整為零”數學思想可以有效改善概率論知識點的枯燥感，提升學生的課堂學習興趣，激發學生的邏輯思維能力，促進學生對概率論知識的掌握。

（作者單位：信陽農林學院）