主元不同，精彩當然不一樣！

劉勝軍

摘 要：身邊的事物，從不同的角度去看，會得到不同的結果，對于同一個問題，用不同的思維去思考，也是如此。文中就結合具體的題目，探討了從不同的角度去領悟不同的數學美。

關鍵詞：函數;思維;數學美

宋代著名大詩人蘇軾曾在《題西林壁》中寫道“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”。告誡后人看問題的角度不同，得到的結論可能完全不一樣，很多的時候收獲的美景更是未曾想過的。正所謂“換個角度去看問題，換種思維去對待身邊的事物，生活不就需要我們這種思維轉換嗎？像沙漠中的一眼清泉，冬天里的一縷陽光，黑夜里的一絲光明，都會給你更多的驚喜”。今天我將帶領大家來領略數學中換個角度的數學美，簡直精彩絕倫。

精彩之1：一次函數之簡潔與樸實

例1：對于滿足|p|≤2的所有的實數p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

【分析】在不等式中出現了兩個字母x、p，首先考慮的是以誰為主元的問題。若以x為主元，則需要分x=2，x>2，x<2三種情況討論，然后利用恒成立的知識處理，相對較繁雜。若以p為主元，情況將徹底反轉。給人“將計就計，戰出不一樣的精彩”之感。

【解析】：不等式x2+px+1>2p+x可化為（x-1）p+x2-2x+1>0，記：f （p）=（x-1）p+x2-2x+1，則函數f（p）是關于p的一次函數，由題設要求知：f （p）>0在p∈[-2，2]上恒成立，所以其充要條件是： ，解得：x<-lorx>3。

精彩之2：二次函數之柔和與深邃

例2：已知函數f （x）=3x+a與函數g （x）=3x+2a在區間（b，c）上都有零點，求 ?的最小值。

【分析】本題的代數式涉及到三個變量，這讓很多的學生一籌莫展，畢竟平時很少涉及到三個變元的問題.換個角度和思路，則豁然開朗。若將代數式看成關于a的二次函數去求解，于是可以收到“金蟬脫殼，蝴蝶變鳳凰”的華麗轉身的效果.

【解析】：設 ，

當a=-（b+c），即a+b+c=0時，有最小值-1。

由，由此可得：b-c

即當a+b+c=0時，，所以的最小值為-1。

精彩之3：根根相傳與點到直線距離之完美融合

例3：[2017年福建省高中數學競賽第8題]若關于x的方程x2+ax+b-3=0（a，b∈R）在[1，2]上有實根，則a2+（b-4）2的最小值為

。

【分析】本題是“函數與方程”搭臺，“不等式”唱戲的經典配合. 是一道經典的競賽題.著重考查學生的分析問題、解決問題的能力，對轉化與化歸思想、分類討論思想、數形結合思想進行深度的考查。常規方法的分類討論非常繁雜，對學生的數學功底要求很高。“窮則思變，變則通，通則久”如果視a，b主元，則可以避免多變量的繁雜討論，更好提升學生的思維品質。給人“豁然開朗，一馬平川”之感。

【解析】：視a，b主元“若關于x的方程x2+ax+b-3=0（a，b∈R）在[1，2]上有實根，求a2+（b-4）2的最小值”轉化為：求點（0，4）到直線l：xa+b-3+x2=0上的點（a，b）的最小值問題，顯然點到直線的距離最小。

當x∈[1，2]，∴ ，

∴a2+（b-4）2的最小值為2。

精彩之4：導數華麗綻放之唯美

例4：（2013年高考全國卷II理科21題）已知函數f （x）=ex-ln（x+m）。

（1）設x=0是f （x）的極值點，求實數m并討論f （x）的單調性;

（2）當m≤2時，證明f （x）≥0。

【分析】本題是以導數與不等式為載體的壓軸題，對學生的自主探索能力，邏輯思維能力，轉化與化歸的能力及創新意識均有較高的要求，體現出考查學生的學習潛力和高考的選拔功能。常規方法的冗長和放縮方法的巧妙是學生難以掌握的。倘若在第（2）問中以m為主元，將給人以“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”之震撼。

【解析】：（1）略;

（2）視f （x）=ex-ln（x+m）為以m為自變量的函數g （m）=ex-ln（x+m），

∵函數g （m）在（-∞，2]上遞減，∴g （m）min=g （2），

要證：當m≤2時，f （x）≥0g （2）=ex-ln（x+2）>0。

令φ（x）=ex-ln（x+2），φ'（x）=ex-，∵φ'（x）在（-2，+∞）上是遞增的，

又∵φ'（-1）=-1<0，φ'（0）=>0，則φ'（x）在（-2，+∞）上有唯一的零點x0，滿足φ'（x0）=0即x0+2=e-x0，且x0∈（-1，0），

∴x∈（-2，x0）時φ'（x）<0，x∈（x0，+∞）時φ'（x）>0。

∴φ（x）min=φ（x0）=e-ln（x0+2）=e-lne-=，

故命題得證。

結束語

著名的英國探險家貝爾曾說過“有時需要離開常走的大道，潛入森林，你就肯定會發現前所未見的東西”。換個角度看問題，生命會展現出另一種美。很多的時候，面對枯燥的數學題，一籌莫展……但有時只要打破常規，不走尋常路，你會領略到逆襲帶你的狂歡和唯我獨尊的快感。不正是“一片落葉，你也許會看到‘零落成泥碾作塵的悲慘命運，但是只要換個角度想，你便會發現它‘化作春泥更護花的高尚節操”的寫照嗎？

為了更好讓學生掌握以上的解題方法，以下三題給予練習。

1.已知函數f （x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區間（0，1）內有兩個零點，求3a+b的取值范圍。

2.設a∈R，求關于x的函數y=（a2+1）x2+ax-1的零點的最大值和最小值。

3.[2007年全國高中數學聯賽遼寧賽區初賽試題]若關于x的方程 有實根，則a2+b2的最小值為 ? ? 。

答案：1.（-5，0） ? ? 2.， ? ? ?3.

參考文獻：

[1] 蔣亞軍.例談幾類解題方法的妙[J].中學數學（湖北）2016.10.

[2] 蔣亞軍，魏定波.探究一道競賽題，破解一類函數題[J].中學數學研究（廣東）2018.3.