初談《三角形內(nèi)角和定理》輔助線作用

趙凌

摘 要：三角形內(nèi)角和定理的證明，可通過(guò)添加輔助線構(gòu)造新圖形形成新關(guān)系，如何建立已知和未知的橋梁，問(wèn)題轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明。

關(guān)鍵詞：三角形內(nèi)角;定理;平行線

在小學(xué)階段同學(xué)們會(huì)信心十足地說(shuō)：“我用量角器量過(guò)許多三角形的內(nèi)角，每一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的和確實(shí)都等于180°”，或者說(shuō)：“我們?cè)言S多三角形紙片的三個(gè)角剪下來(lái)，拼成一個(gè)平角，得到三角形的內(nèi)角和是1800”。或者通過(guò)折一折的幾何操作方法來(lái)確認(rèn)“三角形的內(nèi)角和是1800”，但是對(duì)于“三角形內(nèi)角和1800 ”的形成過(guò)程卻不知道？我們動(dòng)手操作的實(shí)踐過(guò)程中會(huì)不會(huì)出現(xiàn)誤差？不管是度量還是拼角都會(huì)存在誤差;那么我們能不能用其他方法證明這個(gè)命題？

到了初中階段通過(guò)嚴(yán)格的幾何證明得出了“三角形的內(nèi)角和等于180°”，在課本中是直接利用平行線的性質(zhì)通過(guò)平移角的方法來(lái)證明的.對(duì)初中生來(lái)說(shuō)添加輔助線是很難的，因?yàn)檫@是他們第一次通過(guò)添加輔助線來(lái)證明題目.為了不讓初中生對(duì)添加輔助線產(chǎn)生畏懼，教師一定要引導(dǎo)、設(shè)計(jì)好這一課，但是我們?cè)撊绾谓o學(xué)生講清楚為什么要添加輔助線，讓學(xué)生“知其然，知其所以然”，讓學(xué)生在基于認(rèn)知和生產(chǎn)的數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ)上的開(kāi)花、結(jié)果。這就要求教師要運(yùn)用自己的智慧和魅力不斷地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和發(fā)散思維能力，鼓勵(lì)學(xué)生大膽實(shí)驗(yàn)，小心求證。這既能擺脫習(xí)慣思維的束縛，拓寬思維范圍，又能使創(chuàng)造性思維能力得到發(fā)展，以適應(yīng)當(dāng)前素質(zhì)教育的需要。

介紹新法、激發(fā)興趣

一、操作實(shí)驗(yàn)法

法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡11歲時(shí)，在玩長(zhǎng)方形時(shí)發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形沿對(duì)角線折疊得到兩個(gè)完全相同的直角三角形。他想：任意長(zhǎng)方形的四個(gè)直角之和是3600，那么兩個(gè)完全一樣的直角三角形的內(nèi)角和就是1800，所以他進(jìn)一步推斷“任意三角形的內(nèi)角和為1800”。

二、推理證明法

方法一

分析：因?yàn)? ∠B=∠2

所以MA∥BC

因?yàn)? ∠C=∠3

所以NA∥BC

因?yàn)?過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以M、N、A在同一條直線上，所以∠MAN=1800

從而得到：

要想證明三角之和等于180度，那么我們要借助平行線，所以在這里添加輔助線。

證明：過(guò)A點(diǎn)作MN∥BC

因?yàn)镸N∥BC

所以∠B=∠2 ，∠C=∠3

因?yàn)椤螹AN=180°? ，∠A+∠2+∠3=180°

所以

方法二

分析：∠A移到∠1的一條邊和CA的邊重合，另一條邊為CM;∠B移到頂點(diǎn)C處讓∠B的一條邊與BC的延長(zhǎng)線重合，另一邊落在CM處，

因?yàn)?∠A=∠1

所以MC∥BA

因?yàn)椤螧=∠2

所以? CM∥BA

又因?yàn)椋篗C∥BA，CM∥BA

所以CM與CM相重合

因?yàn)?過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，

所以B、C、D在同一條直線上

所以∠BCD=180

從而得到：

證明：過(guò)C點(diǎn)作MC∥BA，延長(zhǎng)BC 到D

因?yàn)镸C∥BA

所以∠A=∠1，∠B=∠2

因?yàn)椤螧CD=1800 ，∠C+∠2+∠3=1800

所以

波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)道“聰明的學(xué)生和讀者不會(huì)滿足于只驗(yàn)證推理的各個(gè)步驟都是正確的，他們也想知道各個(gè)步驟的動(dòng)機(jī)和目的，如果一條巧妙的輔助線和輔助圖形突然出現(xiàn)在圖形中看不出什么動(dòng)機(jī)，并且令人驚訝的解決出了問(wèn)題，那么聰明的學(xué)生會(huì)和讀者會(huì)感到很失望，她們覺(jué)得上當(dāng)受騙了。”通過(guò)以上兩種推理證明方法，深刻的向?qū)W生講清楚幾何證明過(guò)程中的“為什么”。

參考文獻(xiàn)

[1]《中學(xué)數(shù)學(xué)教師需要具備怎么的知識(shí)》 新疆師范大學(xué) 楊軍