一道解三角形問題的多視角探究及方法的同一性

鮑煥

1 概述

本文將從不同視角給出解三角形問題的三類不同方法，并挖掘其不同視角之間的內(nèi)在聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)教學(xué)中應(yīng)該注重通性通法的探究。

1.1 待解題目

在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，求△BCD面積的最大值。

2解題視角

2.1解題視角一：代數(shù)視角

將⑦、⑧兩式代入①式中可得⑥式，進(jìn)而求最值。

這兩種代換方式是對(duì)于正三角形的邊長(zhǎng)x采用設(shè)而不求的方法，使得計(jì)算更加簡(jiǎn)便。

這里我們用了兩種方法對(duì)①式進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，雖然這兩種方法得到的最終函數(shù)的自變量不同，但思想方法是共通的，都用了轉(zhuǎn)化與化歸的思想將雙變?cè)暮瘮?shù)轉(zhuǎn)化成了單變?cè)暮瘮?shù)，用函數(shù)的思想來進(jìn)行求解。

2.2解題視角二：解析視角

2.3解題視角三：幾何旋轉(zhuǎn)視角

3解題思考

這里，我們對(duì)以上這三種解題視角進(jìn)行思考，以便于達(dá)到舉一反三的目的。從表面上來看，這三種視角用了不同的解題方法，但實(shí)際上，它們是有內(nèi)在聯(lián)系的。

視角2中的參數(shù)換元角是與軸正方向的夾角，恰好與視角1中的角是互補(bǔ)的，如果對(duì)視角2中的進(jìn)行換元，那么這兩種方法就是統(tǒng)一的;而視角2和視角3中求的面積都是用了公式：面積=×底×高，底是固定的，當(dāng)高達(dá)到最大值時(shí)面積最大，這兩種方法是相關(guān)聯(lián)的。

隨著課程改革的推進(jìn)和教育理念的轉(zhuǎn)變，我們應(yīng)該知道，通性通法才是最重要的解題方法。在教學(xué)過程中，不但要追求一題多解，更應(yīng)該追求多解歸一，要對(duì)不同方法中隱含的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行深度挖掘，這樣才有助于形成通性通法。