截面法求解二重積分中的體積問題

曹漢林

摘 要： 本文通過列舉一些二重積分中的體積問題的例子，和如何使用截面法來計算這些問題。通過使用不同的方法來求解，為積分問題的計算提供了一些技巧，拓寬了解題思路。

關鍵詞： 二重積分;體積;截面法

計算二重積分中的體積問題時，最常用的還是兩種方法，一種是用直角坐標系，另一種是用極坐標系。利用直角坐標系時，通常轉化為累次積分求解。利用極坐標系時，極坐標下的二重積分轉化為二次積分來計算，關鍵是給出r，θ的上下限。但是在一些求體積的問題中，無論是用上面的哪種方法，可能都會有一點麻煩，但是針對這樣一些特殊問題，截面法卻能更簡便求解，使二重積分問題大大簡化。

例1 求曲面z2=? x2 4 + y2 9 和2z=? x2 4 + y2 9 所圍成的立體V的體積。

解：立體V在xoy平面上的投影區(qū)域D為 x2 4 + y2 9 ≤4，立體的頂面為 z=??? x2 4 + y2 9? ，底面為z= 1 2?? x2 4 + y2 9? ，令 x=2rcosθ

y=3rsinθ ， 0SymbolcB@rSymbolcB@2

0SymbolcB@θSymbolcB@2π ，得 （x，y） （r，θ） = 2cosθ-2rsinθ

3sinθ 3rcosθ? =6r，則體積

V =D?? x2 4 + y2 9?? 1 2 - 1 2?? x2 4 + y2 9?? dxdy =6∫2π0dθ∫20 r- 1 2 r2 rdr=8π

截面法：當兩個曲面相交時，z2=2z，推出z=2，在0≤z≤2時，曲面2z=? x2 4 + y2 9 在z2=? x2 4 + y2 9 上方。用平行于平面xoy的平面去截這兩個曲面，則每個截面都是橢圓面，由此可知立體V的截面面積為2?? 2z ×3?? 2z ×π -2z×3zπ=12zπ-6z2π，因此立體V的截面面積是關于z的一個函數(shù)，且z的取值范圍為 0，2 。所以體積V=∫2012zπ-6z2π= 8π。

例2 求曲面z=x2+y2與x2+y2+z2=2以及xoy平面所圍成的立體體積。

解：立體V1在xoy平面上的投影區(qū)域分為兩部分，分別是D1：x2+y2SymbolcB@1與D2：1SymbolcB@x2+y2SymbolcB@2，令 x=rcosθ

y=rsinθ ， 0SymbolcB@rSymbolcB@2

0SymbolcB@θSymbolcB@2π ，得 （x，y） （r，θ） = cosθ-rsinθ

sinθ?? rcosθ =r

則V1 =D1x2+y2dxdy+D2?? 2-x2-y2 dxdy =∫2π0dθ∫10r2rdr+∫2π0dθ∫?? 2 1r?? 2-r2 dr = 1 2 π+ 2 3 π= 7 6 π。

截面法：當兩個曲面相交時，z=2-z2，推出z=1.用平行于平面xoy的平面去截這兩個曲面，則每個截面都是圓面，由此可知立體V1的截面面積為（2-z2-2）π，且 z的取值范圍為 0，1 。所以體積V1=∫10（2-z2-2）πdz =? 7 6 π。

例3 求橢球體 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2SymbolcB@1的體積。

解：由對稱性，橢球體的體積V2是第一卦限部分體積的8倍，這一部分是以z=c?? 1- x2 a2 - y2 b2? 為曲頂，D={（x，y）|0≤y≤b?? 1- x2 a2? ，0≤x≤a}為底，所以V2= 8Dc?? 1- x2 a2 - y2 b2? dxdy，應用廣義極坐標變換，由于z= c?? 1-r2 ，因此

V2 =8∫ π 2 0dθ∫10 c?? 1-r2 abrdr

=8abc∫ π 2 0dθ∫10?? 1-r2 rdr = 4 3 πabc。

截面法：用平行于平面xoy的平面去截該橢圓體，得到的是一個橢圓面，面積為πab（1- z2 c2 ），且z的取值范圍為 -c，c 。所以V2=∫c-cπab（1- z2 c2 ）dz= 4 3 πabc。

從上面三個例子可以看出，截面法明顯感覺到更簡便一些。使用截面法時，先用平行于平面xoy（視情況而定平行面）的平面去截該立體，然后會得到關于自變量z的一個截面面積函數(shù)，在確定z的取值范圍，之后就可以用定積分來求解。但是若要計算z=x2+y2和z=x+y所圍成的立體體積，如果使用截面法求解，則會很難得到關于z的一個截面面積函數(shù)。這也就說明了不是所有的二重積分中的體積問題都可用截面法，該方法雖然有時簡便有效，但有局限性，并不是萬能的。能否用截面法求二重積分中的體積問題與該立體的幾何形狀和積分區(qū)域有關。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第四版下冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]毛羽輝.數(shù)學分析（第四版）學習指導書[M].北京：高等教育出版社，2012.